生猪的出售时机

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：鄂东职业技术学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 吴永兵

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：徐金华

日期： 2010 年 7 月 5 日

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

生猪的出售时机

摘要

这篇论文介绍生猪长大后的出售时机问题。考察生猪出售的最佳时机，使获得的利益最大。其中涉及的因素有价格、生长速度，采用预测的方式构建数学模型分析，并对这些因素进行敏感性分析和强健性分析。

关键词：价格变化生长速度敏感性分析强健性分析

一、背景介绍

某一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，工作人员估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤．目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0．1元，那么该场应该什么时候出售这样的生猪，才能使收益最大．如果上面的估计和预测有出入，对结果有多大影响呢．

二、问题分析

投入资金可使生猪体重随时间增长，那么是不是投入越多的资金获得的利益越大呢，很显然不是的，大家由背景可知售价(单价)随时间减少，应该存在一个最佳的出售时机，使获得利润最大．这是一个优化问题，根据给出的条件，可作如下的简化假设．

三、模型假设

每天投入4元资金使生猪体重每天增加常数r (=2公斤)；生猪出售的市场价格每天降低常数g(=0．1元)．

四、模型建立

给出以下记号：t～时间(天)．w～生猪体重(公斤)；~

p单价 (元／公斤)；R-出售的收入(元)；C-t天投入的资金(元)；Q-纯利润(元)．

按照假设，)1.0

r

rt

gt

w．又知道t

p

=g

=，再考虑

,=

R4

C

pw

2

),

8

(

(

80=

=

=

-

+

到纯利润应扣掉以当前价格(8元／公斤)出售80公斤生猪的收入，有80

R

8⨯

=C

Q，

-

-

得到目标函数(纯利润)为

其中1.0

t使)

(≥

,2=

r．求)0

=g

Q最大．

(t

五、模型求解

这是求一个二次函数最大值问题，用代数或微分法容易得到

当1.0

,

10=

t，即10天后出售，可得最大纯利润20元．

(

=Q

,2=

=g

r时，20

)

10

六、敏感性分析

由于模型假设中的参数(生猪每天体重的增加r和价格的降低g)是估计和预测的，所以应该研究它们有所变化时对模型结果的影响．

1．设每天生猪价格的降低1.0

g元不变，研究r变化的影口向，由(2)式可得

t是r的增函数，表1和图3给出它们的关系．

2．设每天生猪体重的增加r=2公斤不变，研究g变化的影响，由(2)式可得

t是r的减函数，表2和图4给出它们的关系．

可以用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度．t 对r 的敏感度记作).(r t S ，定义为

由(3)式，当r =2时可算出

即生猪每天体重r 增加1％，出售时间推迟3％． 类似地定义t 对g 的敏感度).(g t S ，由(4)式，当g=0．1时可算出

即生猪价格每天的降低g 增加1％，出售时间提前3％。r 和g 的微小变化对模型结果的影响并不算大．

七、 强健性分析

建模过程中假设了生猪体重的增加和价格的降低都是常数，由此得到的w 和p 都是线性函数，这无疑是对现实情况的简化．更实际的模型应考虑非线性和不确定性，如记

)(),(t p t w w ==，则(1)式应为 6404)()()(--=t t t p t Q ω（8）

用微分法求解(8)式的极值问题，可知最优解应满足

(9)式左端是每天利润的增值，右端是每天投入的资金．于是出售的最佳时机是保留生猪直到利润的增值等于每天投入的资金为止．本例中2,1.0'

'=-=w p 是根据估计和预测确定的，只要它们的变化不大，上述结论就是可用的． 另外，从敏感性分析知，).(r t S =3，所以若1．8≤'

w ≤2．2(10％以内)，则结果应为

7≤t ≤13(30％以内)。若设1.0'-=p 是最坏的情况，如果这个(绝对)值更小，t 就应更大．所