习题2-数值数组及向量化运算

习题2
1．请读者先运行以下指令
a=0;b=pi;
t1=a:pi/9:pi;
t2=linspace(a,b,10);
T=t1*t2';
F=find(T<0);
然后，请回答变量a、t1、T、F的维度、规模、长度分别是多少t1完全等于t2吗为什么
1）产生数据
a=0;b=pi;
t1=a:pi/9:pi;
t2=linspace(a,b,10);
T=t1*t2';
F=find(T<0);
2）罗列各变量的特征
Na=ndims(a);Nt1=ndims(t1);NT=ndims(T);NF=ndims(F);
Sa=size(a);St1=size(t1);ST=size(T);SF=size(F);
La=length(a);Lt1=length(t1);LT=length(T);LF=length(F);
fprintf('数组%7s%8s%8s%8s\n','a','t1','T','F')
fprintf('维度数%5d%8d%8d%8d\n',Na,Nt1,NT,NF)
fprintf('规模%5d%3d%5d%3d%5d%3d%5d%3d\n',Sa,St1,ST,SF)
fprintf('长度%7d%8d%8d%8d\n',La,Lt1,LT,LF)
数组 a t1 T F
维度数 2 2 2 2
规模 1 1 1 10 1 1 0 0
长度 1 10 1 0
3)判断数组相等
P=t1==t2 %对不同浮点计算方法获得的数进行比较的本指令,不推荐使用
E=max(abs(t1-t2))
P =
1 1 1 1 1 1 0 1 1
1
E =
可见2个数组中的元素不完全相等。

应记住：这种现象在数值计算中常常会遇到；并且，若想检验同一个量的不同方法、途径算得的结果，应尽量不用“==”符判断，而应借助“两个量间的（相对）误差水平是否小于某个容差”进行判断。

比如
pp=abs(t1-t2)<1e-14
pp =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
2．对于指令A=reshape(1:18，3，6)产生的数组
A =
1 4 7 10 13 16
2 5 8 11 14 17
3 6 9 12 15 18
先请你用一条指令，使A数组中取值为2、4、8、16的元素都被重新赋值为NaN。

然后，再请你用一条指令，把A数组的第4、5两列元素都被重新赋值为Inf。

1）产生数组A
A=reshape(1:18,3,6)
A =
1 4 7 10 13 16
2 5 8 11 14 17
3 6 9 12 15 18
2）利用单序号实现对2、4、8、16的元素的重新赋值
A([2,4,8,16])=NaN %这些位置元素的重赋值不可能采用“全下标”一次性实现
A =
1 NaN 7 10 13 NaN
NaN 5 NaN 11 14 17
3 6 9 12 15 18
3）利用全下标和冒号对第4、5列元素进行重赋值
A(:,[4,5])=Inf
A =
1 NaN 7 Inf Inf NaN
NaN 5 NaN Inf Inf 17
3 6 9 Inf Inf 18
3．由指令rng('default'),A=rand(3,5)生成二维数组A，试求该数组中所有大于的元素的位置，分别求出它们的“全下标”和“单下标”。

1）产生试验数组
rng('default')
A=rand(3,5)
A =
2）寻找数值大于的所有元素的全下标
[ri,cj]=find(A>;
disp(' ')
disp('大于的元素的全下标')
disp(['行号',int2str(ri')])
disp(['列号',int2str(cj')])
大于的元素的全下标
行号 1 2 1 2 2 3 1 3 1 3
列号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
3）寻找数值大于的所有元素的单序号
id=find(A>;
disp(' ')
disp('大于的元素的单序号')
disp(id')
大于的元素的单序号
1 2 4 5 8 9 10 12 13 15 4．已知A=magic(3),B=rand(3),请回答以下问题：
（1）A.*B和B.*A的运行结果相同吗请说出理由。

（2）A*B 和A.*B 的运行结果相同吗请说出理由。

（3）A*B 和B*A 的运行结果相同吗请说出理由。

（4）A.\B 和B./A 的运行结果相同吗请说出理由。

（5）A\B 和B/A 的运行结果相同吗请说出理由。

（6）A*A\B-B 和A*(A\B)-B 的运行结果相同吗它们中那个结果的元素都十分接近于0
（7）A\eye(3)和eye(3)/A 的运行结果相同吗为什么
（1）相同。

数组对应元素间相乘运算，服从交换律。

（2）不同。

前者是矩阵乘积，后者是数组对应元素的乘积。

（3）不同。

矩阵乘运算不服从交换律。

（4）相同。

因为在两个指令中，数组A 始终是“除数组”，而B 是“被除数组”。

（5）一般不同。

前者是B 左除A ，后者是B 右除A 。

（6）后者结果接近于全0元素阵。

A*(A\B)-B 相当于A*(inv(A)*B)-B ，所以几乎为0阵。

（7）相同。

实际上得到的就是A 的逆阵。

5． 已知矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=4321A ，（1）运行指令B1=A.^, B2=.^A, B3=A^, B4=^A 可以观察到不同运算方法所得结果不同。

（2）请分别写出根据B1, B2, B3, B4恢复原矩阵A 的M 码。

1）生成四个指数运算结果
A=[1,2;3,4];
B1=A.^
B2=.^A %等式两边进行若进行对数操作，可得
B3=A^
B4=^A %等式两边进行若进行矩阵对数操作，可得
B1 =
B2 =
B3 =
+ -
- +
B4 =
2）逆运算
A1=B1.^2
A2=log(B2)/log
A3=B3^2
A4=logm(B4)/logm
A1 =
A2 =
1 2
3 4
A3 =
+ +
- +
A4 =
6．先运行指令x=-3*pi:pi/15:3*pi; y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); warning off; Z=sin(X).*sin(Y)./X./Y; 产生矩阵Z。

（1）请问矩阵Z中有多少个“非数”数据（2）用指令surf(X,Y,Z); shading interp观察所绘的图形。

（3）请写出绘制相应的“无裂缝”图形的全部指令。

（提示：isnan用于判断是否非数；可借助sum求和；realmin是最小正数。

）
〖解答〗
x=-3*pi:pi/15:3*pi;
y=x;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
warning off
Z=sin(X).*sin(Y)./X./Y;
NumOfNaN=sum(sum(isnan(Z))) %计算“非数”数目
%NumOfNaN2=length(find(isnan(Z)==1))
subplot(1,2,1),surf(X,Y,Z),shading interp,title('有缝图')
%产生无缝图
XX=X+(X==0)*realmin;
YY=Y+(Y==0)*realmin;% realmin返回指定浮点数类型所能表示的最小值
ZZ=sin(XX).*sin(YY)./XX./YY;
subplot(1,2,2),surf(XX,YY,ZZ),shading interp,title('无缝图') NumOfNaN =
181
7．在时间区间[0,10]中，绘制t
15.0-
=曲线。

要求分别采取
-
e
y t2
cos
“非向量化编程”和“向量化编程”编写两段程序绘图。

〖解答〗
%标量循环运算法
t=linspace(0,10,200);
N=length(t);
y1=zeros(size(t));
for k=1:N
y1(k)=1-exp*t(k))*cos(2*t(k));
end
subplot(1,2,1),plot(t,y1),xlabel('t'),ylabel('y1'),grid on
%数组运算法
y2=1-exp*t).*cos(2*t);
subplot(1,2,2),plot(t,y2),xlabel('t'),ylabel('y2'),grid on。