5平面向量基本定理

B.3e12e2,4e26e1
D.e2,e1 e2
４．数学应用
例２.如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线
相交与点M,且 ABa,ADb,
用 a , b 表示 M、 A M、 BM、 C MD ?
D
C
M
A
B
例3： 课本第69页例2
练习：
在 O A B 中 ， 两 条 中 线 A D 、 B E 交 于 点 G ， u u u r ru u u r r rr u u u r
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
２．学生活动： 已知 e 1 , e 2 , 是同一平面内的两个
不共线向量，a 是这一平面内的任一向量．
♦ 探究１：a 与 e 1 , e 2 , 的关系
想 e1 一 想 ？
a
e2
２．学生活动：
OCOMON1OA2OB
e1
a
即 a1e12e2
O
N
EE
（1）平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
M
CF
Aa
M
C
a
O
N BO
N
E
４．数学应用 例１ １）已知向量 e 1 , e 2求, 作向量 2e1 3e2
２）若 e 1 , e 2 , 是平面内所有向量的一组基底，
则下面的四组向量中不能作为一组基底的是 （B）
A.e1e2,e1e2 C.e13e2,e2 3e1
２）平面向量基本定理的理解
⑴ 若 a 0, 有且只有 120,
使 01e12e2
若 a 与 e1 (e2 ) 共线，则 20(10),
使 a1e12e2
⑵ 基底：把不共线的向量 e 1 , e 2 , 叫做这一平面内
所有向量的一组基底．
⑶ 正交基底：一个平面向量用一组基底 e 1 , e 2 ,
表示成：a1e12e2 称它为向量的分解．
M
C
A AA
e2
e1
e
e
1
1
O
e2
NB
３．数学建构
１）平面向量基本定理的内容
如果 e 1 , e 2 , 是同一平面内的两个不共线向量， 存 唯
那么对于这一平面的任意向量 a ,
在一
有且只存有在 一对实数， 1 , 2 ,
性性
使 a1e12e2
思考： 上述表达式中的 1, 2 是否唯一？
３．数学建构
课题：
平面向量基本定理
１．问题情景：
♦问题：回忆向量的三种线性运算以及
共线向量定理．
回顾
r
一、①λa 的定义及运算律r
②r向量共r线定理
ba
( a ≠r0) r 向量a 与b
共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明来自百度文库三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
当 e 1 , e 2 , 互相垂直时，称为向量的正交分解．
３．数学建构
３）平面向量基本定理的拓展
♦ 探究２： 一组平面向量的基底有多少对？
无数对
♦ 探究３： 若基底选择不同，则表示同一向量的
实数 1 , 2 , 是否相同？ 可以相同,也可不同
F
C
OCOFOE
OC2OAOE A B a
OC2OBON
若 O Aa ， O Bb ， 用 a ， b 表 示 O G 。
６．回顾小结：
１）平面向量基本定理内容 ２）对定理的理解与拓展
实数对 1 , 2 , 的存在性和唯一性
基底的不唯一性 定理的拓展性 ３）平面向量基本定理的应用
7.作业：
课本第70页第3、4题