(完整版)《通信原理》第3章随机过程(3.3-4)

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第3章 随机过程
例：右图高斯分布，求x≤5的概率。
P(x 5)
1 2
1
erf
(
5 10 2 2
)
=0.0002035
f (x)
1
2
5 10
x
求x≥15的概率。
P(x 15) 1 P(x 15)
1 2
1
erf
(
15 10 2 2
)
=？
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第3章 随机过程
4、输出过程的概率分布 高斯过程经线性变换后仍是高斯过程。
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1、输出均值
E
o
(t)
E
i
(
)h(t
)d
E i
(
) h(t
)d
a h(t )d a H (0) （常数）
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第3章 随机过程
2、输出的自相关函数
Ro (t1,t1 ) E[o (t1) o (t1 )]
E
h( )i
(t1
)d
h(
)i
(t1
)d
h( )h( )E i (t1 )i (t1 )d d
-1 -5 -4 -3
erf (0) ?
-2 -1
0
1
erf () ?
2
3
4
5
erf () ?
另：互补误差函数：erfc(x) 1 erf (x)
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第3章 随机过程
erfc:
2
1.5
1
0.5
0
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
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第3章 随机过程
利用误差函数可简化高斯分布函数的计算
5
第3章 随机过程
3.3.2 重要性质
（1）高斯过程的n维分布仅依赖各随机变量的均值 ak 、
方差
2 k
Baidu Nhomakorabea、和归一化协方差矩阵
B
，描述最简单。
（2）高斯平稳若是广义平稳的，必是严平稳。
（3）高斯过程若在不同时刻的取值不相关，也是统计 独立的。
fn (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ) f (x1,t1) f (x2,t2) fn(xn,tn)
F(x)
1
( xa) /(
2 ) exp
t 2
dt
F
(
x)
1 2
2
? exp t2 dt
2
?(xa) /(
2 ) exp
t 2
dt
1 2
1
2
0(xa) /(
2 ) exp
t 2
dt
1 2
1
erf
(
x
a
2
)
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第3章 随机过程
MATLAB代码： T=(x-a)/(sqrt(2)*sigma) F=0.5*(1+erf(T))
利用输入的平稳性：
E i (t1 )i (t1 ) Ri ( )
Ro (t1, t1 ) h( )h( )Ri ( )d d
仅与（ ）有关
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第3章 随机过程
所以：对线性系统而言，输入平稳，则输出（
3、输出过程的功率谱密度 对 Ro ( ) 作傅立叶变换，得：
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第3章 随机过程 （2）二维：
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x=-5:0.1:5; y=x; px=pdf('Normal',x,0,1); py=pdf('Normal',x,0,2); [X,Y]=meshgrid(x,y); [PX,PY]=meshgrid(px,py); PXY=PX.*PY; surf(X,Y,PXY)
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第3章 随机过程
令 z a t ，则上述变为： 2
F(x)
1
( xa) /(
2 ) exp
t 2
dt
定义一个新的函数（error function erf(x)）：
erf (x)
2
0x expt2 dt
函数图形如下：
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第3章 随机过程
1
0.5
0
-0.5
通信原理
第3章 随机过程（3.3-4）
主 讲：江金龙 E-mail：jljiang@126.com
九江学院电子工程学院
第3章 随机过程
概要：
3.3 高斯随机过程 3.3.1 定义 3.3.2 重要性质 3.3.3 高斯随机变量
3.4 平稳随机过程通过线性系统
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第3章 随机过程
3.3 高斯随机过程
xk ak
k
ak
2 k
B
的含义见p45
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第3章 随机过程
具体化：
（1）一维：
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2
,
x
当 a 1, 2 2 如右图 0.2
0.15
0.1
x=-10:0.2:10; 0.05
p=pdf('Normal',x,1,2);
0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
3.3.1 定义 实践中观察到的大多数噪声都是高斯型，如热噪声。 如果一个随机过程的任意n维分布服从正态分布，则称
为正态分布或高斯分布。
fn (x1, x2 , , xn;t1,t2, ,tn )
1
(2 )n/ 212
n
B 1/ 2
exp
1
2 B
nn
B
j1 k 1
xj aj
jk j
1、输出均值
E o (t) a H (0)
2、输出的自相关函数
Ro (t1,t1 ) Ro ( )
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输入平稳， 输出平稳。 前提：？
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第3章 随机过程
3、输出过程的功率谱密度
Po ( f ) H( f ) 2 Pi ( f )
一般是先求输出功率谱密度，作傅立叶反变换求输出自相关函数。
对应的傅立叶变换为：
Vo ( f ) Vi ( f ) H( f )
问题：（1）输入为平稳过程，输出是否也为平稳过程？ （2）输出统计关系与输入统计关系有没有必然联系？
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第3章 随机过程
假定信道为线性移不变系统： 若 i (t) 为输入的平稳过程，o (t) 为输出过程，则有 o (t) i ( )h(t )d
B
，描述最简单。
（2）高斯平稳若是广义平稳的，必是严平稳。
（3）高斯过程若在不同时刻的取值不相关，也是统计 独立的。
fn (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ) f (x1,t1) f (x2,t2) fn(xn,tn)
（4）高斯平稳经过线性变换后仍是高斯过程。
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（4）高斯平稳经过线性变换后仍是高斯过程。
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第3章 随机过程
高斯过程是最简单、最容易分析处理的平稳过程。 只需计算其均值、方差及相关函数即可知道分布规律。
这三个量都是时域上的计算量，处理也容易。
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第3章 随机过程
3.3.3 高斯随机变量 （1）对称性？
f (a x) f (a x)
Po ( f ) H( f ) 2 Pi ( f )
所以：？
）。
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第3章 随机过程
4、输出过程的概率分布 根据 o (t) i ( )h(t )d ，总可以求出输出的概率
分布，但不是一件容易的事，特殊分布则不然。 如果输入是高斯分布，则输出也是高斯分布。
这是因为“和”的高斯变量仍是高斯变量。
（2）概率积分 f (x)dx 1
a f (x)dx a f (x)dx 0.5
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第3章 随机过程
（3）标准正态分布
a ?, ?
f (x)
1
2
exp
x2 2
（4）正态分布函数
F(x) x f (z)dz x
1
2
exp
(z a)2
2 2
dz
但这个函数不能直接计算，先变换成标准形式，再查表
更一般：高斯过程经线性变换后仍是高斯过程。
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第3章 随机过程
小结：
3.3.1 定义 如果一个随机过程的任意n维分布服从正态分布，则称
为正态分布或高斯分布。
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第3章 随机过程
3.3.2 重要性质
（1）高斯过程的n维分布仅依赖各随机变量的均值 ak 、
方差
2 k
、和归一化协方差矩阵
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第3章 随机过程
3.3.3 高斯随机变量
P(
x)
1 2
1
erf
(
x
a)
2
P(
x)
1 2
1
erf
(
x
a)
2
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第3章 随机过程
3.4 平稳随机过程通过线性系统 vo (t) vi (t) * h(t) vi ( )h(t )d
Vo ( f ) Vi ( f ) H( f )
3.4 平稳随机过程通过线性系统
在不考虑噪声的情况下，通信系统可简化为下面的形式：
信源
发送 设备
信道
接收 设备
受信者
噪声
信源
信道
vi (t)
h(t)
受信者
vo (t)
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第3章 随机过程
根据信号与系统知识： vo (t) vi (t) * h(t) vi ( )h(t )d