对高斯定理特性与应用的认识

荷 q , 则穿出高斯面的电场线会多εq0 根 ;如果高斯 面内有净的负电荷 q , 则穿入高斯面的电场线多
q ε0
根
,
即面内
负电
荷一
定会终
止
掉从
外
面
进来
的
q ε0
根电场线
。因此 ,
发出电场线的地方一定有正
电荷 , 终止电场线的地方一定有负电荷 , 静电场是
有源场 , 电荷是静电场的源 。
2 高斯定理和库仑定律的关系
合球面 , E · ds =±E · 4πr2 。
(3)电场面对称分布 。选穿过平面且以平面 为对称面的闭合圆柱面 , 此时穿过侧面电通量为 零 , 穿过上下底面电通量为底面处场强和底面积
乘积 , E ·ds =±E ·2s 。
(4)导体静电平衡时表面附近场强E 。此时在 导体表面附近选底面为 Δs , 侧面与导体表面法向 平行的微小闭合圆柱面 , 使其一底面过场点 , 一底
面在导体内部 , 此时 E · ds =±E · Δs 。
参考文献 [ 1] 康 颖 .大 学 物 理[ M ] .北 京 :科 学 出 版 社 , 2007:
279-285 . [ 2] 赵 凯华 , 陈熙谋 .电 磁学(上)[ M ] .北京 :高等 教育 出
版社 , 2001 :45-49 . [ 3] 马 文 蔚 .物 理 学(中)[ M] .北 京 :高 等 教 育 出版 社 ,
其中面内电荷 ∑qi =0 的含义如下 :
(1)说明高斯面内电荷代数和为零 , 但不表
明面内没有电荷存在 ;
(2)说明穿过高斯面的通量 E · ds =0 , 但
不能确定高斯面上的场强 E =0 。 如果 E ≠0 , 但 E ⊥ds , 则仍有 E · ds =0 说明电场线沿着 ds 切向 , 不穿过 ds 。
s1
s1
E1 ·d s1 =±E1 s1 );②曲面上 , E2 ⊥d s2 , 即 E2 s2
· d s2 =0 ;③曲面上 , E3 =0 , 即 E3 ·d s3 =0 , s3
则虽然E 分布不知道 , 但 E ·ds = E1 ·d s1 + s1
E2 · d s2 + … 可以方便求出 , 进而可以由高斯
高斯面是数学上的几何面 , 没有厚薄之分 , 只有内
外差别 。点电荷是作为物理上的实物存在的 , 不存
在高斯面正好穿过点电荷中间的情况 。点电荷要
么在高斯面内 , 要么在高斯面外 。
(1)面外电荷对高斯面上通量没有影响 , 但 对高斯面上电场有影响 ;
Байду номын сангаас
(2)面内电荷位置的改变对高斯面上通量没
有影响 , 对高斯面上电场也有影响 。
(炮兵学院 物 理教研室 , 合肥 230031)
摘 要 :阐述了高斯定理的意义 , 指出了场强 、通量 、及电荷代 数和及相 关概念 , 并对高斯 定理 的普遍性及应用高斯定理求解场强的条件作了说明 。
关键词 :库仑定律 ;高斯定理 ;电通量 中图分类号 :O 441 文献标识码 :A 文章编号 :1006-7353(2011)01 -0029 -02
2 .1 高斯定理是库仑定律的必然结果
如果库仑定律 F
=
qq' 4πε0 r 2
e
r
中
, r 的指数不是
2 , 而 是 2 + Δ, 则 点 电 荷 q 的场 强 应 为 E =
4
q πε0 r2
+Δ e
r
。以
q
为中心 ,
作半径为
r
的球形高斯
面 , 则有 E · ds =ε0qrΔ , 与半径 r 有关 。美国威廉 士等人的实验证明 , Δ<10-15 , 说明高斯定理在可 测量范围内严格成立 。
s2
定理求解场强E 。 4 .4 由 高斯 定理 求 场强 的四 类问 题及 高 斯面 选取
(1)电场轴对称分布 。选同轴的闭合圆柱面 , 此时穿过上下底面电通量为零 , 穿过侧面电通量
为侧面处 场 强和 侧 面积 乘 积 , E · ds =± E
·2πrl 。 (2)电场球对称分布 。选与带电体同心的闭
3 .2 高斯定理的微分形式
当电荷为体分布时 , 高斯定理可改写为 E ·
ds
=
1 ε0
ρd V 。由高斯公式 :
E · ds
=
1 ε0
(·
E)dV , 因此
( ·E)dV
=
1 ε0
ρd V 。
即高斯定理的微分形式为 ·E =ερ0 。由微分
形式列方程并结合边界条件就可以求解静电场 。
4 应用高斯定理求电场强度
面组成 ...), E · ds 可以分步积分 , 即 E · ds
= E1 ·ds1 + E2 ·ds2 +…。在某些条件下 ,
s1
s2
即如果组成高斯面的各部分和其上场强分布具备
以下条件之一 :① 面上场强E1 大小相等 , 方向与
d s1 成恒定夹角(最好是同向或反向), 且曲面经
过所讨论的场点 , 即 E1 ·ds =E1 s1 cos α(或
收稿日期 :2010-11 -01 . 作者简介 :张清泽(1960 -), 男 , 安徽省庐江县人 , 硕士 , 副教授 , 研究方向 :光电子等 .
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第 24 卷第 1 期
高等函授学报(自然科学版)
Vol .24 No .1
2011 年 2 月 Jou rnal of H igher Correspondence Education(Natu ral Sciences) 2011
一般教科书都有较为详细的叙述 , 本文仅谈谈对 高斯定理的普遍性及应用高斯定理求解场强条件
的认识 。
1 高斯定理反映了静电场的有源性
当高斯面包围的净电荷为零时 , 即 E · ds
=0 , 说明通过高斯面的电通量为零 , 穿出 、穿入 高斯面的电场线数目相等 , 电场线不会在无净电 荷的空间终止与产生 ;如果高斯面内有净的正电
高斯定理是电磁学基本定理 , 数学表达式为
∑ E · ds =
qi ε0
;即通过任一闭合曲面(高斯面)
的电通量等于该闭合曲面包围电荷的代数和除以
ε0 ;穿过高斯面的电通量 , 只与该电荷系电荷代数 和相关 , 与高斯面形状无关 , 也与该电荷系的电荷
分布无关 。关于高斯定理的基本概念和具体应用 ,
第 24 卷第 1 期
高等函授学报(自然科学版)
Vol .24 No .1
2011 年 2 月 Jou rnal of H igher Correspondence Education(Natu ral Sciences) 2011
·大学教学 ·
对高斯定理特性与应用的认识
张清泽 陶宗明 陈 宇
4 .1 场强E 分布的对称性不是应用高斯定理求解
场强的必要条件
导体静电平衡时 , 表面附近场强E 的分布并
不具有对称性 , 但应用高斯定理可求解出导体表
面附近场强 E =εσ0 en 。
4 .2 场强E 分布的对称性也不是应用高斯定理求
解场强的充分条件
有限长均匀带电圆柱面 , 有限大均匀带电圆
盘等 , 其电场分布都具有某种对称性 , 但它们不能
2002 :18-29.
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2 .2 高斯定理适用条件更广泛 库仑定律仅适用于静电场 。由于变化磁场产
生的感生电场其电场线闭合 , 穿过高斯面的通量
必定为零 , 故高斯定理不仅适用于静电场 , 也适用
于变化的感生电场 , 是电磁场基本方程之一 。
3 高斯定理 3 .1 高斯定理不反映场强和电荷的对应关系
高斯面上的场强是空间所有电荷所激发的 ,
应用高斯定理求解其场强E 。
4 .3 E · ds 能否进行积分才是求解问题的关键
∑ E · ds =
qi ε0
中
,
如果已知场强E
在高斯
面上的分布函数 , 则可以对 E · ds 在给定高斯 面上积分 。一般地在不知道场强E 的空间分布情 况下 , E ·ds 的积分难以进行 。但由于闭合高斯 面可以由不同曲面组成 , (如 :球面仅由一个面组 成 ;柱面是由两底面和侧面组成 , 立方体则由六个