弱非线性和不确定性对结构动力学分析的影响
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[ 9] [ 3] [ 2] [ 1]
Goll er 和张保强等人均对 Sandia 问题进行了研究 , 采用的也都是线性模型[ 10～12] 。 事实上, 非线性可以采用正确的激励方式获得 , 实现非线性的动力学模型确认 , 可以消除非线性作 为不确定性因素对系统的影响 , 使模型更能精确地 反映实际结构。本文在文献[ 1, 9] 的研究基础上, 进 一步研究建立具有弱非线性和参数变化不确定性的 物理模型的方法。利用 Sandia 提供的振动测试数 据, 建立了与 Sandia 的物理模型参数接近的非线性 模型。用 M onte Car lo 仿真的方法 , 进行了恒力、 恒 位移、 恒速度和随机振动的仿真测试。通过恒力测 试, 分析非线性对结构动力学分析的影响; 通过恒位 移测试来识别非线性刚度参数 ; 通过恒速度测试来 识别非线性阻尼参数 ; 随机振动测试用来验证识别 的非线性模型的有效性并讨论参数变化对结构动力 学分析的影响。
图 3 m2 的加速度频响函数 H
21
Fig. 3 A cceler ance F RF s at m 2
恒位移测试 : 对 Sandia 模型 , 在零初始条件下 , 对 m 1 施加正弦激励, 通过调整各频率下激励力幅值 使得 m 1 的稳态位移响应的幅值 x 1 为常数, 进行一 次正弦扫频, 获得一组恒位移频响函数 , 然后用模态 分析的方法识别模型参数、 物理参数, 就得到该位移 下的测试刚度, 即等效刚度。 进行一系列这样的正弦 扫频 , 就可以获得一系列恒位移频响函数, 从而可以 获得 k 1 的测试刚度 k 1, test 与 x 1 之间的关系曲线。观 察这种关系曲线 , 即可判断非线性的类型。 例如本文 假设的立方弹性力非线性 , k 1, test 与 x 1 之间便是平 方关系, 对测试刚度进行曲线拟合
图 4 m3 的加速度频响函数 H
31
k 1, test = a0 + a2 x 1
2
( 5)
Fig. 4 A cceler ance F RF s at m 3
2. 2 恒激励力测试的局限性 对于多自由度线性系统进行恒力激励测试 , 其 频响函数不受激励类型和幅值的影响 , 如果不考虑 噪声和测量误差, 将得到唯一的一组频响函数( 响应 模型 ) , 进而可以唯一地确定系统的模态参数 ( 模态 模型) 和刚度、 阻尼参数 ( 物理模型 ) 。这 3 种模型均 可以描述系统的动力学特性, 准确地对系统进行各 种激励的动力学分析
c1 + c2 - c2 0
- c2 c2 + c3 - c3
- c3 , c3
0 0 k 1+ k 2 K=
・
- k2
0 - k3 k3 x ) 为非线性力 , f ( t ) = { f 1( t ) f 2( t ) f 3( t ) } T 为激 励力。 根据文献 [ 9] 对 Sandia 振动数据的分析, 连接 处的弹性力和粘性阻尼力可假设为 g ( x , x ) = { sign( x 1 ) cnx 1 + k nx 1 0 0} 相应地, 弹性元件 1 的弹性力为 f s = kx 1 + k nx 1 阻尼元件 1 的阻尼力为
1 Sandia 非线性不确定性的物理模型
美国 Sandia 国家实验室模型确认研究的结构 如图 1 所 示, 它 是一 个 3 自由 度 弱非 线 性 系统。 Sandia 提供 了 20 组“ 虚拟制造” 的 模型分别在低、 中、 高 3 种水平的随机振动和冲击激励下的振动测 试数据。挑战的问题是如何从测试数据中建立可靠 的、 确认的 3 自由度模型, 在模型得到确认后, 将其
3 2 3 T
( 2) ( 3)
f d = cx 1 + c nsig n( x 1) x 1 ( 4) 假设各参数独立分布 , 非线性模型的物理参数 变 化满足正态分布, 根据 Sandia 振动数据 , 建立一 个具有立方刚度和平方阻尼非线性以及参数变化不 确定性的 3 自由度集中质量系统的物理模型 , 即原 始非线性模型。表 1 列出了其包含的参数: 均值、 方 差和变异系数。 从变异系数可以看出 : 质量参数变化 幅度较小, 刚度和阻尼的线性参数变化幅度较大 , 而 非线性参数变化幅度更大。
第 25 卷第 4 期 2012 年 8 月
振 动 工 程 学 报 Journal o f Vibrat ion Engineering
Vo l. 25 N o. 4 A ug . 2012
弱非线性和不确定性对结构动力学分析的影响
张根辈, 臧朝平
( 南京航空航天大学能源 与动力学院 , 江苏 南京 210016) 摘要 : 局 部连接引起的弱非线性和加工制造公差引起的参数变化不确定性是许多工程结构的常见现象。针对弱非 线性和参数变化不确定性对结构动力学分析 的影响进行了讨论 , 提出了一种通过 恒位移和恒速度响 应的振动试验 进行非线性建模 , 并用统计分析来处理不确定性 , 建立 尽可能精确的数学模型进行结构动力学分析的处理方法。仿 真实例是在对美国 Sandia 国家实验室 2006 年提出的“ 结构动力学问题的模型确认挑战” 研 究的基础上 , 建立的具有 非线性刚度和非线性阻尼以及参数变化不确 定性的三自由度集中质量模型 , 仿真结果验证了方法 的有效性。 关键词 : 非线性振动 ; 参数变化 ; 不确定性 ; 结构动力学 ; 模型确认 中图分类号 : O 322 文献标识码 : A 文章编号 : 10044523( 2012) 04-036508
2
图 2 m 1 的加速度频响函数 H 11 F ig . 2 Accelerance FR Fs at m 1
第 4 期
张根辈 , 等 : 弱非线性和不 确定性对结构动力学分析的影响
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度的作用在逐渐增强, 由此可见 , 在非线性刚度和非 线性阻尼的双重作用下系统频响函数的形态发生比 较复杂的变化。 此外, 随着激励力幅值的增大, 还出现 了 3 个频率为线性模型固有频率 1/ 的识别; ( 2) 保持恒 激励力测试, 在共振频率附近 , 意味着激励力和响应 幅值的大幅度提高 , 不可避免地会造成被测试结构 损伤的危险, 特别是在小阻尼下的结构 , 采用大功率 激励器, 在实际工程应用中是不能接受的。因此, 考 虑到恒激励力测试非线性识别的局限性 , 有必要建 立一种尽可能精确识别非线性模型的方法 , 以进一 步对系统进行可靠的动力学分析。 2. 3 恒位移测试和恒速度测试的方法 要建立尽可能准确的非线性模型, 需要寻求一 种有效识别系统非线性刚度和阻尼参数的方法。这 里介绍一种对原始非线性模型 ( 或结构 ) 进行恒位移 和恒速度测试, 识别系统的非线性参数的方法。
T ¨ [ 9]
2 弱非线性对动力学分析的影响
2. 1 Sandia 模型的非线性特性 取表 1 的原始非线性模型 ( “ 均值” 模型) 在零初 始条件下, 对 m 1 施加常规的正弦扫频激励 , 并保持
( 1) 0
各频 率下激励 力幅值恒 定 ( 本 文简称恒 激励力 测 试) 。对同一个非线性结构, 一次扫频可以获得一条 频响函数, 改变激励力幅值多次扫频可以获得多条 频响函数, 各频率下响应相互独立, 形成一个曲面。 图 2 ～ 4 分别 为 3 个自 由 度 的 加 速 度 频 响 函 数 ( H 11 , H 21 和 H 31 ) 。可以看出, Sandia 模型的 弱非线性主要影响各阶模态共振区附近的频响函数 形态 , 对高频段的第 3 阶模态影响尤其显著: 随着激 励幅值的增大 , 第 3 阶模态峰值频率向低频侧发生 大幅 度偏 移, H 11 和 H 21 的峰 值逐 渐降 低, 而 H 31 则是先降低后增加。也就是说 , 从 m 1 到 m 3 相 对而言非线性阻尼的作用在逐渐减弱, 而非线性刚
方法 , 并 指出 尚 需深 入 进 行研 究 。最 近 Jiang ,
[ 3]
引 言
在结构动力学设计过程中, 通过建立有限元模 型并利用测试数据对模型进行修正 , 使修正后的模 型能够反映实际结构的动力特性, 这一过程称作模 型确认。修正后的模型 , 又称确认的模型, 可以进一 步应用于结构的动力响应预测和分析。 目前 , 模型确 认理论和方法主要基于线性、 确定性的模型。 考虑结 构参数变化的不确定性及系统存在非线性情况下的 模型确认研究较少。 对于系统中存在的弱非线性 , 常 常采用忽略非线性或将非线性作为一种不确定因素 加在线性系统中的方法处理 。 2006 年, 美国能源部 Sandia 国家实验室提出了 “ 结构动力学问题的模型确认挑战” , 挑战的核心 问题之一是如何建立能够量化结构不确定性的数学 模型并进行确认 。针对 Sandia 采用了随机和瞬态 激励, 无法获得有效的非线性模型的情况, 参加挑战 的多数学者采取了将非线性作为一种不确定性因素 建立线性模型进 行确认的方法[ 4～8] , 而 Zang ( 臧朝 平 ) , Schw ing chackl 和 Ewins 等考虑非线性的影响, 采用了分离系统非线性以获得线性模型的建模方 法 。 他们认为非线性属于结构本身的固有属性 , 将 非线性作为不确定性因素 , 影响了动力学模型的精 确建立与确认。 Sandia 负责此挑战的组织者 P aez 等 在总结中肯定了 Zang 考虑非线性建立物理模型的
收稿日期 : 201102-22; 修订日期 : 2012-0412 基 金项目 : 江苏省自然科学 基金资助项目 ( BK 2008383) ; 教 育部博士点 基金资助 项目 ( 20093218110008) ; 教育 部留学 归国人员启动资金资助项目 ( M 0903021) ; 国家自然科学基金 资助项目 ( 51175244)
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振 动 工 程 学 报 表 1 原始非线性模型包含的参数
第 25 卷
固定安装到更大的结构上 , 并预测在给定的外界激 励下, 系统上某一点响应超过某一固定值的概率 。
[ 2]
Tab. 1 Parameters of the original nonlinear model 物理 参数 m1 m2 m3 k1 k2 k3 kn c1 均值 0. 034 3 0. 018 8 0. 012 1 9. 228 3× 106 1. 070 6× 106 5. 386 1× 105 - 6. 012 9× 1014 28. 455 5 3. 924 0 3. 527 8 37. 057 2 标准差 0. 001 3 4. 829 2 × 10 - 4 2. 927 9 × 10 - 4 2. 549 3× 106 3. 271 8× 105 1. 690 7× 105 5. 703 2× 1014 4. 848 7 0. 601 0 0. 491 1 24. 416 4 变异系数 / ( %) 3. 924 3 2. 570 4 2. 422 4 27. 625 1 30. 559 8 31. 389 8 94. 848 8 17. 04 15. 32 13. 92 65. 89
图 1 3 自由度弱非线性系统 Fig . 1 T he w eakly nonlinear 3DO F sy st em
c2 c3 cn
Sandia 提供的 随机振动 数据 中, 20 个模 型在 低、 中、 高 3 种随机振动水平下各阶模态频率的变异 系 数 ( 标准差 / 均值× 100% ) 在 12% ～ 15% 之间 , 而 每一个模型在不同振动水平下各阶模态频率均发生 不同程度的偏移 , 以反映结构具有的弱非线性和参 数变化的不确定性 。 由图 1 可知, 系统的基本运动微分方程为 Mx + Cx + Kx + g ( x , x ) = f ( t) 式中 m1 M= 0 0 m2 0 0 , C= m3 - k2 k 2+ k 3 0 - k3 , x = { x 1 , x 2 , x 3 } , g ( x ,
Goll er 和张保强等人均对 Sandia 问题进行了研究 , 采用的也都是线性模型[ 10～12] 。 事实上, 非线性可以采用正确的激励方式获得 , 实现非线性的动力学模型确认 , 可以消除非线性作 为不确定性因素对系统的影响 , 使模型更能精确地 反映实际结构。本文在文献[ 1, 9] 的研究基础上, 进 一步研究建立具有弱非线性和参数变化不确定性的 物理模型的方法。利用 Sandia 提供的振动测试数 据, 建立了与 Sandia 的物理模型参数接近的非线性 模型。用 M onte Car lo 仿真的方法 , 进行了恒力、 恒 位移、 恒速度和随机振动的仿真测试。通过恒力测 试, 分析非线性对结构动力学分析的影响; 通过恒位 移测试来识别非线性刚度参数 ; 通过恒速度测试来 识别非线性阻尼参数 ; 随机振动测试用来验证识别 的非线性模型的有效性并讨论参数变化对结构动力 学分析的影响。
图 3 m2 的加速度频响函数 H
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Fig. 3 A cceler ance F RF s at m 2
恒位移测试 : 对 Sandia 模型 , 在零初始条件下 , 对 m 1 施加正弦激励, 通过调整各频率下激励力幅值 使得 m 1 的稳态位移响应的幅值 x 1 为常数, 进行一 次正弦扫频, 获得一组恒位移频响函数 , 然后用模态 分析的方法识别模型参数、 物理参数, 就得到该位移 下的测试刚度, 即等效刚度。 进行一系列这样的正弦 扫频 , 就可以获得一系列恒位移频响函数, 从而可以 获得 k 1 的测试刚度 k 1, test 与 x 1 之间的关系曲线。观 察这种关系曲线 , 即可判断非线性的类型。 例如本文 假设的立方弹性力非线性 , k 1, test 与 x 1 之间便是平 方关系, 对测试刚度进行曲线拟合
图 4 m3 的加速度频响函数 H
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k 1, test = a0 + a2 x 1
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Fig. 4 A cceler ance F RF s at m 3
2. 2 恒激励力测试的局限性 对于多自由度线性系统进行恒力激励测试 , 其 频响函数不受激励类型和幅值的影响 , 如果不考虑 噪声和测量误差, 将得到唯一的一组频响函数( 响应 模型 ) , 进而可以唯一地确定系统的模态参数 ( 模态 模型) 和刚度、 阻尼参数 ( 物理模型 ) 。这 3 种模型均 可以描述系统的动力学特性, 准确地对系统进行各 种激励的动力学分析
c1 + c2 - c2 0
- c2 c2 + c3 - c3
- c3 , c3
0 0 k 1+ k 2 K=
・
- k2
0 - k3 k3 x ) 为非线性力 , f ( t ) = { f 1( t ) f 2( t ) f 3( t ) } T 为激 励力。 根据文献 [ 9] 对 Sandia 振动数据的分析, 连接 处的弹性力和粘性阻尼力可假设为 g ( x , x ) = { sign( x 1 ) cnx 1 + k nx 1 0 0} 相应地, 弹性元件 1 的弹性力为 f s = kx 1 + k nx 1 阻尼元件 1 的阻尼力为
1 Sandia 非线性不确定性的物理模型
美国 Sandia 国家实验室模型确认研究的结构 如图 1 所 示, 它 是一 个 3 自由 度 弱非 线 性 系统。 Sandia 提供 了 20 组“ 虚拟制造” 的 模型分别在低、 中、 高 3 种水平的随机振动和冲击激励下的振动测 试数据。挑战的问题是如何从测试数据中建立可靠 的、 确认的 3 自由度模型, 在模型得到确认后, 将其
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( 2) ( 3)
f d = cx 1 + c nsig n( x 1) x 1 ( 4) 假设各参数独立分布 , 非线性模型的物理参数 变 化满足正态分布, 根据 Sandia 振动数据 , 建立一 个具有立方刚度和平方阻尼非线性以及参数变化不 确定性的 3 自由度集中质量系统的物理模型 , 即原 始非线性模型。表 1 列出了其包含的参数: 均值、 方 差和变异系数。 从变异系数可以看出 : 质量参数变化 幅度较小, 刚度和阻尼的线性参数变化幅度较大 , 而 非线性参数变化幅度更大。
第 25 卷第 4 期 2012 年 8 月
振 动 工 程 学 报 Journal o f Vibrat ion Engineering
Vo l. 25 N o. 4 A ug . 2012
弱非线性和不确定性对结构动力学分析的影响
张根辈, 臧朝平
( 南京航空航天大学能源 与动力学院 , 江苏 南京 210016) 摘要 : 局 部连接引起的弱非线性和加工制造公差引起的参数变化不确定性是许多工程结构的常见现象。针对弱非 线性和参数变化不确定性对结构动力学分析 的影响进行了讨论 , 提出了一种通过 恒位移和恒速度响 应的振动试验 进行非线性建模 , 并用统计分析来处理不确定性 , 建立 尽可能精确的数学模型进行结构动力学分析的处理方法。仿 真实例是在对美国 Sandia 国家实验室 2006 年提出的“ 结构动力学问题的模型确认挑战” 研 究的基础上 , 建立的具有 非线性刚度和非线性阻尼以及参数变化不确 定性的三自由度集中质量模型 , 仿真结果验证了方法 的有效性。 关键词 : 非线性振动 ; 参数变化 ; 不确定性 ; 结构动力学 ; 模型确认 中图分类号 : O 322 文献标识码 : A 文章编号 : 10044523( 2012) 04-036508
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图 2 m 1 的加速度频响函数 H 11 F ig . 2 Accelerance FR Fs at m 1
第 4 期
张根辈 , 等 : 弱非线性和不 确定性对结构动力学分析的影响
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度的作用在逐渐增强, 由此可见 , 在非线性刚度和非 线性阻尼的双重作用下系统频响函数的形态发生比 较复杂的变化。 此外, 随着激励力幅值的增大, 还出现 了 3 个频率为线性模型固有频率 1/ 的识别; ( 2) 保持恒 激励力测试, 在共振频率附近 , 意味着激励力和响应 幅值的大幅度提高 , 不可避免地会造成被测试结构 损伤的危险, 特别是在小阻尼下的结构 , 采用大功率 激励器, 在实际工程应用中是不能接受的。因此, 考 虑到恒激励力测试非线性识别的局限性 , 有必要建 立一种尽可能精确识别非线性模型的方法 , 以进一 步对系统进行可靠的动力学分析。 2. 3 恒位移测试和恒速度测试的方法 要建立尽可能准确的非线性模型, 需要寻求一 种有效识别系统非线性刚度和阻尼参数的方法。这 里介绍一种对原始非线性模型 ( 或结构 ) 进行恒位移 和恒速度测试, 识别系统的非线性参数的方法。
T ¨ [ 9]
2 弱非线性对动力学分析的影响
2. 1 Sandia 模型的非线性特性 取表 1 的原始非线性模型 ( “ 均值” 模型) 在零初 始条件下, 对 m 1 施加常规的正弦扫频激励 , 并保持
( 1) 0
各频 率下激励 力幅值恒 定 ( 本 文简称恒 激励力 测 试) 。对同一个非线性结构, 一次扫频可以获得一条 频响函数, 改变激励力幅值多次扫频可以获得多条 频响函数, 各频率下响应相互独立, 形成一个曲面。 图 2 ～ 4 分别 为 3 个自 由 度 的 加 速 度 频 响 函 数 ( H 11 , H 21 和 H 31 ) 。可以看出, Sandia 模型的 弱非线性主要影响各阶模态共振区附近的频响函数 形态 , 对高频段的第 3 阶模态影响尤其显著: 随着激 励幅值的增大 , 第 3 阶模态峰值频率向低频侧发生 大幅 度偏 移, H 11 和 H 21 的峰 值逐 渐降 低, 而 H 31 则是先降低后增加。也就是说 , 从 m 1 到 m 3 相 对而言非线性阻尼的作用在逐渐减弱, 而非线性刚
方法 , 并 指出 尚 需深 入 进 行研 究 。最 近 Jiang ,
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引 言
在结构动力学设计过程中, 通过建立有限元模 型并利用测试数据对模型进行修正 , 使修正后的模 型能够反映实际结构的动力特性, 这一过程称作模 型确认。修正后的模型 , 又称确认的模型, 可以进一 步应用于结构的动力响应预测和分析。 目前 , 模型确 认理论和方法主要基于线性、 确定性的模型。 考虑结 构参数变化的不确定性及系统存在非线性情况下的 模型确认研究较少。 对于系统中存在的弱非线性 , 常 常采用忽略非线性或将非线性作为一种不确定因素 加在线性系统中的方法处理 。 2006 年, 美国能源部 Sandia 国家实验室提出了 “ 结构动力学问题的模型确认挑战” , 挑战的核心 问题之一是如何建立能够量化结构不确定性的数学 模型并进行确认 。针对 Sandia 采用了随机和瞬态 激励, 无法获得有效的非线性模型的情况, 参加挑战 的多数学者采取了将非线性作为一种不确定性因素 建立线性模型进 行确认的方法[ 4～8] , 而 Zang ( 臧朝 平 ) , Schw ing chackl 和 Ewins 等考虑非线性的影响, 采用了分离系统非线性以获得线性模型的建模方 法 。 他们认为非线性属于结构本身的固有属性 , 将 非线性作为不确定性因素 , 影响了动力学模型的精 确建立与确认。 Sandia 负责此挑战的组织者 P aez 等 在总结中肯定了 Zang 考虑非线性建立物理模型的
收稿日期 : 201102-22; 修订日期 : 2012-0412 基 金项目 : 江苏省自然科学 基金资助项目 ( BK 2008383) ; 教 育部博士点 基金资助 项目 ( 20093218110008) ; 教育 部留学 归国人员启动资金资助项目 ( M 0903021) ; 国家自然科学基金 资助项目 ( 51175244)
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振 动 工 程 学 报 表 1 原始非线性模型包含的参数
第 25 卷
固定安装到更大的结构上 , 并预测在给定的外界激 励下, 系统上某一点响应超过某一固定值的概率 。
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Tab. 1 Parameters of the original nonlinear model 物理 参数 m1 m2 m3 k1 k2 k3 kn c1 均值 0. 034 3 0. 018 8 0. 012 1 9. 228 3× 106 1. 070 6× 106 5. 386 1× 105 - 6. 012 9× 1014 28. 455 5 3. 924 0 3. 527 8 37. 057 2 标准差 0. 001 3 4. 829 2 × 10 - 4 2. 927 9 × 10 - 4 2. 549 3× 106 3. 271 8× 105 1. 690 7× 105 5. 703 2× 1014 4. 848 7 0. 601 0 0. 491 1 24. 416 4 变异系数 / ( %) 3. 924 3 2. 570 4 2. 422 4 27. 625 1 30. 559 8 31. 389 8 94. 848 8 17. 04 15. 32 13. 92 65. 89
图 1 3 自由度弱非线性系统 Fig . 1 T he w eakly nonlinear 3DO F sy st em
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Sandia 提供的 随机振动 数据 中, 20 个模 型在 低、 中、 高 3 种随机振动水平下各阶模态频率的变异 系 数 ( 标准差 / 均值× 100% ) 在 12% ～ 15% 之间 , 而 每一个模型在不同振动水平下各阶模态频率均发生 不同程度的偏移 , 以反映结构具有的弱非线性和参 数变化的不确定性 。 由图 1 可知, 系统的基本运动微分方程为 Mx + Cx + Kx + g ( x , x ) = f ( t) 式中 m1 M= 0 0 m2 0 0 , C= m3 - k2 k 2+ k 3 0 - k3 , x = { x 1 , x 2 , x 3 } , g ( x ,