数学物理方程有感(绝对牛人写的)

精心整理

书本个人总结：

由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。

而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。

而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法

第二章：

本章主要介绍了分离变量法，

解法，非齐次边界条件的处理等等。

A

作为例子，定解问题为：

第一步：分离变量

目标：分离变量形式的非零解(

)

(

)

,

(t

T

x

X

t

x

u=

结果：函数)

(x

X

第二步：求解本征值问题

利用0

)

(

)

(''=

+x

X

x

Xλ0

)=求出本征值和本函数：

本征值：

一．分离变量转化为常微分方程的定解问题。

二．

件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时，求特征函数就是求一个常分方程满足零边界条件的非零解。

三．定出特征值和特征函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与特征函数乘起来成为Un(x,t).

四．最后为了使解满足其余的定解条件，需要把U叠加起来成为级数形式，叠加出一般解，再利用本征函数的正交性定叠加系数。

B．对于非齐次泛定方程和非齐次边界条件的解法，求解的基本思路是:先由对应的齐次方程和齐次边界条件求出特征值和特征函数,再由此直接构造出级数形式解.最后利用泛定方程和初始条件定出级数展开式的系数。

取有源传导方程的定解问题作为例子：

第一步：将解按特征函数展开：假定微分方程是齐次方程，在齐次边界条件下求出特征值和

2

)(''+

t

T

2

(

=

n

n

π

λ

特征函数：

利用此特征函数，假定方程的解为：

结论：显然这样的解对一切的Tn(t)满足齐次边界条件。

第二步：求系数函数满足的系数方程：

结论：Tn(t)不唯一

第三步：给出系数函数的定解条件以确定系数函数

对于非齐次的边界条件的定解问题的求解，一般的做法是通过引入一个适当的函数使边界条件齐次化，然后通常能得到一个边界条件齐次，泛定方程非齐次的定解问题，即转化为非齐次泛定方程的求解问题。

第三章：

本章主要介绍了行波法和积分变化法。

行波法的一般步骤是：

1.对自变量作变量替换

这两个方程组得到F（x）和G(x)

其中达朗贝尔公式为：

三维波动方程的波泊松公式为：

利用球面坐标，可化为：

对于积分变换法

用积分变换法解定解问题的一般步骤为：

一.

取变换，

一.

二.

第四章：

我觉得这一章是这本书最难搞懂的，现在还是对这一

然后这一章也涉及到了较多的积分运调和函数：

第一格林公式：

第二格林公式：

上机调试篇：

在上机课上我们做了热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题的模拟仿真，还做了傅里叶变换和特殊函数法的仿真。

下面以傅里叶变化的仿真为例子，定解问题为：

边界条件等于sin(x)(0

仿真代码为：

xx=-10:.5:10;

tt=0.01:0.1:1;

tau=0:0.01:1;

a=2;

[X,T,TAU]=meshgrid(xx,tt,tau);

F=(1/2/2./sqrt(pi*T).*exp(-(X-TAU).^2/4/2^2./T)).*sin(TAU);

js=trapz(F,3);

waterfall(X(:,:,1),T(:,:,1),js)

figure,

h=plot(xx',js(1,:));

set(h,'erasemode','xor');

for j=2:10

set(h,'ydata',js(j,:));

drawnow;

pause(0.1)

end

解，即：

而编写出来的.

怎么看书，一是因为个人的英文水平有限；

的，有时候听课的时候会把几次课的内容弄混淆，

比

按照四步走的思路就能解出来，然后到非齐次的泛定方程的定解问题，或者利用类似于参数变异法，把非齐次问题看成是齐次问题求解，再到后

从而转化成求解非齐次的泛定方程

我想可能是因为我的高等数学中的二重

从最开始的头晕，到后来的逐渐明晰，是一个很让

我想这就是传说中的“温故知新”吧。

这门课程有点难，而且要对以前的知识融会贯通，虽然对它有点畏惧，但是还是有动力的，每次打开数学物理方程的时候，四个显赫的大字“功在于勤”，每次都会让我有继续看下去的动力和勇气。高中的时候曾经幻想过上大学就可以摆脱学数学和物理了，可是没想到现在那么多的课程都是跟数学有关系的，很多地方都得运用数学的知识和思路求解问题，我想既然摆脱不了数学，那就好好学吧，深究，数学还是挺有趣的。

最后就是谢谢老师啦，教了我们的高数和数学物理方程。、

四个字鼓励自己：功在于勤.

2

2

()

4

1

(,)

x

a t

u x t e

ξ

ϕ

-

-

+∞

-∞

=⎰