第二章_多元正态分布的参数估计要点

1 2
1 e 2
2 x
2 2

2

1 2
1 exp x 2 2

1
x ,

x
若随机向量 X ( X1 , X 2 , , X p )的概率密度函数为
f x 2
p 2
Σ
§2.2 多元正态分布的性质
（4）设X~Np (μ, Σ)，则X的任何子向量也服从（多元） 正态分布，其均值为μ的相应子向量，协方差矩阵为Σ
的相应子矩阵。
该性质说明了多元正态分布的任何边缘分布仍为（多 元）正态分布。 需注意，随机向量的任何边缘分布皆为（多元）正态 分布未必表明该随机向量就服从多元正态分布。
第二章 多元正态分布
§2.1 多元正态分布的定义 §2.2 多元正态分布的性质 §2.3 复相关系数和偏相关系数 §2.4 极大似然估计及估计量的性质 §2.5 X 和(n − 1) S的抽样分布
§2.1 多元正态分布的定义
一元正态分布N(μ,σ2)的概率密度函数为：
f x 2
x
|ρ|越小，长轴越短 ，短轴越长，即椭圆越圆；
|ρ|=1时椭圆退化为一条线段；|ρ|=0时即为圆。
§2.2 多元正态分布的性质
（1）多元正态分布的特征函数是： 1 ' ' X ( t ) exp( it t t ) , AA' . 2 （2）设X是一个p维随机向量，则X服从多元正态分布，
1 f ( x1 , x2 ) e 2
2 2 x1 x2 2
(1 sin x1 sin x2 )
x1 , x2 R
§2.2 多元正态分布的性质
正态变量的线性组合未必就是正态变量。
证明: 反证法。若命题 “一元正态变量X1,X2, ⋯,Xn
的一切线性组合一定是一元正态变量” 成立，则由
（ 2）
1 AX 0
其中
X1 0 0 X 1 AΣA ) X 2 X ~ N (Aμ , 0 1 X 3 3 1 0 0 1 2 0 1 3 3
1 exp 2 2 1


二元正态分布的密度曲面图
下图是当 , 0.75 时二元正态分布的钟形密
2 1 2 2
度曲面图。
二元正态分布等高线
等高（椭圆）线：
x1 1 x1 1 x2 2 x2 2 2 2 c 1 1 2 2
12
1 Aμ 0
1 1 1 0 0 AΣA 2 1 0 0 1 31
22 32
1 31 0 0 0 1 1 13 2 3 33 0 1 3 1 3 3
当且仅当它的任何线性函数 aX 均服从一元正态分布。 性质（2）常可用来证明随机向量服从多元正态分布。 （3）设X~N p (μ, Σ)，Y=CX+b其中C为r×p 常数矩阵， 则
Y ~ N r C μ b , CΣ C
该性质表明，（多元）正态变量的任何线性变换仍为
（多元）正态变量。
性质（2）知，X1,X2, ⋯,Xn的联合分布必为多元正态 分布，于是命题“一元正态变量的联合分布必为多元 正态分布”成立，从而矛盾。
例 2 若 X ( X1 , X 2 , X3 ) ~ N3 ( μ, Σ ) 其中，
11 12 21 22 31 32 1 0 0 设 a (0,1,0) ， A ，则 0 0 1 1 2 3
12 1 2 Σ 2 2 1 2
易见，ρ是X1和 X2的相关系数。当|ρ|<1时，可得X的 概率密度函数为：
f x1 , x2 1 2 1 2 1 2
2 x 2 x x x 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2
1 2
1 1 exp x μ Σ x μ 2
则称X服从p元正态分布，记作X~Np (μ, Σ)，其中，参数μ 和Σ分别为X的均值和协差阵。
例1（二元正态分布 ）
设X~N2(μ, Σ)，这里
X1 X , X2
1 μ , 2
13 23 33
（ 1）
X1 X ~ N (aμ, aΣa ) aX (0,1, 0) X 2 2 X3
其中
1 aμ (0,1, 0) 2 2 3 11 12 13 0 1 aΣa (0,1, 0) 22 23 22 21 0 32 33 31
上述等高线上的密度值
2 1 c f x1 , x2 exp 2 2 2 1 2 1 2 1
2
2



4
Hale Waihona Puke Baidu
二元正态分布的密度等高线族 （由10000个二维随机数生成） 0
0
2
0
y
-2
-2 0 2 -2 0 2 4 |ρ|越大，长轴越长 ，短轴越短，即椭圆越扁平； x