典型信号的地傅里叶变换
经典傅里叶变换讲解ppt课件
)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
常见信号的傅里叶变换
常见信号的傅里叶变换介绍傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特性，并提取出信号中的各种频率成分。
本文章将介绍常见信号的傅里叶变换，帮助读者深入了解这一重要的信号处理技术。
简介信号的时域和频域表示•时域表示：信号在时间上的变化情况，通常使用函数表示，如f(t)。
•频域表示：信号在频率上的分布情况，使用频谱表征，表示信号中各个频率成分的大小和相位信息。
傅里叶变换的基本原理傅里叶变换基于傅里叶级数的思想，将一个信号分解为一系列复指数函数的叠加，这些复指数函数包含了不同频率的成分。
傅里叶变换可以用公式表示为：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，F(ω)表示信号f(t)的频域表示，e−jωt为复指数函数。
常见信号的傅里叶变换正弦信号与余弦信号正弦信号与余弦信号是最基本的周期信号，在通信、电子、音频等领域中广泛应用。
对于正弦信号f(t)=Asin(ωt+ϕ)，其频域表示为：F(ω)=A2j[δ(ω−ω0)−δ(ω+ω0)]其中，δ(ω)为单位冲激函数。
对于余弦信号f(t)=Acos(ωt+ϕ)，其频域表示与正弦信号类似，只是相位不同。
矩形脉冲信号矩形脉冲信号是一种在时域上为矩形、在频域上为sinc 函数的信号。
其时域表示为：f (t )={1,|t |≤T 20,|t |>T 2其中，T 为脉冲宽度。
矩形脉冲信号的频域表示为：F (ω)=T sinc (ωT 2) 高斯信号高斯信号是一种通过高斯函数表示的连续信号。
在时域上，高斯信号的表示为：f (t )=Ae −αt 2其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。
高斯信号的频域表示为：F (ω)=√2α−ω24α 方波信号方波信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为由连续的正弦信号叠加而成。
方波信号的频域表示为：F (ω)=2sin (ωT/2)ω三角脉冲信号三角脉冲信号是一种周期为T 的信号，其时域表示为：f (t )=4A T2(t −T/2), 0≤t ≤T 三角脉冲信号的频域表示为：F (ω)=(2A T )2sin 2(ωT/2)ω2指数衰减信号指数衰减信号是一种在时间上随指数衰减的信号，其表示为：f (t )=Ae −αt其中，A 表示幅度，α表示衰减系数。
简述傅立叶变换
简述傅立叶变换摘要：一、傅立叶变换的概念与原理二、傅立叶变换的应用领域三、傅立叶变换的发展与拓展正文：傅立叶变换是一种数学方法，用于将一个信号从时域或空域转换为频域。
这一变换技术在许多学科领域具有广泛的应用，包括信号处理、图像处理、通信系统等。
一、傅立叶变换的概念与原理傅立叶变换是基于傅立叶级数的基础上发展起来的。
傅立叶级数是将一个周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的和。
傅立叶变换则将这一概念拓展到非周期函数，通过将函数分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加，实现了从时域到频域的转换。
傅立叶变换的主要目的是简化复杂的信号分析问题，使信号的频率特性更加清晰。
二、傅立叶变换的应用领域1.信号处理：在信号处理领域，傅立叶变换被用于分析信号的频率成分，例如音频信号、通信信号等。
通过傅立叶变换，可以更好地了解信号的频谱特性，从而实现信号的滤波、调制和解调等操作。
2.图像处理：在图像处理领域，傅立叶变换被用于分析图像的频谱特性，例如边缘检测、噪声去除等。
通过傅立叶变换，可以更好地提取图像中的频率信息，从而提高图像处理的效率。
3.通信系统：在通信系统中，傅立叶变换被用于信号的调制与解调、多路复用与解复用等。
通过傅立叶变换，可以实现信号的快速处理和高效传输。
4.量子力学：在量子力学中，傅立叶变换被用于描述量子系统的能级结构和量子态的演化。
三、傅立叶变换的发展与拓展随着科学技术的不断发展，傅立叶变换的应用领域不断拓展。
一些拓展方法包括：1.短时傅立叶变换：用于分析非平稳信号，在时域和频域上同时具有良好的局部特性。
2.小波变换：是一种局部傅立叶变换，可以实现信号的高分辨率分析。
3.离散傅立叶变换：将傅立叶变换应用于数字信号处理，提高了计算效率。
总之，傅立叶变换作为一种重要的数学方法，在各个领域具有广泛的应用。
付里叶变换
称为基波。 称为二次谐波。 称为三次谐波。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
4、幅度谱、相位谱
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c0
c1 c2
c3
n ~ n1 信号的相位谱
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
0 w1 3w1
nw1
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波 器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。
• 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。
• 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。
•非周期信号的频谱用频谱密度来表示。
•看出：
周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数）
非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换）
周期信号与非周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散 谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。
7.傅里叶变换的存在充分条件
傅里叶变换存在的充分条件是在无限内 满足绝对可积条件：
0
1
e(a jw)t
(a jw)
0
a
1 jw
a
1 jw
2a a2 w2
双边指数信号的频谱如下：
1
e f (t) a t
(a 0)
时域波形
0
t
F() 2a
2
a2 2
a
1 a
0
3a
w
频域频谱 相位等0
四、矩形脉冲信号的傅里叶变换
常见信号的傅里叶变化
常见信号的傅里叶变化题目:用MATLAB对常见信号的Fourier变换分析姓名：王聪学号： 200606302036专业：电子信息科学与技术年级： 2006级院系：物理与电子工程学院完成日期： 2010年5月指导教师：潘孟美本科生毕业论文（设计）独创性声明本人声明所呈交的毕业论文（设计）是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。
论文（设计）作者签名：日期：本科生毕业论文（设计）使用授权声明海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文（设计）的复印件和磁盘，允许毕业论文（设计）被查阅和借阅。
本人授权海南师范大学可以将本毕业论文（设计）的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文（设计）。
论文（设计）作者签名：日期：指导教师签名：日期： (18)用MATLAB对常见信号的Fourier变换分析作者：王聪指导教师：潘孟美（海南师范大学物理与电子工程学院，海口，571158)摘要: MATLAB软件在多个研究领域都有着广泛的应用，其中，它的频谱分析设计功能很强，从而使信号处理变得十分简单、直观。
傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。
关键词：傅里叶变换 ; MATLAB软件 ;信号消噪The analysis of common signal’s Fourier transformation by MatlabAuthor：Wang Cong Professor Pan Mengmei (College of Physics & Electronic Engineering , Hainan normal university，Haikou, 571158)Abstract: The software of MATLAB has got extensive application in several researches realm. Among them, its frequency chart analysis is very strong, making signal handled to become very brief, intuitionistc. Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transformting it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Matlab realizes signal spectral analysis and signal denoising.Key word: Fourier transformation, software of matlab ,signal denoising1.引言MATLAB是一种面向科学与工程计算的高级语言，现在已成为国际公认的最优秀的科技应用软件，在世界范围内广为流传和使用。
第二章 傅立叶变换(FT)
T1 2
非周期信号可以看成是周期T1趋于无限大的周期信号
非周期信号的谱线间隔趋于无限小，变成了连续频谱；谱线的长 度趋于零。
解决 方法
T1
F (nω1)T1
2 f (t)e jn1t dt
T1 2
T1
F (ω)
lim
T1
F (nω1)T1
lim
T1
2
T1 2
f (t)e jnt dt
F (ω) f (t)e jtdt
n
arctg
bn an
n
arctg
an bn
初相位
复指数形式的FS
设周期函数 f(t)的周期为T1 展开成复指数函数的无穷级数形式
f (t)
Fn e jn1t
n
系数计算方法
Fn
1 T1
t0 T1
f
t0
(t)e jn1t dt
其中：n 1， 2， 3，
复指数形式的FS
三角函数FS与复指数FS的系数间的关系
(3) Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实际幅度；
(4) 带宽只与脉冲脉宽有关，而与脉高和周期均无关。信号
带宽定义为=0～2/ 这段范围，即
B=2/
或
f B=1/
(5) 时域参数对频谱的影响
f(t)
E
cn
2E
5
傅里叶频谱
T1=5
- /2 0 /2
T1
2T1 t 0
E 5
2/ 4/ 6/
傅里叶频谱
2.2-3 周期脉冲信号的傅里叶频谱特点
(1) 谱线包络线为Sa函数，仅在一些离散频率点(n1)上有值， 离散间隔为1=2/T1 ；
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
8个典型信号的傅里叶变换
8个典型信号的傅里叶变换1. 常数信号（直流信号）这个常数信号啊，就像一个超级稳定的家伙，一直保持一个值不变。
它的傅里叶变换可有趣啦，就是一个冲激函数（狄拉克函数）在频率为0的地方。
你可以想象啊，常数信号就只有一个频率成分，那就是0频率，就像一个静止不动的状态在频率域里的表示呢。
2. 正弦信号。
正弦信号就像一个有规律的摇摆舞者。
它的傅里叶变换呢，是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
比如说一个正弦函数Asin(ω_0t)，在频率ω = ω_0和ω=-ω_0的地方有两个冲激。
这就好像在说，正弦信号就只有一个频率在那欢快地跳动，这个频率就是它自己的角频率ω_0，一正一负就像在频率轴上对称地站着两个代表它的小尖刺。
3. 余弦信号。
余弦信号跟正弦信号是近亲呢。
Acos(ω_0t)的傅里叶变换也是在正负它的角频率处有两个冲激函数。
不过和正弦信号有点小区别，就像是两个风格相似但又有点不同的舞者。
余弦信号的傅里叶变换，那两个冲激函数就像是在频率轴上标记着它自己独特的角频率ω_0的两个小灯塔。
4. 单位冲激信号（狄拉克函数）这个单位冲激信号啊，就像一个超级突然的小爆炸，瞬间爆发然后就没了。
它的傅里叶变换可神奇了，是一个常数1。
你想啊，这个小爆炸包含了所有频率成分，就像一个超级大杂烩，在频率域里就变成了一个平坦的1，就好像所有频率都被它平等对待，一股脑儿地全在里面了。
5. 矩形脉冲信号。
矩形脉冲信号就像一个突然冒出来又突然消失的小方块。
它的傅里叶变换是Aτ Sa((ωτ)/(2))，这里的A是脉冲的幅度，τ是脉冲的宽度，Sa函数是(sin x)/(x)。
这个变换就像是把矩形脉冲信号这个小方块在时间域的信息，分散到了频率域里，就像把一个集中的小方块打散成了好多频率成分，那些频率成分按照Sa函数的规律分布着。
6. 三角脉冲信号。
三角脉冲信号就像一个小山峰。
它的傅里叶变换是Aτfrac{Sa^2((ωτ)/(2))}{ω^2}。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
它是以法国数学家傅里叶的名字命名的，用于分析信号的频谱成分。
在信号处理和通信领域，傅里叶变换被广泛应用于信号的频谱分析、滤波、解调和压缩等方面。
1. 正弦信号的傅里叶变换正弦信号是最简单的周期信号之一，它可以表示为一个频率和幅度确定的正弦函数。
对于一个正弦信号，它的傅里叶变换是一个由两个峰值组成的频谱图。
其中一个峰值位于正弦信号的频率上，另一个峰值位于负频率上，其幅度与正弦信号的幅度相等。
2. 方波信号的傅里叶变换方波信号是一种以方波函数为基础的周期信号。
方波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个由多个峰值组成的频谱图。
频谱图上的峰值对应于方波信号中各个频率的成分。
3. 矩形脉冲信号的傅里叶变换矩形脉冲信号是一种在有限时间内突然变化的信号。
它在时域上表现为一个宽度有限的矩形脉冲，其傅里叶变换是一个以脉冲宽度为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值表示了矩形脉冲信号中各个频率的成分。
4. 高斯信号的傅里叶变换高斯信号是一种以高斯函数为基础的连续非周期信号。
高斯信号在时域上呈钟形分布，其傅里叶变换是一个以高斯函数为形状的频谱图。
频谱图上的峰值表示了高斯信号中各个频率的成分。
5. 三角波信号的傅里叶变换三角波信号是一种以三角函数为基础的周期信号。
三角波信号可以表示为一系列正弦信号的叠加，其傅里叶变换是一个以基频为主要参数的频谱图。
频谱图上的峰值对应于三角波信号中各个频率的成分。
6. 音频信号的傅里叶变换音频信号是一种连续时间的信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
音频信号的傅里叶变换可以得到音频信号的频谱图，从而可以对音频信号进行频谱分析、滤波和合成等操作。
7. 语音信号的傅里叶变换语音信号是一种声音信号，它可以通过傅里叶变换转换为频域信号进行分析。
语音信号的傅里叶变换可以得到语音信号的频谱图，从而可以对语音信号进行声音分析、语音识别和语音合成等操作。
傅立叶变换的原理、意义和应用
傅立叶变换的原理、意义和应用1概念：编辑傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。
参考《数字信号处理》毅明著p.89，机械工业2012年发行。
定义f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t）的傅里叶变换，②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。
F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做F（ω）的像原函数。
F（ω）是f(t）的像。
f(t）是F（ω）原像。
①傅里叶变换②傅里叶逆变换中文译名Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。
为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
相关* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1]2性质编辑线性性质傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。
傅立叶变换的条件
傅立叶变换的条件傅立叶变换是一种重要的数学方法，它在信号处理、图像处理、量子力学等领域有着广泛的应用。
傅立叶变换的条件是指在进行傅立叶变换时所需要满足的一些前提条件。
下面将分别介绍傅立叶变换的时域连续信号和频域连续信号的条件。
傅立叶变换的条件之一是时域连续信号。
在进行傅立叶变换时，信号必须是时域上连续的。
也就是说，信号在整个时间轴上都是存在的，不存在时间间隔上的断点。
这个条件是为了保证信号的连续性，使得傅立叶变换能够对信号进行频域上的分析和处理。
如果信号在某些时间点上存在间断，那么该信号就不满足傅立叶变换的条件。
傅立叶变换的条件之二是频域连续信号。
在进行傅立叶变换时，信号必须是频域上连续的。
也就是说，信号在整个频率轴上都是存在的，不存在频率间隔上的断点。
这个条件是为了保证信号的连续性，使得傅立叶变换能够对信号进行时域上的分析和处理。
如果信号在某些频率点上存在间断，那么该信号就不满足傅立叶变换的条件。
傅立叶变换的条件还包括信号的绝对可积性和绝对可和性。
绝对可积性是指信号在整个时间轴上的绝对积分存在且有限。
绝对可和性是指信号在整个频率轴上的绝对和存在且有限。
这两个条件是为了保证傅立叶变换的收敛性，使得傅立叶变换能够对信号进行有效的分析和处理。
如果信号的绝对可积性或绝对可和性不满足，那么该信号就无法进行傅立叶变换。
傅立叶变换的条件还包括信号的一致连续性和一致可积性。
一致连续性是指信号在整个时间轴上是连续的，且其一阶导数也是连续的。
一致可积性是指信号在整个时间轴上是绝对可积的，且其一阶导数也是绝对可积的。
这两个条件是为了保证傅立叶变换的连续性和可微性，使得傅立叶变换能够对信号进行更深入的分析和处理。
如果信号的一致连续性或一致可积性不满足，那么该信号就无法进行傅立叶变换。
除了以上条件，傅立叶变换还要求信号在整个时间轴上的绝对可和性和一致可和性。
绝对可和性是指信号在整个时间轴上的绝对和存在且有限。
一致可和性是指信号在整个时间轴上的绝对和是一致有界的。
常用信号的傅里叶变换
常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域（频率域）的数学技术。
在信号处理中，傅里叶变换可以用来分析各种信号的频率成分。
下面是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：正弦信号是基本的周期信号，其傅里叶变换是两个峰值的Delta函数，分别位于正负频率轴上。
峰值的高度与正弦信号的振幅成正比。
2. 方波信号：方波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。
每个Delta函数的幅值与方波的斜率成正比。
3. 三角波信号：三角波信号的傅里叶变换是一系列的Delta函数，位于基频和其奇倍频的频率轴上。
每个Delta函数的幅值与三角波的斜率成正比，而且随着频率的增加而逐渐减小。
4. 窗函数信号：窗函数信号可以用来限制一个信号的频率范围。
常见的窗函数信号有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
它们的傅里叶变换都是一系列的Delta函数，位于基频和其倍频的频率轴上。
不同的窗函数有不同的幅值分布。
5. 常见滤波器的傅里叶变换：滤波器可以用来去除一个信号的某些频率成分。
常见的滤波器有低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等。
它们的傅里叶变换都有不同的频率响应曲线，用来描述信号在不同频率上的响应情况。
以上是一些常见信号的傅里叶变换，它们可以用来分析和处理各
种实际的信号。
在实际应用中，傅里叶变换经常和其它技术一起使用，如滤波、采样、量化等，以实现更复杂的信号处理任务。
傅里叶变换
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。
而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
傅立叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分非必要条件F(jw)是频谱密度函数或频谱函数傅立叶级数明确地表示了谐波频率与其幅值与相位的关系，根据频率就可以确定各次谐波的幅值。
那对非周期信号做傅立叶变换得到的是连续频谱密度函数，某一频率点的信号幅度是无穷小，没有意义，那这个频谱密度函数有什么用呢？前四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，计算机无法处理。
针对长度有限的信号，解决方法有两种：（1）.长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离散信号，我们就可以用到离散时域傅立叶变换的方法。
（2）.也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法进行变换。
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。
所以对于有限离散信号的变换只有方法（2）才可以。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，傅立叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅立叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅立叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅立叶分析。
得出每个主值序列在各频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
DTFT：时域上是离散的，频域上是连续的DFT：时域上是离散的，频域上是离散的，就相当于DTFT变换成连续频谱后再对其采样，此时采样频率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的个数。
傅里叶变换[FFT]详解
![傅里叶变换[FFT]详解](https://img.taocdn.com/s3/m/9ade5bd86e1aff00bed5b9f3f90f76c661374c9e.png)
关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换,虽然是英文文档,我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容,看了有茅塞顿开的感觉,在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享,希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发,这电子书籍是免费的,有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下,URL地址是：要理解傅立叶变换,确实需要一定的耐心,别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。
二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字,英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier<1768-1830>, Fourier对热传递很感兴趣,于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
当时审查这个论文的人,其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日<Joseph Louis Lagrange, 1736-1813>和拉普拉斯<Pierre Simon de Laplace, 1749-1827>,当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时,拉格朗日坚决反对,在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。
法国科学学会屈服于拉格朗日的威望,拒绝了傅立叶的工作,幸运的是,傅立叶还有其它事情可忙,他参加了政治运动,随拿破仑远征埃及,法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。
信号处理中傅里叶变换简介(DOC)
傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。
泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。
通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。
以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、CFS（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x)可展开为由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理。
故CFS图示如下：Figure 1理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误差，只要保证n从-∞取到+∞就可以。
在实践中，只要n取值范围足够大，就可以保证在某一点附近对x(t)展开都有很高的精度。
2、CFT（连续时间傅里叶变换）连续非周期信号x(t)，可以将其看成一连续周期信号的周期T0→∞。
当然，从时域上也可以反过来看成x(t)的周期延拓。
将x(t)进行CFS展开，有若令则有T0→∞使得Ω0→0，则由此，定义傅里叶变换与其逆变换如下CFT：CFT-1：x(t)是信号的时域表现形式，X(jΩ)是信号的频域表现形式，二者本质上是统一的，相互间可以转换。
CFT即将x(t)分解，并按频率顺序展开，使其成为频率的函数。
上式中，时域自变量t的单位为秒（s），频域自变量Ω的单位为弧度/秒（rad/s）。
傅里叶变换举例
傅里叶变换举例一、傅里叶变换简单介绍嘿呀，小伙伴们！今天咱们来唠唠傅里叶变换这个超有趣的东西。
傅里叶变换呢，就像是一个魔法工具，能把一个看起来很复杂的信号，变成一堆简单的正弦波的组合。
你可以把它想象成是把一个大拼图拆成好多小拼图块儿的过程。
比如说，有一个声音信号，它可能听起来乱糟糟的，但是傅里叶变换就能把这个声音按照不同的频率分解开。
就像把一个合唱团里的高音、中音、低音都单独拎出来一样。
这对于处理很多东西都特别有用呢，像分析图像、处理音频，甚至在研究物理现象的时候也会用到。
二、傅里叶变换的举例1. 音频处理方面的例子想象一下，你在听一首歌。
这首歌里有各种乐器的声音，有鼓的低沉声音，有吉他的清脆声音，还有歌手的歌声。
如果我们把这首歌的音频信号看作一个整体，那这个信号就很复杂啦。
但是通过傅里叶变换，就可以把这个复杂的音频信号分解成不同频率的成分。
比如说，鼓的声音可能主要集中在低频部分，而吉他的高音弦的声音就在高频部分。
这样呢，要是我们想对这首歌进行一些处理，比如增强某个乐器的声音或者去掉一些噪音，就可以通过对傅里叶变换后的频率成分进行操作，然后再把它变回原来的音频信号。
2. 图像分析方面的例子再说说图像吧。
一张彩色的图片看起来是一个整体，但其实它也是由很多不同的频率成分组成的。
傅里叶变换可以把这个图像从空间域转换到频率域。
比如说一幅有很多条纹的图片，通过傅里叶变换后，在频率域里就会显示出和条纹对应的频率成分。
这就像我们用放大镜看东西一样，能看到图像里隐藏的一些结构。
如果图片里有一些周期性的噪声，我们就可以在频率域里找到这些噪声对应的频率，然后把它们去掉，再把图像转换回空间域，这样就得到了一张更清晰的图片。
3. 电路分析中的例子在电路里，电压和电流也可以看作是信号。
有时候电路里会有一些复杂的波动，这些波动可能是由多个不同频率的电源或者干扰源造成的。
傅里叶变换就可以把这个复杂的电压或者电流信号分解成不同频率的正弦波分量。
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例9.1 试将图9.3中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。
解 根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。
依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式
()2
04cos T km A f t k tdt T
ω=
⎰ 计算A km 。
对图上的波形图可以写出
()04
42
T A t f t T T A t ⎧ <⎪⎪=⎨⎪- <⎪⎩≤≤
将上式代入A km ，便得
4
2044cos cos T T km T A A k tdt A k tdt T ωω⎡⎤=-⎢
⎥⎣⎦⎰⎰ 42
0444cos cos T T T A A k tdt k tdt T T
ωω=-⎰⎰ {}
42044sin sin T T T A k k Tk ωωω
=- 41,5,9,43,7,11A
k k A k k ππ
⎧ =⎪⎪=⎨⎪- =⎪⎩L L 于是，信号的傅里叶级数
()4111
cos cos3cos5cos 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
-+-+ ⎪⎝⎭
L
图9.3 方波信号 图9.4 三角波信号
例9.2 试求图9.4所示三角波信号的傅里叶级教。
解 视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。
因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。
由于
()404
4242
A
T t t T f t A T T t A t T ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤≤
故有
2044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭
⎰⎰ 参照积分公式
211
sin sin cos x axdx ax x ax a a
=
-⎰ 可算出
22
22
81,5,9,83,7,11km A
k k B A k k ππ⎧=⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩L L
于是所欲求的傅里叶级数
()2222
8111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
-+-+ ⎪⎝⎭
L 。
例9.3 已知一如图9.5所示的信号波形，试求其傅里叶级数。
图9.5 例9.3用图
解 此信号对原点对称，是奇函数，且又是半波横轴对称，所以其傅里叶级数仅是正弦奇次谐波分量组成。
由于
()02
2
T A t f t T A t T
⎧
<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤
故有
{
}220
044sin cos T T km A B A k tdt k t T Tk ωωω=
=-⎰
41,3,5,7,A
k k π
==L
于是，所求级数
()4111sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫
=
++++ ⎪⎝⎭
L 。