浅析对称性分析在电磁学中的应用

是矢量在镜面反射操作下的变换 方式 。对真矢量作镜面反射， 则
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质， 如果系统关于某镜面是对称的， 那么对称面上的真矢量只能有平行 分量， 而赝矢量只能有垂直分量。 从库仑定律出发， 可以论证， 静电场 E 是真矢量， 从毕奥-萨伐 尔定律出发， 可以论证， 磁感应强 度 B 是赝矢量。值得注意的是， 变 化磁场下的感应电场 E 感又具备了 类似赝矢量的性质。我们有这样 的结论： 真矢量静电场 E 总在镜像 对称面内， 而赝矢量磁感应强度 B
LIU Guo-yu
(Liaoning Vocational and Technical College of Equipment Manufacturing, Shenyang Liaoning 110161, China) Abstract Symmetry is the universal law in physical world, and it plays an important part in electromagnetics. Symmetry
2013 年第 2 期 第 34 卷 总 708 期
职业技术教育 VOCATIONAL AND TECHNICAL EDUCATION
No.2,2013 Vol.34 General No.708
浅析对称性分析在电磁学中的应用
刘国钰
（辽宁装备制造职业技术学院，辽宁 沈阳 110161）
摘
要
对称性是物质世界的普遍规律， 而在电磁学中， 对称性更是有着重要应用。对称性不仅是各种
直。 通过这两个例子可以看出， 电 荷产生的有源场 E 与变化磁场产 生的无源闭合感应电场 E 感的镜像 对称性有本质区别。
传播于空间。 对称性在麦克斯韦方程组中 有着强烈的体现。在方程形式上， 麦克斯韦方程组是完全对称的， 利 用对称性原理， 把对称性写入方 程， 使得方程数目减少， 而其所表 达出的物理含义却更加准确。麦 克斯韦方程组揭示了电场和磁场 相互转化过程中所产生的对称性 优美， 而现代数学形式使这种优美 得以充分表达， 反映出的是电磁场 的统一性本质。
性质可知， 镜像对称面内各点的电 场强度矢量 E 必在镜像对称面α 内， 而圆截面本身也是带电系统的 镜像对称面β， 平面α、 β交线上 的场点电场强度 E 必沿 O1O2 方向， 即 d 的方向。 以上结论可以通过定量计算 得以证明。如图 4 中所示， 对空腔 内任一场点 P， 可看作是整个带正 电圆柱体与带负电空腔产生电场 的叠加。作同心圆柱体高斯面， 可 求得
α E ρ d O1 β O22
d O1
图 3 对称性分析
下面单独研究带电平面。图 3
图 4 带电圆柱示意图
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E 感P B E感 d O1 O2 E 感1 P r1 r2 d O2 O1 E 感2 E感 d O2 O1
一种是靠含时电场 （麦克斯韦修正 项） 。在电磁学里， 麦克斯韦修正 项意味着时变电场可以生成磁场， 而由于法拉第感应定律， 时变磁场 又可以生成电场。这样， 两个方程 在理论上允许相互激发的电磁波
magnetic problems. While no changes occurred in the system under a symmetrical operating state, applying the symmetry
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定律、 安培定律和法拉第定律等。 麦克斯韦方程组最初由 20 个方程 组成， 后来随着符号数学的发展， 方程组被简化为四个基本方程：
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这四个方程从上到下分别是 高斯定律、 高斯磁定律、 法拉第感 应定律和麦克斯韦-安培定律。 高斯定律描述电场是怎样由 电荷生成。法拉第感应定律描述 的是时变磁场怎样生成 （感应出） 电场。而麦克斯韦-安培定律描述 的是磁场可以用两种方法生成： 一 种是靠电流 （原本的安培定律） ， 另
E2x E2 E1 E0 E1 E1x E2y E1y Ep E2 P θ E0
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可知空腔内有匀强电场， 且沿 d 方向。 下面换一种情形来分析： 在圆 柱形偏心空腔的无限长直螺线管 内有均匀变换的磁场 （k>0） ， 偏心 距为 d， 求空腔内的感应电场分布。 如图 5 左所示， 先进行对称性 分析： 过 O1O2 且与图截平面垂直的 平面任为系统的镜像对称面， 但E感 不同于静电场 E， 它具有赝矢量的 特性， 可知 E 感 应与镜像对称面垂 直。以上结论同样可以通过定量 计算得以证明。如图 5 中所示， 对 空腔内任一场点 P， E 感可以看作是 整个柱面空间内变化的磁场产生 的 E 感 1 与空腔内相反方向同步变 化磁场产生 E 感 2 的叠加， 作同心环 状安培回路， 有：
电磁规律的本质体现， 也是解决各类电磁学问题的有力工具。当系统在某种对称操作下状态不发生改变时， 应用对称性往往能巧妙地发现其中隐藏的规律。 关键词 对称性； 电磁学； 麦克斯韦方程组 G712 文献标识码 A 文章编号 1008-3219 （2013） 02-0048-03 中图分类号
对称性也可以称为不变性， 即 在对系统的某个操作后， 系统的状 态与之前的状态等价， 这个操作可 称为 “对称操作” 。在物理学上， 这 种操作有很多的方式， 如空间上的 平移、 旋转、 反射， 时间上的反演 等。本文主要研究镜像对称性在电 磁学中的应用， 通过具体实例对电 场或磁场分布进行分析。
真矢量与镜面平行的分量不变而与 镜面垂直的分量会反向。如位置矢 量(图 1 左所示)、 速度矢量、 电流强 度矢量、 电偶极矩矢量等。而对于 赝矢量， 对其作镜面反射后， 与镜面 平行的分量反向而与镜面垂直的分 量不变。如角速度矢量ω （图 1 右 所示） 、 角加速度矢量α等。
y1 r1 z1 x ω1 y r z ω1 ω x1 ω
E1 Ep P r E2 r1 2 O 2 d O1 E O2
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可知 P 处感应电荷面密度为：
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三、 对称性分析应用于带电 圆柱体空腔中的电场分布
问题： 有一无限长均匀带电圆 柱体(R,ρ)， 其内有偏心圆柱形空 腔， 偏心距为 d， 求空腔内的电场分 布。 对该系统进行对称性分析： 如 图 4 左所示， 显然过 O1O2 且垂直于 圆截面的平面为带电系统的镜像 对称面α， 而点电荷产生的静电场 E 是真矢量， 由真矢量的镜面对称
图 5 感应圆柱示意图
#'( ! " ! $ ! "& * +& # % % ') # * "$% ! ' ( )! ( ! ( # $& # # " # 可知空腔内有匀强感应电场， 大小为 且方向与 d 垂 ，
参考文献：
[1]黄亦斌,聂义友.镜象对称性在电磁 学 中 的 应 用 [J]. 大 学 物 理 ， 2007 （10） : 24-26,30.
四、 对称性分析应用于麦克 斯韦方程组
麦克斯韦方程组概括了 19 世 纪的一些重要的电磁学理论： 库仑
On the Application of Symmetry Analysis in Electromagnetics
图 2 点电荷感应金属板
对于这个问题， 所能使用的工 具只有静电平衡条件， 而问题所给 的条件又非常少， 似乎难于下手。 如果对系统的对称性进行分析， 则 会发现其实并不复杂。从中可以 看出， 这个系统关于 h 所在的垂直 轴呈轴对称分布， 即绕 h 轴旋转任 意角度都不会改变电荷的分布， 那 么根据 “对称性的原因必然导致对 称性的结果” ， 可知以 q 在平面上 投影 O 为中心的任意同心圆 r 处有 相同的电荷面密度。如图 2 右所 示， 从形式上可以画出一组组感应 电荷 “等值线” 。 我们希望能够求出 P 处上表 面的电场强度 E（已知其方向与金 F 属板面垂直） ， 通过σ=ε 0EF 来求 解。由静电平衡条件可知内表面 处 E=0， 设 q 在 P 处产生电场为 E0， 如图 3 所示， 则带电平面在下表面 处产生电场为 E1=-E0。q 在 P 处上 表面产生电场为 E0， 关键在于求出 带电平板在 P 上表面处产生的电 场强度 E2， 这里就要用到极矢量 E 关于镜像对称的性质。
一、 对称性分析概述
镜像对称即把系统关于镜像 对称面做一次左右置换， 显然它是 “对称操作” ， 因为关于对称面置换 以后， 系统的状态没有发生改变， 我们把这种关于镜面对称的操作 称为 “镜面反射” 。 物理学中的矢量可分为两大 类： 真矢量和赝矢量， 其分类根据
收稿日期： 2012-12-12
总垂直于镜像对称面。
二、 对称性分析应用于点电 荷在金属板上的感应电荷面密 度分布
问题： 如图 2 左所示， 一个理 想点电荷 q 放在真空中， 点电荷 q 下方有一接地的无限大的薄金属
图 1 真矢量与赝矢量
容易证明得出， 两个真矢量的 叉积一定是赝矢量， 如 。 由于真、 赝矢量的不同镜面反射性
is not only the reflection for all kinds of electromagnetic laws in nature, but also the effective tool for solving all electro⁃ rule can ingeniously find the hidden rules. Key words symmetry; electromagnetics; Maxwell Equations
作者简介： 刘国钰 （1960- ） ， 男， 辽宁沈阳人， 辽宁装备制造职业技术学院教务处处长， 副教授。
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板， 金属板与点电荷 q 之间的垂直 距离是 h， 求金属板上与点电荷 q 距 离为R的地方的感应电荷面密度。
q θ h R P o o1 o3 o2
左的平面是金属板的一个镜像对 称面， 由静电场 E 总在镜像对称面 内这个结论可知， E1、 E2 都应在图 示平面内， 空间电场便简化到二维 平面上分析。显然， 金属板自身平 面也是其镜像对称面， 将 E1 分解为 平行镜面 （即自身平面） x 方向和垂 直镜面 y 方向上， 对带电金属板关 于自身平面对称操作， 由真矢量镜 面反射特性可得： E2x=E1x， E2y=-E1y， E2 便得以求出。 接下来对 E2 与 E0 矢量叠加， 结 合静电平衡条件： Ep 与带电平面垂 直， 可求得 Ep=E2+E0， 如图 3 右所示 Ep 大小为：