高二数学集体备课资料

高二数学集体备课材料（二）

2014年2月27日

1.3导数在研究函数中的应用

教学目标：

1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；理解极大值、极小值的概念；

2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；

3. 掌握求可导函数的极值的步骤，使学生理解函数的最大值和最小值的概念

教学重点：利用导数研究函数的单调性，极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值

的步骤. 利用导数求函数的最大值和最小值的方法

教学难点：利用导数研究函数的单调性，求可导函数的极值的步骤，函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 知识要点梳理：

（一）导数与函数的单调性

1.一般地，设函数y= f (x )在某个区间内有导数， 若，则在这个区间上为增函数；

若，则

在这个区间上为减函数；

若恒有

，则

在这一区间上为常函数.

2.利用导数求函数单调性的基本步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；

(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0或 f ′(x )＜0，解出相应的x 的范围； 当f ′(x )＞0时，f (x )在相应区间上为增函数；

当f ′(x )＜0时，f (x )在相应区间上为减函数. （4) 写出f (x )的单调区间.

3.注意：（1）若函数()y f x =在区间（,a b ）上单调递增，则()0f x '≥，反之等号不成立；若函

数()y f x =在区间（,a b ）上单调递减，则()0f x '≤，反之等号不成立。 （2）若在某区间上有有限个点使

，在其余点恒有

，则

仍为增函数（减函

数的情形完全类似）。 例如：

而f(x)在R 上递增.

（3）只有在某区间内恒有

，这个函数

在这个区间上才为常数函数.

（4）注意导函数图象与原函数图象间关系.

（二）导数与函数的极值

（1）定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近所有的点，都有0()()f x f x <，就说是0()f x 函数()f x 的一个极大值。记作y 极大值＝0()f x ，如果对0x 附近所有的点，都有

0()()f x f x >，就说是0()f x 函数()f x 的一个极小值。记作y 极小值＝0()f x 。极大值和极小值

统称为极值。

（2）求可导函数f (x )的极值的方法与步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数/

()f x

(2) 解方程()'

f

x =0,当()'f x =0时:

如果在x 0附近的左边()'

f

x ＞0,右边()'f x ＜0,那么f(x 0

)是极大值；

如果在x 0附近的左边()'f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0

)是极小值。

特别提醒：

（1）0x 是极值点的充要条件是0x 点两侧导数异号，而不仅是()0f x '＝0；()0f x '＝0是0x 为极值点的必要而不充分条件。

（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑0()0f x '=，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

（3）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较

（4）函数的极值是就函数在某一点附近的区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内

可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

（5）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.

（6）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值

的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. （三）导数与函数的最值

1.定义：函数()f x 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；

函数()f x 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。 2.求函数()y f x =在[,a b ]上的最大值与最小值的步骤： （i ）求函数()y f x =在（,a b ）内的极值（极大值或极小值）；

（ii ）将()y f x =的各极值与()f a ，()f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 3注意：

（1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性； 而“极值”是局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值如果有，则是唯一的；而极值可以不唯一； （3）若函数y=f (x )在闭区间[,a b ]上连续，则y=f (x )在[,a b ]上必有最大值和最小值；在开区间

(,a b )内连续的函数y=f (x )不一定有最大值与最小值.如.

(4)函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 (5)函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 典型例题

1．函数c bx ax x x f +++=2

3)(，当032

<-b a 时，)(x f 的单调性是 递增

2．函数32

()31f x x x =-+是减函数的区间为：D

Ａ.(2,)+∞ Ｂ.(,2)-∞ Ｃ.(,0)-∞ Ｄ.(0,2)

3.函数ax x x f -=3

)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围_____（答：03a <≤）； 4．在[,]a b 上，()0f x '≥恒成立是函数()y f x =单调递增的_______条件。(必要不充分) 5. 函数93)(2

3

-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a = D A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

6. 函数1)1(3

2+-=x y 的极值点是 （答：C ）；

A 、极大值点1-=x

B 、极大值点0=x

C 、极小值点0=x

D 、极小值点1=x 7．函数1)6()(2

3

++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是6a >或3a <- 8.函数5123223

+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是____（答：5；-15） 9.方程0109623

=-+-x x x 的实根的个数为______（答：1）；

10.()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（C ）

11已知函数()y xf x '=的图象如右下图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中

()y f x =的图象大致是：C

12. 若2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 C A ．∞[-1,+) B ．∞(-1,+) C ．∞(-,-1] D ．∞(-,-1)