高等代数【北大版】(7)
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
高等代数北大版第章习题参考答案精修订
高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数【北大版】7.9
LLLLL
0 ≠ 0. ( J aE )k 1 = M O O 0 1 0 L 0
k ∴ J 的最小多项式为 ( x a ) .
§7.9 最小多项式
6.(定理13) A ∈ P n×n与对角矩阵相似 (定理13)
A 的最小多项式是 上互素的一次因式的积. 的最小多项式是P上互素的一次因式的积 上互素的一次因式的积
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.9 最小多项式
一,最小多项式的定义 二,最小多项式的基本性质
§7.9 最小多项式
二,最小多项式的基本性质
1.(引理1)矩阵 的最小多项式是唯一的 (引理1 矩阵A的最小多项式是唯一的 的最小多项式是唯一的. 都是A的最小多项式 的最小多项式. 证:设 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是 的最小多项式 由带余除法,g1 ( x ) 可表成 由带余除法,
g1 ( x ) = q( x ) g2 ( x ) + r ( x )
∴ g1 ( x ) h( x ), g2 ( x ) h( x ).
从而
g ( x ) h( x ).
的最小多项式. 故 g( x ) 为A的最小多项式 的最小多项式
§7.9 最小多项式
推广: 若A是一个准对角矩阵 是一个准对角矩阵
A1 A2 O As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i = 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x )]. 的最小多项式是为 两两互素, 特别地,若 g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x ) 两两互素,即
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数【北大版】7.4
二,特征值与特征向量的求法
的一组基, 分析: 设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是V的一组基, 的一组基 分析: 在这组基下的矩阵为A. 线性变换 σ 在这组基下的矩阵为 的特征值, 设 λ0是 σ 的特征值,它的一个特征向量 ξ 在基
x01 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标记为 M , x 0n x01 则 σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标为 A M , x 0n
证:设 A 设
B , 则存在可逆矩阵 ,使得 则存在可逆矩阵X,
B = X 1 AX
于是, 于是, λ E B = λ E X 1 AX
= λ X 1 EX X 1 AX = X 1 ( λ E A) X = X 1 λ E A X
由多项式根与系数的关系还可得
+ L + ( 1) A
n
的全体特征值的和= ① A的全体特征值的和= a11 + a22 + L + ann . 的全体特征值的和 ② A的全体特征值的积= A . 的全体特征值的积=
§7.4 特征值与特征向量称之为A的迹 称之来自 的迹,记作trA. 记作
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. (定理 相似矩阵具有相同的特征多项式. 定理6)
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是 设线性变换
1 2 2 A = 2 1 2, 2 2 1
特征值与特征向量. 求 σ 特征值与特征向量 解:A的特征多项式 的特征多项式
λ 1 2 2 λ E A = 2 λ 1 2 = (λ + 1)2 (λ 5) 2 2 λ 1
高等代数【北大版】7.6
σ 2)由1), 的秩等于基象组 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) ),
的秩, 的秩,又
(σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n, ) A.
由第六章§ 由第六章§5的结论3知, σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 的秩 结论 知 等于矩阵A的秩 等于矩阵 的秩. 的秩 ∴ 秩(σ ) =秩 ( A).
σ (V ) + σ 1 (0) 未必等于 未必等于V.
如在例1中 如在例 中,
D ( P[ x ]n ) + D 1 ( 0 ) = P[ x ]n1 ≠ P[ x ]n
§7.6 线性变换的值域与核
3. 设 σ 为n 维线性空间 的线性变换,则 维线性空间V的线性变换 的线性变换,
ⅰ) σ 是满射 σ (V ) = V
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) = (ε 1 , ε 2 ,L , ε n , ) A
§7.6 线性变换的值域与核
A2 = A, 知 σ 2 = σ . 由
任取 α ∈ σ (V ), 设 α = σ ( β ), β ∈ V ,
σ (α ) = σ (σ ( β )) = σ 2 ( β ) = σ ( β ) = α 则
σ ( kα ) = kσ (α ) = k 0 = 0, α + β ∈ σ 1 (0), kα ∈ σ 1 (0), 即
k ∈ P
∴ σ (0) 对于 的加法与数量乘法封闭. 对于V的加法与数量乘法封闭 的加法与数量乘法封闭
1
的子空间. 故 σ (0) 为V的子空间 的子空间
1
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。
nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
高等代数【北大版】7.2
β = k1σ (ε 1 ) + k2σ (ε 2 ) + + knσ (ε n ),
即有 σ ( k1ε 1 + k 2ε 2 + + k nε n ) = β .
∴ σ 为满射 为满射.
§7.2 线性变换的运算
其次, 其次,任取 α , β ∈ V , 设 α = ∑ aiε i , β = ∑ biε i ,
1
(α + β ) = σ
1 1
1
1
1
1
1
1
1
σ 1 ( kα ) = σ 1 k ( σσ 1 ) (α ) = σ 1 k σ ( σ 1 (α ) )
= σ 1 σ k σ 1 ( α )
§7.2 线性变换的运算
= σ 1 ( α ) + σ 1 ( β )
( (
(
(
)))
)
((
)
))
= k σ 1 (α ) = kσ 1 (α )
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 线性变换的加法与数量乘法构成数域 上的一个线性 空间,记作 L(V ). 空间,
§7.2 线性变换的运算
四, 线性变换的逆
1.定义
为线性空间V的线性变换 若有V的变换 的线性变换, 设 σ 为线性空间 的线性变换,若有 的变换 τ 使
στ = τσ = E
§7.2 线性变换的运算
2.基本性质
(1)满足交换律:σ + τ = τ + σ )满足交换律: (2)满足结合律:(σ + τ ) + δ = σ + (τ + δ ) )满足结合律: 为零变换. (3) 0 + σ = σ + 0 = σ , 0为零变换 ) 为零变换 (4)乘法对加法满足左,右分配律: )乘法对加法满足左,右分配律:
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
高等代数课件(北大三版)--第七章-线性变换
尤其，向量空间V 在σ之下旳象是W 旳一种
子空间，叫做σ旳象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 旳零子空间 { 0 } 在σ之下旳原象是 V 旳一种子空间，叫做σ旳核，
记为 Ker( ),
即 Ker( ) { V | ( ) 0}.
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一种线 性映射，那么 :V W (i) σ是满射 Im( ) W (ii) σ是单射 Ker( ) {0} 证明 论断(i)是显然旳,我们只证论断(ii) 假如σ是单射,那么ker(σ)只能是具有唯一旳零向量. 反过来设ker(σ) = {0}.
轻易证明上面旳两个条件等价于下面一种条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0，对③进行数学归纳，能够得到：
（1） (0) 0
（2） (a11 ann ) a1 (1) an (n )
例1 对于 R 2 旳每历来量 x1, x2 定义 x1, x1 x2 , x1 x2 R3
x1
(1
,
2
,,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
( ) x1 (1) x2 (2 ) xn (n )
（2）
x1
(
(1),
(
2
),,
(
n
))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,
2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最终，等式表白， ( )关于(1,2 ,n ) 旳坐标所构成 旳列是
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并了解线性方程组的基本性质。
2. 掌握高斯消元法求解线性方程组，并能够运用该方法解决实际问题。
3. 了解克莱姆法则，并能够运用该法则判断线性方程组的解的情况。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性方程组的求解方法。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，并了解矩阵的基本性质。
2. 掌握矩阵的运算，包括矩阵的加法、减法、数乘以及矩阵的乘法。
3. 了解逆矩阵的概念，并掌握逆矩阵的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握矩阵的运算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，并了解线性空间的基本性质。
2. 掌握线性变换的概念，并了解线性变换的基本性质。
3. 了解特征值和特征向量的概念，并掌握特征值和特征向量的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握线性空间和线性变换的相关知识。
四、二次型1. 定义二次型，并了解二次型的基本性质。
2. 掌握二次型的标准形以及惯性定理。
3. 了解二次型的正定性以及其判定方法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握二次型的相关知识。
五、向量空间与线性映射1. 定义向量空间，并了解向量空间的基本性质。
2. 掌握线性映射的概念，并了解线性映射的基本性质。
3. 了解核空间以及秩的概念，并掌握核空间和秩的求法。
4. 通过例题讲解，让学生熟练掌握向量空间和线性映射的相关知识。
六、特征值和特征向量1. 回顾特征值和特征向量的定义，理解它们在矩阵对角化中的作用。
2. 学习如何求解一个矩阵的特征值和特征向量，包括利用特征多项式和行列式等方法。
3. 掌握特征值和特征向量在简化矩阵表达式和解决实际问题中的应用。
4. 提供例题，展示如何将一般矩阵问题转化为特征值和特征向量的问题，并教会学生如何解这些问题。
七、二次型1. 复习二次型的基本概念，包括二次型的定义、标准形和惯性定理。
2. 学习如何将一般二次型转化为标准形，以及如何从标准形判断二次型的正定性。
北大高代(第3版)7.7
向量 B ，则
A ( B ) = B (A ) BV .
因此， BV也是 A - 子空间. 因为 A 的多项式 f (A ) 是和 A 交换的，所 以 f (A ) 的值域与核都是 A - 子空间. 这种A - 子空 间是经常碰到的.
(1)
a11 a k1 0 0
a1k akk 0 0
a1,k 1 ak ,k 1 ak 1,k 1 an ,k 1
a1n akn A1 ak 1,n O ann
A - 子空间的和与交还是 A - 子空间.
四、 A 在不变子空间上引起的变换
设 A 是线性空间 V 的线性变换，W 是 A 的不
变子空间. 由于 W 中向量在 A 下的像仍在 W 中，
这就使得有可能不必在整个空间 V 中来考虑 A ，
而只在不变子空间 W 中考虑 A ，即把 A 看成 是 W 的一个线性变换，称为 A 在不变子空间 W 上 引 起的变换. 为了区别起见，用符号 A | W 来表示;
系. 这样，对上面的结果可以有进一步的了解.
定义 12 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的线
性 变换，W 是 V 的子空间. 如果 W 中的向量在A 下 的像仍在 W 中，换句话说，对于 W 中任一向量
有 A W，我们就称 W 是 A 的 不变子空间， 简称 A - 子空间.
二、举例
(i 1,2,, s),
(3)
并把它们合并起来成为 V 的一组基 I .
基下， A 的矩阵具有准对角形状
则在这组
A1
高等代数【北大版】17PPT课件
即 h ( x ) 有 1 ,2 , n 1 , n 1 个根，
定理9
由定理８，若 h(x)0 的话，则 h(x)n.
矛盾．
所以，h(x)0, 即 f(x)g(x).
§1.7 多项式函数
11
例2 求 t 值，使 f(x )x 3 3 x 2 tx 1有重根．
解：
3 2
x
15 4
f ( x)
3x26xt
3x2
3 2
x
f (x)
x33x2tx 1
1 3
x
1 3
x32x21 3tx
15 2
x
t
125 x145
t15 4ຫໍສະໝຸດ x223tx1 x22x13t
( 2 3 t 2 ) x ( 1 1 3 t) r 1 ( x ) t 3 ,t 3 3 r 1 (x ) 2 x 1
f ( x ) 的 k 重根. 当 k 1 时，称 为 f ( x ) 的单根． 当 k 1时，称 为 f ( x ) 的重根．
§1.7 多项式函数
7
注：
① 是 f ( x ) 的重根 x 是 f ( x ) 的重因式．
② f ( x ) 有重根 f (x) 必有重因式． 反之不然，即 f ( x ) 有重因式未必 f ( x ) 有重根．
设 f ( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,数 p,
将 f ( x )的表示式里的 x 用 代替，得到P中的数
a 0n a 1n 1 a n ,
称为当 x时 f ( x )的值，记作 f ( ).
这样，对P中的每一个数 ，由多项式 f ( x ) 确定P
高等代数(北大版)第7章习题
阵；
6) 在 P 3 中，A 定义如下：
A (5,0,3)
1
A2
(0,1,6)
，
A3 (5,1,9)
其中
(1,0,2)
1
2
(0,1,1)
，
3 (3,1,0)
求 A 在基1=(1,0,0), 2 =(0,1,0),3 =(0,0,1)下的矩阵；
9.设三维线性空间 V 上的线性变换 A 在基1, 2 ,3 下的矩阵为
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23 ，
a31 a32 a33
1) 求 A 在基 3 , 2 ,1 下的矩阵；
2) 求 A 在基 1, k 2 , 3 下的矩阵，其中 k P 且 k≠0；
An =0.求证：A 在某组下的矩阵是
0 1
0 0
0 0
0 0
0
1
0
0 。
0
0
1Leabharlann 0 12． 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间，证明：V 的与全体线性变换可
以交换的线性变换是数乘变换。
13. A 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个线性变换，证明：如果 A 在
16.证明
1
i1
2
与
n
i2
in
相似，其中 i1,i2 ,,in 是 1,2,, n 的一个排列。
高代第七章作业题
17. 如果 A 可逆,证明：AB 与 BA 相似。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数北大版7-5
1 2 n 则有 i i i , i 1,2, n.
1 , 2 , n 就是 的n个线性无关的特征向量.
§7.5 对角矩阵
反之，若 有 n 个线性无关的特征向量 1 ,2 ,,n ,
那么就取1 ,2 ,,n 为基，则在这组基下 的矩阵
§7.5 对角矩阵
一、可对角化的概念
二、可对角化的条件 三、对角化的一般方法
§7.5 对角矩阵
Hale Waihona Puke 一、可对角化的概念定义1：设 是 n 维线性空间V的一个线性变换，
如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换 可对角化.
定义2：矩阵A是数域 P 上的一个 n 级方阵. 如果
a1k1 a2k 2 ak k k 0.
又对①式两端施行线性变换 ，得
②
a111 a22 2 ak k k 0.
§7.5 对角矩阵
③
③式减②式得
a1 (1 k )1 a2 (2 k ) 2 ak 1 (k 1 k ) k 1 0
1 , 2 ,r 5. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，
为 全部不同的特征值，则 可对角化
dimVi n,
i 1 r
Vi 为 的特征子空间.
§7.5 对角矩阵
6. 设 为n维线性空间V的一个线性变换，
若 在某组基下的矩阵为对角矩阵
1 2 D n
ak 0
故 1 , 2 , , k 线性无关.
3. (推论1) 设 为n 维线性空间V的一个线性变换，
如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 则 可对角化. 特别地，(推论2) 在复数域C上的线性空间中， 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 对角化.
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( )ki 1,1 g ( x ) 0 1 i ki 1 0 ( 1 ) gi 1 ( x )
等价.
§8.5 初等因子
从而 D( ) 与对角矩阵 D1 ( )
( 1 )k11 g1 ( x ) kn 1 ( 1 ) gn ( x )
§8.5 初等因子
ki j
就是A的全部
为了方便起见，先对 1 的方幂进行讨论. 令
gi ( x ) ( 2 ) ki 2 ( 3 ) ki 3 ( r )kin , ,n
i 1,2,
,n
ki 1 h ( ) ( ) gi ( ), i 1,2, 于是 i 1 ki 1 ( ) 且每一个 都与 g j ( ) ( j 1,2, 1
( j ) , ( j ) ,
k1 j
k2 j
, ( j )
kn j
j 1,2,
,r
在 D( ) 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角 矩阵 D( )与 D( )等价. 此时 D( ) 就是 E A 的 标准形， 且所有不为1的 ( j ) 初等因子.
d i ( x ) | d i 1 ( x ), i 1,2,
从而有
( j )
ki j
| ( j )
ki 1, j
, i 1,2,
, n 1,
j 1,2,
r
因此有, k1 j k2 j
§8.5 初等因子
knj ,
j 1,2,
,r
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 d n ( ) 的分解式中，次高的必 出现在 d n1 ( ) 的分解式中. 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的.
则A的初等因子有7个，它们是
( 1)2 , ( 1)2 , ( 1)2 , ( 1), ( 1), ( i ) , ( i )
2 2
§8.5 初等因子
二、初等因子与不变因子的关系
分析: ① 设n级矩阵A的不变因子为已知：
d1 ( x ), d 2 ( x ),
§8.5 初等因子
③ 设 n 级矩阵 A 的全部初等因子为已知. 在全部初等因子中，将同一个一次因式
( j )
j 1,2,
r
的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初 等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数 的1，使其凑成n个，设所得排列为
( j ) , ( j )
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
§8.5 初等因子
三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f1 ( ), f 2 ( )都与 g1 ( ), g2 ( ) 互素，则
又得
§8.5 初等因子
f ( ) | d1 ( ). g( ) | d 2 ( ).
同理可得
即
f ( ) g( ) | d1 ( )d 2 ( ), d ( ) | d1 ( )d 2 ( )
故 d ( ) | d1 ( )d 2 ( )
§8.5 初等因子
2、(引理2) 设
2 ∴ A的初等因子为: 1, ( 1) .
§8.5 初等因子
§8.5 初等因子
kn j
kn1, j
,
, ( j ) ,
k1 j
j 1,2,
r.
于是令
d i ( x ) ( 1 )ki 1 ( 2 )ki 2 ( r )kir , i 1,2, ,n
则
d1 ( x ), d 2 ( x ),
, dn ( x)
就是A的不变因子.
f ( ) g ( ) 0 1 1 A( ) 0 f ( ) g ( ) 2 2 f ( ) g ( ) 0 2 1 B( ) 0 f ( ) g ( ) 1 2
如果多项式 f1 ( ), f 2 ( ) 都与 g1 ( ), g2 ( ) 互素，
kn 1 kn 2
( r ) k2 r , ( r ) .
knr
§8.5 初等因子
则其中对应于 ki j 1 的那些方幂 :
( j )
ki j
( ki j 1)
就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d1 ( x ), d 2 ( x ),
, d n ( x )满足 ,n 1
从而 A( ), B( )的一阶行列式因子相同. 所以， A( ) 与 B ( ) 等价.
§8.5 初等因子
nn A C , 将特征矩阵 E A 进行 3、(定理9) 设
初等变换化成对角形
h1 ( ) h2 ( ) D( )
hn ( )
其中 h i ( ) 皆为首1多项式， i 1,2,
,n
将 h i ( ) 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:
h i ( ) ( 1 ) ( 2 )
ki 1
ki 2
( r ) ,
ki r
i 1,2,
§8.5 初等因子
,n
下证，对于每个相同的一次因式的方幂
解：对 E A 作初等变换
1 2 E A 1 1
2 6 0 1 3 2 1 3 0 1 1 1 4 1 4
§8.5 初等因子
1 1 1 4 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 0 ( 1)2
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 小结与习题
§8.5 初等因子
一、初等因子的定义 二、初等因子与不变因子的关系 三、初等因子的求法
§8.5 初等因子
一、初等因子的定义
§8.5 初等因子
例1、已知3级矩阵A的初等因子为：( 1)2 , 2.
求A的不变因子. 解：作排列
( 1)2 , 1, 1
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1)2 ( 2),
d 2 ( x ) d1 ( x ) 1.
§8.5 初等因子
将 d i ( x ) ( i 1,2, 的方幂的乘积:
d1 ( x ) ( 1 ) ( 2 )
k11 k12
, dn ( x)
, n) 分解成互不相同的一次因式
( r ) ,
k1 r
d 2 ( x ) ( 1 )k21 ( 2 )k22 d n ( x ) ( 1 ) ( 2 )
然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因 式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同 的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.
§8.5 初等因子
证：设 E A 经过初等变换化成对角形
h1 ( ) h2 ( ) D( )
hn ( )
, n) 互素.
如果相邻的一对指数 ki 1 ki 1,1 ,
ki 1 ki 1,1 D ( ) 则在 中将 ( 1 ) 与 ( 1 ) 对调位置，
而其余因式保持不动， 由引理2
§8.5 初等因子
( ) ki 1 g ( x ) 0 1 i ki 1,1 0 ( ) g ( x ) 1 i 1
( 1 )ki 1 gi ( x )
( 1 )ki 1 gi 1 ( x )
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
§8.5 初等因子
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 ,
, r 作同样处理.
则 A( ) 与 B ( ) 等价.
§8.5 初等因子
证：首先， A( ) B( ) , 从而 A( ), B( ) 二阶行列式因子相同. 其次，由引理1，有
f1 ( ) g1 ( ),
f 2 ( ) g2 ( )
f 2 ( ) g1 ( ), f1 ( ) g2 ( ) f1 ( ), f 2 ( ) g1 ( ), g2 ( )
d ( ) f ( ) g( ),
f ( ) | f1 ( ),
g( ) | g1 ( )
又 由
f1 ( ), g2 ( ) 1,
f ( ) | f 2 ( ) g2 ( ),
f ( ), g2 ( ) 1.
f ( ) | f 2 ( ).
( ) d ( ).
显然， d1 ( ) d ( ),
§8.5 初等因子
2
由于 因而
f1 ( ), g1 ( ) 1 ,
d1 ( )d 2 ( ) d ( )
故
d1 ( ), d 2 ( ) 1.
另一方面，由于 可令 其中