高等代数【北大版】(7)

则 A( ) 与 B ( ) 等价.
§8.5 初等因子
证：首先， A( ) B( ) , 从而 A( ), B( ) 二阶行列式因子相同. 其次，由引理1，有
f1 ( ) g1 ( ),
f 2 ( ) g2 ( )
f 2 ( ) g1 ( ), f1 ( ) g2 ( ) f1 ( ), f 2 ( ) g1 ( ), g2 ( )
( j ) , ( j ) ,
k1 j
k2 j
, ( j )
kn j
j 1,2,
,r
在 D( ) 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角 矩阵 D( )与 D( )等价. 此时 D( ) 就是 E A 的 标准形， 且所有不为1的 ( j ) 初等因子.
把矩阵 A C nn 的每个次数大于零的不变因子 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些 一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算） 称为A的初等因子.
§8.5 初等因子
例1、若12级复矩阵A的不变因子是:
1,1,
9个
,1, ( 1), 2 ( 1)2 ( 1), ( 1)2 ( 1)( 2 1) 2
f ( ) g ( ) 0 1 1 A( ) 0 f ( ) g ( ) 2 2 f ( ) g ( ) 0 2 1 B( ) 0 f ( ) g ( ) 1 2
如果多项式 f1 ( ), f 2 ( ) 都与 g1 ( ), g2 ( ) 互素，
最后便得到与 D( ) 等价的对角阵 D( ).
D( ) 的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂
都是按升幂排列的， D( ) 即为 E A 的标准形.
§8.5 初等因子
例2、求矩阵A的初等因子
1 2 6 A 1 0 3 1 1 4
§8.5 初等因子
ki j
就是A的全部
为了方便起见，先对 1 的方幂进行讨论. 令
gi ( x ) ( 2 ) ki 2 ( 3 ) ki 3 ( r )kin , ,n
i 1,2,
,n
ki 1 h ( ) ( ) gi ( ), i 1,2, 于是 i 1 ki 1 ( ) 且每一个 都与 g j ( ) ( j 1,2, 1
§8.5 初等因子
kn j
kn1, j
,
, ( j ) ,
k1 j
j 1,2,
r.
于是令
d i ( x ) ( 1 )ki 1 ( 2 )ki 2 ( r )kir , i 1,2, ,n
则
d1 ( x ), d 2 ( x ),
, dn ( x)
就是A的不变因子.
然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因 式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同 的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.
§8.5 初等因子
证：设 E A 经过初等变换化成对角形
h1 ( ) h2 ( ) D( )
hn ( )
( 1 )ki 1 gi ( x )
( 1 )ki 1 gi 1 ( x )
等价. 然后对 D1 ( ) 重复上述讨论.
§8.5 初等因子
如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含
1的方幂是按逆升幂次排列为止.
再依次对 2 ,
, r 作同样处理.
d ( ) f ( ) g( ),
f ( ) | f1 ( ),
g( ) | g1 ( )

又 由
f1 ( ), g2 ( ) 1,
f ( ) | f 2 ( ) g2 ( ),
f ( ), g2 ( ) 1.
f ( ) | f 2 ( ).
f1 ( ) g1 ( ),
证：令
f 2 ( ) g2 ( ) f1 ( ), f 2 ( ) g1 ( ), g2 ( )
f1 ( ) g1 ( ), f 2 ( ) g2 ( ) d ( ), f1 ( ), f 2 ( ) d1 ( ), g1 ( ), g2 ( ) d 2 ( ),
d i ( x ) | d i 1 ( x ), i 1,2,
从而有
( j )
ki j
| ( j )
ki 1, j
, i 1,2,
, n 1,
j 1,2,
r
因此有, k1 j k2 j
§8.5 初等因子
knj ,
j 1,2,
,r
即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中， 方次最高的必出现在 d n ( ) 的分解式中，次高的必 出现在 d n1 ( ) 的分解式中. 如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂 的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是 唯一确定的.
结论1、若两个同级数字矩阵有相同的不变因子，
则它们就有相同的初等因子； 反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有 相同的不变因子.
结论2、两个同级数字矩阵相似
它们有相同的初等因子.
可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.
§8.5 初等因子
三、初等因子的求法
1、(引理1)若多项式 f1 ( ), f 2 ( )都与 g1 ( ), g2 ( ) 互素，则
解：对 E A 作初等变换
1 2 E A 1 1
2 6 0 1 3 2 1 3 0 1 1 1 4 1 4
§8.5 初等因子
1 1 1 4 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 0 ( 1)2
2 ∴ A的初等因子为: 1, ( 1) .
§8.5 初等因子
§8.5 初等因子
例1、已知3级矩阵A的初等因子为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( 1)2 , 2.
求A的不变因子. 解：作排列
( 1)2 , 1, 1
2, 1, 1
得A的不变因子为：
d 3 ( x ) ( 1)2 ( 2),
d 2 ( x ) d1 ( x ) 1.
§8.5 初等因子
将 d i ( x ) ( i 1,2, 的方幂的乘积:
d1 ( x ) ( 1 ) ( 2 )
k11 k12
, dn ( x)
, n) 分解成互不相同的一次因式
( r ) ,
k1 r
d 2 ( x ) ( 1 )k21 ( 2 )k22 d n ( x ) ( 1 ) ( 2 )
第八章 λ─矩阵
§1 λ－矩阵 §2 λ－矩阵的 标准形 §3 不变因子 §4 矩阵相似的条件 §5 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 的理论推导 小结与习题
§8.5 初等因子
一、初等因子的定义 二、初等因子与不变因子的关系 三、初等因子的求法
§8.5 初等因子
一、初等因子的定义
( ) d ( ).
显然， d1 ( ) d ( ),
§8.5 初等因子
2
由于 因而
f1 ( ), g1 ( ) 1 ,
d1 ( )d 2 ( ) d ( )
故
d1 ( ), d 2 ( ) 1.
另一方面，由于 可令 其中
d ( ) f1 ( ) g1 ( ),
从而 A( ), B( )的一阶行列式因子相同. 所以， A( ) 与 B ( ) 等价.
§8.5 初等因子
nn A C , 将特征矩阵 E A 进行 3、(定理9) 设
初等变换化成对角形
h1 ( ) h2 ( ) D( )
hn ( )
其中 h i ( ) 皆为首1多项式， i 1,2,
,n
将 h i ( ) 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:
h i ( ) ( 1 ) ( 2 )
ki 1
ki 2
( r ) ,
ki r
i 1,2,
§8.5 初等因子
,n
下证，对于每个相同的一次因式的方幂
与
( )ki 1,1 g ( x ) 0 1 i ki 1 0 ( 1 ) gi 1 ( x )
等价.
§8.5 初等因子
从而 D( ) 与对角矩阵 D1 ( )
( 1 )k11 g1 ( x ) kn 1 ( 1 ) gn ( x )
§8.5 初等因子
③ 设 n 级矩阵 A 的全部初等因子为已知. 在全部初等因子中，将同一个一次因式
( j )
j 1,2,
r
的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初 等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数 的1，使其凑成n个，设所得排列为
( j ) , ( j )
则A的初等因子有7个，它们是
( 1)2 , ( 1)2 , ( 1)2 , ( 1), ( 1), ( i ) , ( i )
2 2
§8.5 初等因子
二、初等因子与不变因子的关系
分析: ① 设n级矩阵A的不变因子为已知：
d1 ( x ), d 2 ( x ),
又得
§8.5 初等因子

f ( ) | d1 ( ). g( ) | d 2 ( ).
同理可得

即
f ( ) g( ) | d1 ( )d 2 ( ), d ( ) | d1 ( )d 2 ( )
故 d ( ) | d1 ( )d 2 ( )
§8.5 初等因子
2、(引理2) 设
kn 1 kn 2
( r ) k2 r , ( r ) .
knr
§8.5 初等因子
则其中对应于 ki j 1 的那些方幂 :
( j )
ki j
( ki j 1)
就是A的全部初等因子. ② 注意到不变因子 d1 ( x ), d 2 ( x ),
, d n ( x )满足 ,n 1
, n) 互素.
如果相邻的一对指数 ki 1 ki 1,1 ,
ki 1 ki 1,1 D ( ) 则在 中将 ( 1 ) 与 ( 1 ) 对调位置，
而其余因式保持不动， 由引理2
§8.5 初等因子
( ) ki 1 g ( x ) 0 1 i ki 1,1 0 ( ) g ( x ) 1 i 1