(整理)7第七章微分方程答案.

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微 分 方 程

第一节 微分方程的基本概念 1.填空题

(1) 微分方程0)'('''2

4

2

=++y y y x 的阶是 3 (2) 若x

e B Ax y )(+=是微分方程x

xe y y =-'2''的一个特解，则

=A 1- ，=B 3

2．写出下列问题所确定的微分方程

(1)已知曲线)(x f y =过点)1,1(，其上任意一点),(y x 处的切线的斜率为

x x ln 2，求)(x f 满足的微分方程.

⎩⎨

⎧==21

)1(ln 'y x

x y (2000题531) （2）由曲线上任意一点引法线，它在纵轴上截得的截距的长度等于该点到坐标原点的距离的2倍，求此曲线满足的微分方程.

y

y x x y -+=

2

2

2'(2000题531)

(3) 列车在水平直线路上以20m/s (相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2

. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列

车在这段时间里行驶了多少路程?

解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式

4.02

2-=dt s d . (5) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:

t =0时, s =0, 20==dt ds v . (6)

把(5)式两端积分一次, 得

14.0C t dt ds v +-==; (7)

再积分一次, 得

s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (8) 这里C 1, C 2都是任意常数. 把条件t =0，v =20代入(7)得

20=C 1;

把条件t =0，s =0代入(8)得

0=C 2.

把C 1, C 2的值代入(7)及(8)式得

v =-0.4t +20, (9) s =-0.2t 2+20t . (10)

在(9)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

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.020==t (s ). 再把t =50代入(10), 得到列车在制动阶段行驶的路程

s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).

第二节 可分离变量方程 1. 填空题

（1）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】 应填1

y x

=． 【详解】由

dy y

dx x

=-，得dy dx y x =-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+． 代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x =

． (1) 微分方程 y

x e

y 2'+=的通解为C e

e y

x =+-22

(3) 微分方程(1)y x y x

-'=的通解是e (0).x

y Cx x -=≠

【分析】 本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可 【详解】 原方程等价为

d 11d y x y x ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得

e x y C x -

=.（1e C C =） 2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)0sin tan =-xdy ydx

解 分离变量得

x

dx y ydy sin sin cos =

两边积分得 '|2tan |ln |sin |ln C x

y += 故原方程的通解为 )(2

tan sin '

C e C x C y ±==

(2)0)()(=++-++dy e e dx e e

y y x x y

x

解 两边除以 y

x e

+，并分离变量得

1

1+=--x x y y e dx

e e dy e

两边分别积分得方程的通解为 C e e y

x

=-+)1)(1( (3)dy x y x y ydx x )1(2

2

2

2

2

+--= 分离变量得

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dy y

y dx x x 2

2

2211-=+ 两边分别积分得微分方程的通解为

C y y x x +-=-2

ln arctan 2

(4))'('2

y y a xy y +=- 分离变量可得

x a dx

ay

y ey +=-2

两边积分求得的通解为 C x a ay y

ln )ln(|1

|

ln ++=-，即有 )(1

x a C ay y

+=-. 第三节 齐 次 方 程

1.填空题

(1) 微分方程0)(=-+ydx dy y x 的通解是y

x Ce y =

(2)已知函数)(x y 满足微分方程x

y y xy ln '=,且在1=x 时,2

e y =,则

1-=x 时， y 1-

2.求解下列微分方程 (1)x

y

x y y tan '=-

解 令 ux y =，则有

x

dx

u du =

tan 两边积分得 Cx u =sin

原方程的通解为 Cx x

y

=sin

(2)0)2()23(2

2

2

=-+-+dy xy x dx y xy x

解 方程可化为 x

y x y x y y 2

13

2)('2---= 令 ux y =，则有 1

2)1(32---=-u u u dx du x 分离变量解之得 3

2

1-=--Cx u u

原方程的通解为 C x yx x y =--3

22 (3)y

x y

x y ++-

=34'

解 另ux y =，则有1

)2(2

++-=u u dx du u