1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

【变式练习】
y sin x x R的最小正周期为 ______
1．下列函数中，最小正周期为 π 的是( D )
A．y＝sin x
B．y＝cos x
x C．y＝sin2 【解析】
D．y＝cos 2x
由T
=
2
知
D
中函数的最小正周期为π
.
2π
2.函数 y=3cos（ 5 x－ 6 ）的最小正周期是( D )
提示：正弦函数存在最小正周期，是 2.
正弦函数、余弦函数的定义域、值域和周期性：
1、定义域： R
2、值域：1,1
3、周期性：正弦函数是周期函数，2k(k Z且k 0)
都是它的周期，最小正周期是2 .
余弦函数也是周期函数，2k(k Z且k 0) 都是它的周期，最小正周期是 2 .
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）
正弦曲线、余弦曲线 图象的作法：
y 1
三角函数线法 五点法 平移法
y=cosx，x[0, 2]

o
2
2

3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
正弦函数图像特征：
y
1-
y sin x x[0,2]
-
-1
o
6


3
2
2 3
5 6
2π
A. 5
5π
B. 2
C.2π
D.5π
1 3.方程 sinπ x＝4x 的解的个数是(
C
)
A．5
B．6
C．7
D．8
4.求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sinπ2x＋3；(2)y＝|cos x|.
【解题关键】 解答本题(1)可利用代换 z＝π2x＋3，将求原来函
数的周期转化为求 y＝sin z 的周期再求解，或利用公 式求解；(2)可通过图象求周期．
2
2
所以原函数的周期为 2 .
(2)sin(1 x ) sin(1 x 2)
34
34

sin

1 3

x

6

4
，
所以原函数的周期为6 .
思考：你能从例1的解答过程中归纳一下这些函数 的周期与解析式中哪些量有关吗？
提示:
T
2π
|自变量的系数|
【方法规律】

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
注意：函数图像 的凹凸性！
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：( ,1)
2
最低点：( 32 , 1)
与x轴的交点：(0,0) ( ,0) (2 ,0)
余弦函数图像特征： y 1-
3、正弦函数、余弦函数的图像间隔相同单位重 复出现.
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π
π
3π
5π x
O
2π
4π
6π
-1
思考：观察上图, 正弦曲线每相隔 2 个单位重复出 现.其理论依据是什么？
提示: 诱导公式 sin x 2k sin x k Z
与x轴的交点：( , 0) (3 , 0)
2
2
问题：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？
定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、 最值；
1.结合函数图象理解函数的定义域、值域、周期
性. 2.理解正弦函数、余弦函数的最小正周期的定义，并 会求简单函数的周期. (重点）
微课1 正弦函数、余弦函数的周期性


2
sin
(
1 2
x

6
)

2
2sin(1 x ), 26
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4 .
【变式练习】
求下列函数的周期：
(1)y 1 cos x, x R; 2
(2)y sin(1 x ), x R. 34
解：(1) 1 cos x 1 cos(x 2),
非零常数T叫做这个函数的周期.
思考：周期函数的周期是否是唯一的？正弦函数 的周期可以是哪些？
提示：周期函数的周期不止一个.例如2, 4,6…以及 - 2,- 4,- 6 …都是正弦函数的周期.事实上，任 何一个常数 2k(k Z且k 0)都是它的周期.
最小正周期: 如果在周期函数 f (x) 的所有周期中存在 一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最 小正周期. 思考：正弦函数有没有最小正周期？如果有，是 多少？如果没有，请说明理由.
当自变量x的值增加2π 的整数倍时，函数值重复出 现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种 “周而复始”的变化规律.
周期函数的定义：
对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T，
使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有
f (x T) f (x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数.
【即时训练】

函数 f(x)=cos（2x+ 4 ）的最小正周期是 ( B )
A.
2
B.π
C.2π
D.4π
例1.求下列函数的周期：
(1)y 3cos x, x R; (2)y sin 2x, x R; (3)y 2sin(1 x ), x R.
26
记住正弦、余 弦函数的周期
一般地，函数 y Asin(x ), x R (其中 0 ),最 小正周期 T 2 .

例 2. 已知 定 义 在 R 上 的函 数 f(x) 满 足 f(x ＋ 2) ＋ f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数.
【解析】由已知有：f(x＋2)= -f(x), 所以f(x+4)= f[(x＋2)+2]= -f(x＋2) =-[-f(x)]= f(x), 即f(x＋4)=f(x), 所以由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.
法二 f(x)＝sinπ2x＋3的周期 T＝2ππ＝4.
2
(2)作 y＝|cos x|的图象，如图所示： 由图象知 y＝|cos x|的最小正周期为 π.
【方法规律】 1．正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由
终边相同角所具有的周期性决定的． 2．对于形如 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋
y cos x x [0, 2 ]
--
-1
o
6

2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-1 -
注意：函数图像
Байду номын сангаас
的凹凸性！
在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点：(0,1) (2 ,1)
最低点：( , 1)
【解析】（1）因为 3cos(x 2) 3cos x ，
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为2 .
（2）因为 sin 2(x ) sin(2x 2) sin 2x ， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.
（3）因为
2
sin

1 2

x

4

6
1 y y=sinx
-6π -4π -2π -5π -3π
-π π
3π
5π x
O
2π
4π
6π
-1 y
y=cosx
2
2
1 2
2
2
2x
2
2
2
O -1
2


2
2
提示: 1、正弦函数、余弦函数的图像向左、向右无限伸展；
2、正弦函数、余弦函数的图像夹在两平行直线y=1, y=-1之间；
φ)(A，ω，φ 为常数，且 ω≠0)函数的周期求法常直接 利用 T＝|2ωπ|来求解；形如 y＝|Asin ωx|或 y＝|Acos ωx| 的周期常结合函数的图象，观察求解．
【互动探究】 若把例题中两个函数改为： (1)y＝13cos2x－π3； (2)y＝cos|x|，试求函数的最小正周期．
【解析】 (1)∵y＝13cos2x－π3中，ω＝2， ∴函数的最小正周期为 T＝22π＝π. (2)∵y＝cos|x|＝cos x， ∴y＝cos|x|的最小正周期 T＝2π.
5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T ＝2，且当 x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，求函数 f(x)的解析 式．
【解析】 (1)法一 令 z＝π2x＋3，且 y＝sin z 的最小正周期为 2π.
∴sinπ2x＋3＋2π＝sinπ2x＋4＋3， 因此 sinπ2x＋3＝sinπ2x＋4＋3. ∴由周期函数定义，T＝4 是 y＝sinπ2x＋3的最 小正周期．
【 解 析 】 当 x∈[2k － 1,2k ＋ 1](k∈Z) 时 ， x － 2k∈[－1,1]，
又∵函数 y＝f(x)的周期 T＝2， ∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2， 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－2k)2(x∈[2k－ 1,2k＋1](k∈Z))．
周期函数、最小正周期.
正（余）弦函数
周期性 定义域
值域
把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本 书.
——麦考莱