地下水动力学地下水流基本微分方程及定解条件课件

第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
主要内容：
➢ 建立连续性方程 ➢ 分析含水层与岩石、流体压缩性关系 ➢ 建立不同含水层地下水流微分方程 ➢ 讨论边界条件及初始条件 ➢ 用数学模型描述实际问题
2.1 水和多孔介质的压缩性
水的压缩方程（地下水的状态方程)
假定水近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
嫁到多孔介质固体骨架上，增大有效应力，压缩多孔介质，结果使含 水层介质厚度变薄和空隙率n变小，同时从孔隙中释放地下水； ➢ p减少多孔介质固体颗粒也会膨胀,而有效应力增大又会影响固体颗 粒的变形。综合起来，这种现象比较复杂。考虑到固体颗粒的压缩性 比多孔介质要小得多，因此通常忽略多孔介质固体颗粒的压缩性。
e ( p0 p) V V0
水的压缩方程
按Taylor级数展开
f (x) f (x) f (0) x f (0) x2 f (n) (0) xn
1!
2!
n!
ex 1 x x2 x3 ... 2! 3!
e ( p0 p)
1
( p0
p)
2
2!
(
p0
p)2
3
3!
( p0
p)3
由于
Vm
V p
V0
V p
V
d(m)
dV V
m
d( 1 ) d
水的压缩方程
dp 1 d
d
dp
(1 5)
多孔介质的压缩方程
假定多孔介质近似地符合弹性变形，依虎克定律，有
1 dVb d Vb
α为岩土的体积弹性压缩系数。
如果上部荷载不变，则 d dp
dp 1 dVb
Vb
地下水弹性储存
弹性储存：当地下水水头（水压）降低(或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质
物理意义： ➢ 弹性储存与重力储存不同；
给水机制不同
➢ 弹性储存更宜理解为“变形储存”；
➢ 弹性储存这种性质不仅承压含水层具备，层间 弱透水层也有弹性储存
因Vs=constant，故
只在垂直方向上有压缩，
含水层上覆岩土体、地表建筑物和大气压力等荷载形成的总压应力由粒
间应力的垂向分量s和孔隙水应力p两者来平衡.
测压水头
s (1 ) p
hp
p
为单位水平面积中颗粒间接触面积的水
平投影.
由于 <<1，令（K.Terzaghi)
p s
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
s (1 ) p p
Terzaghi有效应力公式
s (1 ) p p
测压水头
hp
p
p
多孔介质总应力
' 有效应力
p 孔隙水应力
' p
图2-2-1 饱和含水介质中受力情况
有效应力公式分析
水压p减少，将引起以下作用:
➢ p减少地下水体积膨胀，从而释放出部分地下水； ➢ p减少地下水对上覆岩土体浮力降低，为维持平衡，这部分力将转
Vb Vs Vv
Vv＝nVb；
由于骨架部分体积不变 dVb dVv
Vs＝(1-n)Vb
1 dVs 1 dVv 1 n dVs n dVv
Vb d Vb d
Vs d Vv d
Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb
式中
——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多
孔介质中固体颗粒本身的压缩性的指标，s<<p；
的参数，在地下水动力学计算中具有重要的意义。
➢ 贮水率
表示含水层水头变化一个单
位时，从单位体积含水层中，因水体积膨胀（压缩）以
及骨架的压缩（或伸长）而释放（或储存）的弹性水量。
单位1/L。
故
（1-12）
1 dVb
（1-13）
d Vb
上两式表示垂直厚度变化、孔隙度变化与水的压强变化的关
系。
➢ 水头降低时含水层释出水的特征，取面积为1m2、厚度为l m (即体积为l m3)的含水层，考察当水头下降1m时释放的水量。 此时，有效应力增加了H＝g×1=g。
➢ 介质压缩体积减少所释放出的水量（dVb）为
地下水动力学地下水流基本微分方程 及定解条件
第二章 地下水流基本微分方程及定解条件
教学目标：
➢ 准确理解渗流连续性概念 ➢ 掌握达西定律和质量守恒原理的应用 ➢ 掌握建立地下水基本微分方程的思想方法 ➢ 几种典型的地下水流方程的推导
●潜水剖面二维流、平面二维流 ●承压水二维流 ● 三维流 ➢ 边界条件概化，初始条件确定方法与原则 ➢ 能够用数学模型描述实际问题
dp 1 dV 1 dV
V
V dp
E 1
p 为水压； V 为水的体积；β为水的体积弹性压缩(或膨胀)系数
E为体积弹性模量 。V随p增大而减小，即dV/dp<0
积分
p dp 1
V
dV
p0V V0ຫໍສະໝຸດ (p0p)
ln
V V0
e ( p0 p) V V0
压缩系数：单位压力变化时引起的液体单位体积的 变化量，单位为平方米每牛。其倒数为体积模量， 单位为帕斯卡。水体压缩系数与压力和温度有关。
d
dp
dp dH
e (1 e)
p
说明本节假设：假定多孔介质变形符合弹性规律，对研究含水 层释水时可用；但对研究地面沉降问题时，应用有所差异。
2.2 水和多孔介质的压缩性
•地下水弹性储存概念
取一典型处于平衡状态的饱和地层柱体来研究，这里只考虑垂直一维压密， 忽略侧面上粒间力(包括内聚力和摩擦力)的作用。
➢ 与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和
上述二者之和所释放出的水量为
或
（1-14）
式中 s ——贮水率[释水率]（specific storativity），量纲
[L-1]，为弹性释水[贮水] ； 式中 M——含水层厚度(m)；
*——贮水系数（storativity）。
*=sM ➢ 贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力
...
由于很小，且p变化不大，故
e ( p0 p) 1 ( p0 p)
V V0
1 ( p0
p)
V V0[1 ( p0 p)]
V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0 ( p0 p)
V V0 V0
( p0
p)
V V0
( p0
p)
水的压缩方程
dp 1 dV
V
由于V~V0变化不大，故
——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表 示多孔介质中孔隙的压缩性的指标。n——多孔介质的孔隙度。
1-8
因
，故
。
1-9
水的压缩方程 多孔介质的压缩方程
dp 1 dV
V V p
V
1 dVb d Vb