梅森素数
梅森素数--美丽的贝壳
梅森素数--美丽的贝壳⼀、价值五万美元的素数2000年4⽉6⽇，住在美国密歇根州普利茅茨的那扬·哈吉拉特⽡拉(Nayan Hajratwala)先⽣得到了⼀笔五万美元的数学奖⾦，因为他找到了迄今为⽌已知的最⼤素数，这是⼀个梅森素数：2^6972593-1。
这也是我们知道的第⼀个位数超过⼀百万位的素数。
精确地讲，如果把这个素数写成我们熟悉的⼗进制形式的话，它共有两百零九万⼋千九百六⼗位数字，如果把它以这个形式写下来，⼤约需要150到200篇本⽂的篇幅。
可是哈吉拉特⽡拉先⽣并不是⼀个数学家，他甚⾄很可能对寻找素数的数学理论⼀⽆所知——虽然这使他赢得了这笔奖⾦。
他所做的⼀切，就是从互联⽹上下载了⼀个程序。
这个程序在他不使⽤他的奔腾II350型计算机时悄悄地运⾏。
在经过111天的计算后，上⾯所说的这个素数被发现了。
⼆、梅森素数我们把⼀个⼤于1的⾃然数叫作素数，如果只有1和它本⾝可以整除它。
如果⼀个⽐1⼤的⾃然数不是素数，我们就叫它合数。
1既不是素数，也不是合数。
⽐如说，你很容易就可以验证7是⼀个素数；⽽15是⼀个合数，因为除了1和15外，3和5都可以整除15。
根据定义，2是⼀个素数，它是唯⼀的偶素数。
早在公元前三百年的古希腊时代，伟⼤的数学家欧⼏⾥德就证明了存在着⽆穷多个素数。
关于素数，有许多既简单⼜美丽，但是极为困难的，到现在还没有答案的问题。
其中有著名的哥德巴赫猜想，它是说任何⼀个⼤于6的偶数，都能表⽰为两个奇素数之和。
还有孪⽣素数问题。
象5和7，41和43这样相差2的素数对，被称为孪⽣素数。
孪⽣素数问题是说：是不是有⽆穷多对孪⽣素数？这⾥要顺便提⼀下的是，这些看起来很简单的数学问题，它们的解决⽅法将⼀定是极其复杂的，需要最先进的数学⼯具。
如果你不是狂妄到认为⼏百甚⾄⼏千年来所有在这些问题上耗费了⽆数聪明才智的数学家（有许多是⾮常伟⼤的）和数学爱好者加起来都不如你聪明，就不要试图⽤初等⽅法去解决这些问题，徒费时间和精⼒。
梅森素数
梅森素数维基百科，自由的百科全书跳转到：导航, 搜索梅森数是指形如2n− 1的数，记为M n；如果一个梅森数是素数那么它称为梅森素数。
∙梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名的，他列出了n≤ 257的梅森素数，不过他错误地包括了不是素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。
梅森数不一定皆为质数，以下即是梅森质数及非质数梅森数的例子：∙M2 = 22− 1 = 3、M3 = 23− 1 = 7 是素数。
∙M4 = 24− 1 = 15 不是素数。
目录[隐藏]∙ 1 相关命题和定理o 1.1 梅森数和梅森素数的性质o 1.2 梅森数和梅森素数的关系o 1.3 梅森数的素性检验o 1.4 与完全数的关系∙ 2 相关问题和猜想∙ 3 寻找梅森素数o 3.1 梅森素数列表∙ 4 外部链接[∙。
∙q≡ 3 mod 4 为素数。
则2q+1也是素数当且仅当2q+1 整除M q。
∙拉马努金给出：方程M q= 6+x2当q为3、5和7时有三个解；q 为合数时有2个解。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定是1加上一个2p的倍数。
例如，211− 1 = 23×89，而23 = 1 + 2×11，89 = 1 + 8×11。
∙如果p是奇素数，那么任何能整除2p− 1的素数q都一定与同余。
[编辑]梅森数和梅森素数的关系下面的命题关注什么样的梅森数是梅森素数。
▪a≡ 1 mod 2q▪a≡±1 mod 8o欧拉的一个关于形如1+6k的数的理论表明：M q是素数当且仅当存在数对（x,y）使得M q= (2x)2 + 3(3y)2，其中q ≥ 5。
o最近，Bas jansen 研究了等式Mq = x2 + dy2（0≤d≤48），得出了一个对于d=3情况下的新的证明方法。
o Reix 发现q > 3时，M q可以写成：M q = (8x)2 - (3qy)2 = (1+Sq)2 - (Dq)2。
【ZZ】梅森素数列表
【ZZ】梅森素数列表(按照⼤⼩排序)第1个梅森素数：当p=2时，M_2=(2^2)-1=3，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第2个梅森素数：当p=3时，M_3=(2^3)-1=7，位数为1位，发现于公元前300年左右。
第3个梅森素数：当p=5时，M_5=(2^5)-1=31，位数为2位，发现于公元前100年左右。
第4个梅森素数：当p=7时，M_7=(2^7)-1=127，位数为3位，发现于公元前300年左右。
第5个梅森素数：当p=13时，M_13=(2^13)-1=8191，位数为4位，发现于公元1456年。
第6个梅森素数：当p=17时，M_17=(2^17)-1=131071，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第7个梅森素数：当p=19时，M_19=(2^19)-1=524287，位数为6位，由Cataldi发现于公元1588年。
第8个梅森素数：当p=31时，M_31=(2^31)-1=2147483647，位数为10位，由Euler发现于公元1772年。
1772年，瑞⼠数学家欧拉在双⽬失明的情况下，以惊⼈的毅⼒靠⼼算证明(2^31)-1(即2147483647)是第8个梅森素数，该素数有10位数，堪称当时世界上已知的最⼤素数；他因此获得了“数学英雄”的美名。
第9个梅森素数：当p=61时，M_61=(2^61)-1，位数为19位，由Pervushin发现于公元1883年。
第10个梅森素数：当p=89时，M_89=(2^89)-1，位数为27位，由Powers发现于公元1911年。
第11个梅森素数：当p=107时，M_107=(2^107)-1，位数为33位，由Powers发现于公元1914年。
第12个梅森素数：当p=127时，M_127=(2^89)-1，位数为39位，由Lucas发现于公元1876年。
第13个梅森素数：当p=521时，M_521=(2^521)-1，位数为157位，由Robinson发现于公元1952年。
梅森公式的特征式
梅森公式的特征式
梅森公式是一种用于生成素数的公式，其特征式是一个非常重要的概念。
特征式是指当一个多项式的系数都是整数时，该多项式的所有根都是整数的情况。
梅森公式的特征式是一个二次多项式，即：
x^2 - 2x - p = 0
其中，p是一个素数。
如果这个二次多项式的根是整数，那么p 就是一个梅森素数。
梅森公式的特征式可以通过对其进行配方法得到，具体如下：
x^2 - 2x - p = 0
x^2 - 2x + 1 - 1 - p = 0
(x - 1)^2 - p = 1
(x - 1)^2 = p + 1
通过这个特征式，我们可以判断一个素数是否为梅森素数。
如果一个素数p满足x^2 = p + 1的整数解，那么p就是一个梅森素数。
梅森公式的特征式不仅在素数研究中有重要应用，而且在密码学和计算机科学中也有广泛应用。
因此，研究和理解梅森公式的特征式是非常有意义的。
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梅森公式经典例题
梅森公式经典例题
梅森公式是指一种特定的数学公式，它涉及到指数和素数的关系。
这种公式通常用于解决与素数分布和性质相关的问题。
以下是一个梅森公式的经典例题：
1.验证2^3-1是否是梅森素数。
解答：根据梅森公式的定义，首先需要验证指数p是否为素数。
在本例中，p=3是一个素数。
然后计算2^3-1=7，7也是一个素数。
因此，2^3-1满足梅森公式的条件，是梅森素数。
2.计算2^5-1。
解答：首先验证指数p=5是否为素数，5是一个素数。
然后计算2^5-1=31，31也是一个素数。
因此，2^5-1满足梅森公式的条件，也是一个梅森素数。
这些是使用梅森公式的一些经典例题。
使用梅森公式可以帮助我们更好地理解素数的性质和分布，以及它们在数学和密码学等领域的应用。
最新梅森素数：千年不休的探寻之旅-word文档
梅森素数：千年不休的探寻之旅还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7......”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256......”十多年来，个人计算机内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127......嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前......别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜......你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23......的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：象5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
毕达哥拉斯学派指出，如果一个数的所有因数（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，则这个数就叫做完美数。
很容易找到，6＝1＋2＋3是第一个完美数，28＝1＋2＋4＋7＋14则是第二个完美数。
梅森素数——精选推荐
梅森素数梅森素数素数也叫质数，是只能被自己和1整除的数，如2、3、5、7、11等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得证明了素数有无穷多个，并提出少量素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
由于这种素数具有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
可能你还是不太了解，那就再详细点。
了解梅森素数还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于或等于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：像5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
梅森素数
众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林•梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2p-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
貌似简单探究极难梅森素数貌似简单，但探究难度却极大。
它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了231-1(即2147483647)是第8个梅森素数。
这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的顽强毅力与解题技巧令人赞叹不已；法国大数学家拉普拉斯说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”在“手算笔录”的年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
而计算机的产生加速了梅森素数探究进程。
1952年，美国数学家拉婓尔•鲁滨逊等人使用SWAC型计算机在短短的几个月内，就找到了5个梅森素数：2521-1、2607-1、21279-1、22203-1和22281-1。
探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。
1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数211213-1通过大型计算机被找到时，美国广播公司(ABC)中断了正常的节目播放，在第一时间发布了这一重要消息。
而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，以至把所有从系里发出的信封都盖上了“211213-1是个素数”的邮戳。
马林梅森与梅森素数
1640年6月，费马在给马林 梅森的一封信中写道： “在艰深的 数论研究中， 我发现了三个非常重要的性质， 我相信它们将成 为今后解决素数问题的基础。 ” 这封信讨论了形如 2 p 1的数。 马林 • 梅森(1588.09.08－1648.09.01)是17世 纪法国著名的数学家和修道士，是当时欧洲科 学界一位独特的中心人物，他与包括费马在内 的很多科学家经常保持通信联系，讨论数学、 物理等问题。17世纪30年代以前，学术刊物和 国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究 机构都没有创立，学识渊博、交往广泛和热情 马林 • 梅森 诚挚的梅森成了欧洲科学家之间的联系桥梁。许多 科学家都乐于将成果告诉他，然后再由他转告给 更多的人；因此，他被人们誉为 “有定期学术 刊物之前的科学信息交换站” 。
人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质—分布规律 的研究也一直在进行着。从已发现的梅森素数来看，它们在 正整数中的分布时疏时密、极不规则；因此，探究梅森素数 的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。中国数学家 和语言学家周海中对梅森素数研究多年，最后他运用联系观 察法和不完全归纳法，于1992 年首先给出了梅森素数分布的 精确表达式；后来这一重要成果被国际上称为 “周氏猜测” 。 美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒 塞 尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性 的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。
而另一位仁兄就没有这样的运气。 2002 年左右，美国一 家电话公司的雇员麦克 • 福雷斯特偷偷地使用公司内的 2585台 计算机参加 GIMPS 项目；随后公司发现计算机经常会出些差 错，本来只需要 5 秒钟就可以接通的电话号码，需要 5 分钟才 能接通。美国联邦调查局最终查到了原因，福雷斯特承认 “被 GIMPS 项目引诱” 。他最后被解雇，并被罚款一万美元，更 倒霉的是没几天家里的新车遭到恶意破坏。他真是祸不单行。 2013 年 1月25日，美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯 库珀领导的研究小组发现了第4被英国 《新科学家》 周刊评为当年自然科学十大 突破之一。2016年1月7日，库珀又发现第49个梅森素数 2742 07281 1。这个超大素数有22338618位，是目前已 知的最大素数。这已是库珀第四次通过 GIMPS 项目发现新的梅森素数。
使用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法推导
使用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法推导广义梅森素数是一种具有特殊形式的梅森素数，定义为$p=2^q-1$，其中$p$为素数，$q$为正整数。
有限域是一个由有限个元素组成的数学结构，其中的运算规则与实数域类似。
快速约减求模算法是一种在计算机科学中常用的算法，用于在有限域中进行大数之间的运算。
本文将介绍广义梅森素数的特点，并结合有限域的概念，推导出一种快速约减求模算法的原理和步骤。
一、广义梅森素数的特点广义梅森素数具有以下几个特点：1. 可以表示为$2^q-1$的形式，其中$q$是正整数。
2. 只有特定的$q$值才能生成梅森素数，这些$q$值被称为梅森指数。
3. 梅森素数的特殊形式使得在计算中可以使用更高效的算法进行运算。
二、有限域的概念在数学中，有限域是一个包含有限个元素的数学结构，在有限域中，可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
有限域的特点是对于任意元素进行运算后，结果仍然在有限域中。
三、快速约减求模算法推导我们以使用广义梅森素数的有限域进行加法运算为例，推导快速约减求模算法的原理和步骤。
1. 我们选取一个适当的广义梅森素数$p$作为有限域的模数。
2. 假设我们要计算$a+b$，其中$a$和$b$为大数，大于$p$。
3. 将$a$和$b$分别表示为多项式的形式，例如$a=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$，$b=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0$，其中$x$为多项式的变量，$a_i$和$b_i$为系数。
4. 将多项式中的系数进行模$p$的运算，得到的结果仍然是多项式形式，但系数均小于$p$。
5. 对多项式中的系数进行加法运算，将系数相加，并对$p$取模，得到新的系数。
6. 将新的系数组成新的多项式，即为$a+b$的结果。
这种快速约减求模算法的优点是可以减少大数之间的运算量，提高计算效率。
对于其他运算，如减法、乘法和除法，可以类似地推导出相应的算法。
运用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法
运用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法广义梅森素数是一类特殊的素数，其形式为2^p - 1，其中p也是一个素数。
梅森素数在数论和计算机科学中有着重要的应用，特别是在有限域的快速约减求模算法中。
有限域是一种具有有限个元素的数学结构，常用来进行加法、减法、乘法和求模运算。
在有限域中，除法运算并不像实数域那样直接可行，因此对于大数运算而言，快速约减求模算法变得至关重要。
在有限域中，有一个重要的定理，即费马小定理，它指出：对于任意非零元素a，a的p次方与a模p的值相等，即a^p ≡ a(mod p)。
这个定理为快速约减求模算法提供了基础。
基于广义梅森素数的有限域快速约减求模算法利用了梅森素数的特殊性质。
我们选择一个合适的梅森素数2^p - 1作为模数，其中p是另一个素数。
我们可以将模运算转化为与这个广义梅森素数相关的运算，从而实现快速的求模操作。
具体来说，我们可以使用广义梅森素数的指数规则进行快速约减求模。
设m为一个大数，我们要对其进行约减求模，即求m mod (2^p - 1)的结果。
将m按照梅森素数的指数规则展开，即将m表示为m =k0*(2^p - 1) + k1，其中k0和k1是两个整数。
我们可以将m mod (2^p - 1)分别转化为k0*(2^p - 1) mod (2^p - 1)和k1 mod (2^p - 1)的结果。
由于梅森素数的特殊性质，k0*(2^p - 1) mod (2^p - 1)等于0，而k1 mod (2^p - 1)等于k1。
我们可以得到m mod (2^p - 1) = k1的结果，即直接将m的最高位数减去m除以梅森素数后的余数。
通过这种方式，我们可以快速地进行大数的约减求模操作。
使用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法，不仅可以减少运算的复杂度，提高算法的效率，还可以简化大数运算的过程。
总结回顾：- 广义梅森素数是一类特殊的素数，形式为2^p - 1，其中p也是素数。
使用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法推导
使用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法引言在密码学和编码领域中，求模运算是一项基础而重要的操作。
求模运算可以用于加密算法中的密钥生成、数字签名和哈希函数等多个方面。
然而，大数求模运算的效率一直是一个挑战。
在本文中，我们将介绍使用广义梅森素数的有限域快速约减求模算法，该算法可以在求模运算中提供高效的计算性能。
基本概念在介绍算法之前，我们首先需要了解几个基本概念。
梅森素数梅森素数是指形式为2p−1的素数，其中p是一个质数。
梅森素数具有很多独特的性质，可以用于高效地实现大数运算。
有限域有限域（finite field）是指一个有限集合上的定义了加法和乘法运算的代数结构。
有限域在密码学和纠错编码中有广泛应用。
本文中我们使用的有限域是基于广义梅森素数构造的。
快速约减快速约减是一种高效的求模运算方法，通过利用特定的数学性质，可以在计算过程中减少乘法和除法的次数，从而提高计算效率。
算法原理本文介绍的有限域快速约减求模算法基于广义梅森素数。
我们将详细解释该算法的原理和具体步骤。
步骤一：选取广义梅森素数首先，我们需要选取一个合适的广义梅森素数作为有限域的模数。
广义梅森素数的选取需要满足一定的条件，以保证算法的正确性和高效性。
步骤二：域元素表示在有限域中，每个元素可以用一个整数来表示。
我们需要定义一种映射关系，将有限域中的元素与整数一一对应起来。
这样可以使我们在计算过程中更方便地处理域元素。
步骤三：定义基本运算有限域中的加法和乘法运算是定义了的基本操作。
我们需要根据广义梅森素数的特点，定义有限域上的加法和乘法运算。
这些运算需要满足结合律、交换律和分配律等基本性质。
步骤四：实现快速约减算法快速约减算法是本文的核心内容。
该算法利用广义梅森素数的特殊结构和数学性质，可以在计算过程中减少乘法和除法的次数，从而提高计算效率。
步骤 4.1：预计算快速约减算法首先需要进行一些预计算工作。
我们可以利用广义梅森素数的二进制表示，将模数分解为多个因子的乘积。
梅森素数趣谈
力 寻 找 梅 森 素 数 已发 展 成 为一 种 全 球 化 的 式 计 算 ．
活动 。
据 目前 最新 消息 ， 现今 计 算 出的 最 大 的
现在 人 们 利 用 微 机 系 统 把 寻 找 梅 森 素 梅 森素 数是 ２ 。 叩鹅 一１ ， 其 计算 结果 为两 千 数 发 动成 为有 数 万 人 自愿 参 加 的大 行 动 ， 他 多 万位 ， 即 使读 一 遍 也 需 要用 好 几 个 月 的 时
欧几 里得 在 ２ ０ ０ ０多年 以前 就 利用 反证 法 证 数 ） 是２ 一１ —３ ； 第二 个梅 森素 数是 ２ 。 一１ ：
明 了有无 穷无 尽 的素 数 ， 消 除 了人 们 对 素 数 ７ ； 第三 个梅 森 素数是 ２ 一１ —３ １ ， ……到 此 多少的疑 惑 ， 所 以 也 就 不 存 在 最 大 素 数 问 有 的同学 可能会 说 ： 这 还 不 是很 容 易 就 找 出
比如对 于 ２ ０ ０ ９ ， 总 不 能 把 所 有 比 它 小 的数 算 和纯 熟 的技巧 ．
都 拿来试 除 吧 ？ 因此 有 人 猜 想 它 是 素 数 ， 可
后来 ， 又 经 过 了很 长 时 间 ， 人 们 才 又 陆
事 实上 它 能 够 被 ７和 ４ １整 除 ， 因 此 它 不 是 续地 发 现 ２ 一１ ， ２ 一 １ ， ２ ＂一 １ ， ２ 一 １ 也 素 数． 都是 素 数 ， 这 是 因 为越 往 后 寻 找 起 来 就越 困 在数学发 展 的 历史 长 河 中 ， 人 们 始 终 难 ， 这样 梅森 素数 就变 得更 加 扑朔 迷 离 了． 就
梅森素数为何这样重要
梅森素数为何这样重要欧几里德的谜题素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。
公元前300多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，他还提出有少量素数能够写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。
怎么说有多少个素数能够写成这种形式?欧几里德把那个问题留给了后人。
因此，费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯……几乎所有大数学家都研究过这种专门形式的素数，17世纪的法国数学家马林?梅森是其中成果最为卓著的一位。
梅森学识渊博、才华横溢，是法兰西科学院的奠基人和当时欧洲科学界的中心人物。
为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”，并以Mp记之;假如Mp为素数，则称之为“梅森素数”。
然而，2300多年来，人类仅发觉47个梅森素数。
这种素数新奇而迷人，因此有“数学珍宝”的美誉。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探究的热点和难点之一。
梅森素数的价值别以为查找梅森素数只是数学家们的消遣和游戏，梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和有用价值。
它是发觉已知最大素数的最有效途径，它的探究推动了数学皇后??数论的研究，促进了运算技术、程序设计技术、密码技术、网格技术的进展以及快速傅立叶变换的应用。
另外，梅森素数的探究方法还可用来测试运算机硬件运确实是否正确。
许多科学家认为，由于梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，它的研究成果在一定程度上反映了一个国家的科技进展水平。
英国顶尖科学家、牛津大学教授马科斯?索托伊甚至认为它是“人类智力进展在数学上的一种标志,也是科学进展的里程碑”。
查找梅森素数的艰巨之旅在“手算笔录”年代，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。
电子运算机的显现，大大加快了探究梅森素数的步伐。
1952年美国数学家拉斐尔?鲁滨逊等人将闻名的卢卡斯-雷默方法编译成运算机程序，使用SW AC型运算机在5个月之内，就找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。
梅森素数
梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
概念也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。
在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。
他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。
虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。
他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。
梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。
17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。
梅森素数
梅森素数在实用领域也有用武之地，现在人们已将大素数用于现代密码设计领域。其原理是：将......
1 9 5 2 年 1 月 3 0 日 晚 ， 美 国 数 学 家 拉 斐 尔 ·鲁 滨 逊 （ 1 9 11 ～ 1 9 9 5 ） 在 莱 默 指 导 下 将 此 方 法 编 译 成 计 算 机 程 序 ， 利用加州大学洛杉矶分校的SWAC型计算机，几小时内就找到了两个100位以上的梅森素数 和 。SWAC即标准西 部自动计算机，是当时运算速度最快的计算机之一。随后的几个月，鲁滨逊使用该计算机又接连找到 、 和 。
寻找历程
计算机时代
手算笔录时代
互联网时代
手算笔录时代
早在公元前4世纪，古希腊著名数学家欧几里得（前330～前275）就提出了2p－1型素数的概念，即可以表 示为2p－1形式的素数。他发现这种类型的素数和完全数之间有着密切联系：如果2p－1是素数，则2p－1（2p－ 1）是完全数。欧几里得的结论为2p－1型素数研究奠定了基础。不过在计算能力低下的公元前，人们仅知道四个 2p－1型素数： 、 、 和 ，发现人已无从考证。
寻找梅森素数在当代已有了十分丰富的意义。寻找梅森素数是目前发现已知最大素数的最有效途径。自欧拉 证明M31为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。
寻找梅森素数是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段，如M1257787就是1996年9月美国克雷公司在 测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥了独特作用。发现梅森素 数不仅需要高功能的计算机，还需要素数判别和数值计算的理论与方法以及高超巧妙的程序设计技术等等，因此 它的研究推动了“数学皇后”——数论的发展，促进了计算数学和程序设计技术的发展。 分布式计算是目前寻找 梅森素数的主要方式
小学数学故事：梅森素数.doc
2019小学数学故事：梅森素数挪威计算机专家奥德·斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”的国际合作项目，最近发现了第47个梅森素数，该素数为“2的42643801次方减1”。
它有12837064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米!梅森素数的诱惑素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数，素数有无穷多个。
而形如“2的P次方减1”的素数称为梅森素数，以17世纪法国数学家梅森的名字命名。
梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
早在公元前4世纪，古希腊数学大师欧几里得就开创了探寻“2的P次方减1”型素数的先河。
他在《几何原本》中论述完全数时就曾研究过这种特殊的素数。
由于梅森素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。
2300多年来，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数学珍宝”。
梅森素数的研究难度极大;它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且需要进行艰巨的计算。
1772年，被誉为“数学英雄”的欧拉在双目失明的情况下，以惊人的毅力靠心算证明了“2的31次方减1”是第8个梅森素数，该素数有10位。
特别值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们探究梅森素数提供了方便;后来这一重要成果被国际上命名为“周氏猜测”。
网格技术来助力网格这一崭新技术的出现使梅森素数的探究如虎添翼。
1996年初美国数学家及程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用;这就是著名的GIMPS项目。
该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。
为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，设在美国的电子新领域基金会于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找新的更大的梅森素数而设立的奖金。
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梅森素数
素数也叫质数，是只能被自己和 1 整除的数，例如2、3、5、7、11等。
2500 年前，希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的，并提出少量素数可写成“2 的n次方减1”的形式，这里n 也是一个素数。
此后许多数学家曾对这种素数进行研究，17 世纪的法国教士马丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数，Mn=2n-1。
1995 年，美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料，编制了一个梅森素数计算程序，并将其放置在因特网上供数学爱好者使用，这就是“因特网梅森素数大搜索”计划。
该计划采取分布式计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间，获得相当于超级计算机的运算能力，第37、38 和39 个梅森素数都是用这种方法找到的。
美国一家基金会还专门设立了
10 万美元的奖金，鼓励第一个找到超过千万位素数的人。
14年来，人们通
过GIMPS项目找到了13个梅森素数，其发现者来自美国、英国、法国、德国、加拿大和挪威。
目前世界上已有170多个国家和地区近18万人参加了这一项目，并动用了37万多台计算机联网来进行网格计算，以寻找新的梅森素数。
该项目的计算能力已超过当今世界上任何一台最先进的超级矢量计算机的计算能力，运算速度超过每秒400万亿次。
序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者
1 2 3 1 古代古人
2 3 7 1 古代古人
3 5 31 2 古代古人
4 7 127 3 古代古人
序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者
5 13 8191 4 1456年无名氏
6 1
7 131071 6 1588年Cataldi
7 19 524287 6 1588年Cataldi
8 31 2147483647 10 1772年欧拉
9 61 2305843009213693951 19 1883年Pervushin
10 89 618970019…44956211127 1911年Powers
11 107 162259276…010******** 1914年Powers
12 127 170141183…88410572739 1876年卢卡斯
13 521 686479766…115057151157 1952年1月30日Robinson
14 607 531137992…0317******** 1952年1月30日Robinson
15 1,279 104079321…168729087386 1952年6月25日Robinson
16 2,203 147597991…697771007664 1952年10月7日Robinson
17 2,281 446087557…132836351687 1952年10月9日Robinson
18 3,217 259117086…909315071969 1957年9月8日Riesel
19 4,253 190797007…3504849911,281 1961年11月3日Hurwitz
20 4,423 285542542…6085806071,332 1961年11月3日Hurwitz
21 9,689 478220278…2257541112,917 1963年5月11日Gillies
22 9,941 346088282…7894635512,993 1963年5月16日Gillies
23 11,213 281411201…6963921913,376 1963年6月2日Gillies
24 19,937 431542479…9680414716,002 1971年3月4日布莱恩特·塔克曼
25 21,701 448679166…5118827516,533 1978年10月30日Noll & Nickel
26 23,209 402874115…7792645116,987 1979年2月9日Noll
27 44,497 854509824…01122867113,395 1979年4月8日Nelson & Slowinski
28 86,243 536927995…43343820725,962 1982年9月25日Slowinski
29 110,503 521928313…46551500733,265 1988年1月28日Colquitt & Welsh
序号2n Mn（梅森素数）Mn的位数发现日期发现者
30 132,049 512740276…730061311 39,751 1983年9月20日Slowinski
31 216,091 746093103…81552844765,050 1985年9月6日Slowinski
32 756,839 174135906…544677887227,832 1992年2月19日Slowinski & Gage
33 859,433 129498125…500142591258,716 1994年1月10日Slowinski & Gage
34 1,257,787 412245773…0893********,632 1996年9月3日Slowinski & Gage
35 1,398,269 814717564…451315711420,921 1996年11月13日GIMPS/Joel Armengaud
36 2,976,221 623340076…729201151895,932 1997年8月24日GIMPS/Gordon Spence
37 3,021,377 127411683…024*********,526 1998年1月27日GIMPS/Roland Clarkson
38 6,972,593 437075744…9241937912,098,960 1999年6月1日GIMPS/Nayan Hajratwala
39 13,466,917 924947738…2562590714,053,946 2001年11月14日GIMPS/Michael Cameron
40 20,996,011 125976895…8556820476,320,430 2003年11月17日GIMPS/Michael Shafer
41 24,036,583 299410429…7339694077,235,733 2004年5月15日GIMPS/Josh Findley
42 25,964,951 122164630…5770772477,816,230 2005年2月18日GIMPS/Martin Nowak
43 30,402,457 315416475…6529438719,152,052 2005年12月15日GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
44 32,582,657 124575026…0539678719,808,358 2006年9月4日GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
45 37,156,667 202254406…30822092711,185,272 2008年9月6日GIMPS/Hans-Michael Elvenich
46 42,643,801 169873516…56231475112,837,064 2009年4月12日GIMPS/Odd M. Strindmo
47 43,112,609 316470269…69715251112,978,189 2008年8月23日GIMPS/Edson Smith
注：现在还不知道在第39个梅森素数（M13,466,917）和第47个（M43,112,609）之间是否还存在未知梅森素数，所以在其序号之前通常用*标出。