一元二次方程式的公式解
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§3-4 一元二次方程式的公式解
一元二次方程式ax 2＋bx ＋c ＝0，a ≠0且b 2
－4ac
>=0解的公式：x ＝
a
ac b b 242
-±-
證明>利用配方法解ax 2＋bx ＋c ＝0
χ2
+ χ+ =0 χ2
+ χ=- (χ+ ) 2
= + (χ+ ) 2= (χ+ )=±
2
2
44a
ac b - =±
a
ac b 242
-
χ=
a
ac b b 242
-±-
例>解x 2－3x －5＝0時，
令a ＝1，b ＝-3，c ＝-5，則b 2
－4ac ＝29＞0，故原方程式的兩根為
4a b 2-4ac a b a
c
a b a
c 4a 2
b 2 2a b a
c 2a b
2a b
x＝
229
3±
例利用公式，解下列各一元二次方程式：
(1)+ 3x - 5=0
(2)- 2x- 3=0
(3)+ 7x - 4=0
(4)+ 49 - 14x=0
(5)+ x + 1=0
(6)2+ 8x + 15=0
●判別式：b2-4ac
1b2-4ac>0→兩相異實根
a ac
b b
2
4 2-
±-
2b2-4ac＝0→兩相等實根3b2-4ac<0→無實數解
例判斷下列哪些一元二次方程式無解：
(1)- 2x-5=0
(2)8- 7x+3=0 2a -b
(3)3+ 5x- 6=0
(4)3+ x+ 2=0
例1>例17>解一元二次方程式之根為1x2－26x＋169＝0
2x2＋21x－100＝0
320x2－9x－20＝0
4x2＋6x－391＝0
5x2＋5x－3＝0
6x2＋x－1＝0
7x2－4x－9996＝0
82x2－3x＋4＝0
95x2＋7x＝6
102x2－7x＋4＝0
11-x2＋x－3＝0
122(x－1)(x－3)＝5x
13x2＋2x－899＝0
143x 2
－2x ＋1＝0 15-3x 2－20x ＋5＝0
例2>若(8－k)x 2＋4x ＋2＝0無解，k 為正整數，則k 可為下
列那一數？ (1)-2 (2)4 (3)6 (4)8。
例3>當k 為下列何值時，方程式x 2－x －k ＝0的兩根為相異
的實數？ (1)-1 (2)-1
4 (3)2 (4)-2。……（ ）
例4>若x 之二次方程式x 2
＋4x ＋2(k 2
＋1)＝0，有兩個相等的根，則k ＝ 。
例5>設二次方程式x 2
＋(k ＋2)x ＋2k ＋1＝0，兩根相等，則k ＝ 。
例6>設二次方程式2x 2－(k ＋2)x ＋k ＝0有等根，則k ＝ 。
例7>若4x 2－12x ＋(a －3)＝0的兩根相等，則方程式ax 2－13x ＋3＝0的兩根為 。
例8>一元二次方程式ax 2
＋bx ＋c ＝0，若b 2
－4ac ＝0，則兩
根的值為 。
例9>方程式8x 2－5x ＝0之解為 (1)任意數 (2)無解
(3)0 (4)0，5
8 。……………（ ）
例10>x －2－3(x ＋1)2＝0有幾個實數解？ (1)0 (2)1
(3)2 (4)無限多個。……………（ ）
例11>下列那一個一元二次方程式無解？ (1)2x 2
＋3x －4
＝0 (2)3x 2
－4x ＋3＝0 (3)x 2
－x －1＝0 (4)x 2
＋3x ＋1＝0。…………………( )
例12>下列那一個方程式無解？ (1)3x 2＋8x －2＝0
(2)3x 2－4x ＋3＝0 (3)x 2－x －3＝0 (4)x 2＋3x －1＝0…………………( )
例13>下列那一個方程式有兩相異的根？ (1)x 2
＋x ＋1＝0
(2)2x 2
－2 3 x ＋1＝0 (3)2x 2
＋x ＋1＝0 (4)3x 2
＋2x ＋2＝0。…………………( )
例14>下列哪一個方程式無解？(1)x 2
－x －1＝0(2)x 2
＋3x
＋1＝0(3)2x 2＋3x －4＝0(4)3x 2－4x ＋3＝0。……( )
例15>一元二次方程式ax 2
＋bx ＋c ＝0，a ≠0的公式解為x
＝ (1)b ± b 2-4ac a (2)-b ±b 2-4ac a (3)-b ±b 2-4ac
2a
(4)b ±b 2-4ac 2a 。…………( )
例16>下列那一個一元二次方程式無解？(1)x 2
＋x ＝0
(2)x 2＋x ＋1＝0(3)x 2＋x －1＝0(4)x 2－x －1＝0。…………( )
例17>下列那一個方程式無解？ (1)x 2
＋x －1＝0 (2)x
2
－x ＋1＝0 (3)x 2
＋3x ＋1＝0 (4)x(x －3)＝0。
例18>(A)6x 2－7x ＋3＝0 (B)x 2＋49－14x ＝0 (C)3x 2＋5x
－4＝0 (D)x 2
＋5x －3＝0 (E)x 2
＋x ＋2＝0以上那些方程式無解？ (1)AC (2)BCD (3)BD (4)AE 。 例19>下列方程式那些是無解？ 那些是相異實
根 那些是重根 （複選）
A.x 2
－8x －20＝0 B.6x 2
－7x ＋3＝0
C.9x 2＋2x ＋6＝0
D.x 2＋x ＋2＝0
E.x 2
＋49－14x ＝0 F.x 2
－2x ＝-1
例20>若4x 2
－12x ＋(a －3)＝0的兩根相等，則方程式ax 2