3.3函数的单调性与极值

第三节 函数的单调性、凹凸性与极值
一、函数的单调性 二、函数的凹凸性 三、函数的极值 四、函数的最大值与最小值 五、小结
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教学目的与要求 ◆理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数
的单调性和求函数极值的方法.
教学重点 ◆函数单调性、凹凸性的判别法；函数极值的
求法及其应用；最值的计算. 教学难点
且
f
( x)
1
1
x
1
x
x2 1 x
,
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当 x 0 时， f ( x) 0, 又 f (0) 0.
故当 x 0 时， f ( x) f (0) 0,
所以
ln(1
x)
x
1 2
x2.
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二、函数的凹凸性
1．曲线的凹凸性
y
C
B
A
o
x
定义 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方， 则称此曲线弧是凹的；若曲线弧位于其上每一点 处切线的下方，则称此曲线弧是凸的.
4.判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤为:
(1) 求函数的定义域
(2) 求函数的二阶导数 f ''( x); 令 f ''( x) 0, 解出全部实根,并求出使 f ''( x) 不存在的点;
(3) 对步骤(2)中求出的每一个点, 检查其邻近左、
右两侧二阶导数 f ''( x)的符号,确定曲线的凹凸
◆函数极值的求法及其应用 .
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一、函数的单调性
1.单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
o a f ( x ) 0 b x
o a f ( x ) 0 b x
定理1 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导.
（1）如果在(a, b)内 f ( x) 0，那么函数y f ( x)在
导数等于零的点和不可导点，可能是单调 区间的分界点．
方法: 用方程 f ( x) 0 的根及 f ( x)不存在的 点来划分函数f ( x)的定义区间,然后判断区间 内 导 数 的 符 号.
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例1 确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
解 f ( x) 1 cos x 0, （等号仅在个别点成立！） 只有x 2k (k z), f ( x) 0，其余导数都大于零.
所以f x x sin x在x ,单调增加.
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例 3 证明方程 x5 x 1 0 在区间 (1,0)内
有且只有一个实根.
证 令 f ( x) x5 x 1, 因 f ( x) 在闭区间 [1,0]
连续， 且 f (1) 1 0, f (0) 1 0.
根据零点定理 f ( x) 在 (1,0)内至少有一个零点.
另一方面，对于任意实数 x, 有 f ( x) 5x4 1 0,
所以 f ( x) 在 (,)内单调增加，因此曲线 y f ( x)与 x 轴至多只有一个交点.
[a, b]上 单 调 增 加 ；
(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，那么函数y f ( x)在
[a, b]上单调减少.
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注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 2.单调区间求法 定义1 若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
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2.凹凸性的判定
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A
oa
bx
f ( x ) 递 增 y 0
A oa
f ( x) 递 减
bx y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有 一阶和二阶导数,若在 (a,b)内
(1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的;
单调区间为 ( ,1]，[1,2]，[2, ).
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例2 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
y 3 x2
当 x 0时，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
(2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
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3.曲线的拐点及其判别法
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 定理 2 如果 f ( x)在 x0 连续，且在 x0 左右邻域的二阶导
数异号,则点x0 , f ( x0 )为曲线的拐点.
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2)
解方程f ( x) 0 得，x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加；
当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 ( ,0]，[0, ).
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注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
练习 判断f x x sin x在 ,上的单调性.
区间和拐点.
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例5 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间.
解 D : (,) y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y
0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
综上所述可知，方程 x5 x 1 0在区间 (1,0)
内有且只有一个实根.
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3.利用单调性证明不等式
例4
试证明：当
x
0
时， ln(1
x)
x
1 2
x
2
.
证
作辅助函数
f
(
x)
ln(1
x)
x
1 2
x2
,
因为 f ( x) 在 [0,) 上连续， 在 (0,) 内可导，