定积分的计算方法
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到 b, 不重复, 不遗漏；
(3) 逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.
2
例1
/2
0
cos x sinx dx
5
/2
0
cos5 x d cos x
1 /2 1 6 cos x 0 . 6 6
例2
0
3
3 3d x dx 2 . 2 2 arctan x 0 1 x 0 3 x (1 x )
证
b a
f ( x ) dx
f [ ( t )] ( t ) dt
因为 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，故原函数存在，设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则有
f [ ( t )] ( t ) dt f [ ( t )] d ( t )
F [ ( t )] F [ ( )] F [ ( )]
F (b) F (a ) f ( x ) dx .
a
1
b
注意:
b a
f ( x ) dx
f [ ( t )] ( t ) dt
(1) 应用定积分的换元法时,与不定积分比较， 多一事：换上下限； 少一事：不必回代； (2) x (t ) 应单调,当 t 从 变到 时, x 从 a 变
2
/4
0
1 /4 1 sin2t 0 . 8 4 8 4
7
1 3 ] 上的平均值 . 在区间[ , 例8 求函数 y 2 2 2 1 x
解
x2
1 2
3 2
x
2 2
1 x
3 2
x sin t dx
3
6
sin2 t cos t dt cost
0
a
y
(1) f ( x ) 为偶函数, 则
y f ( x)
f ( x ) f ( x ),
a a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
0
a
o
(2) f ( x ) 为奇函数, 则
y
y f ( x)
x
f ( x ) f ( x ),
a a
f ( x ) dx 0 .
2(2 2 ) ln3 2 ln( 2 1) .
6
x2 dx . 例7 计算 2 2 0 (1 x )
1
解
令 x tan t , dx sec t dt ， t : 0
2
4
原式
/4
0
tan2 t se c2 t dt 4 se c t
1 /4 sin t dt (1 cos 2t ) dt 2 0
2t dx 2 dt ， x : 0 ln3 ， t : 2 2 ， t 1 2 2 2t 1 dt 2 (1 2 原式 t 2 ) dt 2 2 t 1 t 1
t 1 2( 2 2 ) ln t 1
2
1 2 1 2( 2 2 ) ln ln 3 2 1 2
原式
1 1
1
f ( t ) dt f ( x )dx
1
0
1
1 x 2 xdx dx 0 1 1 x 0 2 2 1 x ( 1 ) dx 0 1 1 x
1 1 2 ln(1 x ) 1 2 ln 2 .
9
0
利用函数的对称性,有时可简化计算.
2 2 t 11 3t 2 原式 dt 3 dt 0 1 t 0 1 t
2
1 3 ( t 1 )dt 0 1 t
2
1 2 2 3( t t ln1 t ) 0 3 ln 3 . 2
5
例6 解
计算
ln 3 0
e x 1 dx .
令 e x 1 t ，e x 1 t 2 ，x ln(t 2 1) ，
0
a
f ( x ) dx ，
a
a
f ( x ) dx
x t
a
0
f ( t ) dt f ( x ) dx ，
0
a a
f ( x )dx [ f ( x ) f ( x )]dx ，
0
10
a a
f ( x )dx [ f ( x ) f ( x )]dx
设 f ( x ) 在[ a , a ] 上连续 , 那么
(1) 若 f ( x ) 为偶函数,则
(2) 若 f ( x ) 为奇函数,则
a
a a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx ；
0
a
a a
f ( x ) dx 0 .
0 a
证
a a
0
f ( x ) dx f ( x ) dx
例3
0
2
1 2 1 2 dx d x 2 0 1 x2 1 x2
2 2 0
3
x
Βιβλιοθήκη Baidu 1 x
5 1 .
例4 解
计算
0
sinx sin3 x dx .
0
原式
sinx cos x dx | cos x | sinx dx
2 0
2 cos x sinx dx cos x sinx dx
o
x
11
例10
sinx cos x 1 a 2 sin2 x b 2 cos2 x
2 2
1 2 1
6
1 3 sin t dt (1 cos 2t ) dt 2 6
1 /3 sin2t / 6 ， 12 4 12
3 1 ( ) 所以平均值等于 12 2 2
3 1 . 12
8
2 x, x 0 2 , 求 f ( x 1)dx . 例9 设 f ( x ) 1 x 0 , x 0 1 x 令 x 1 t ， 解
0
2 sinx d sinx sinx d sinx
0 2
2
4 2 2 sin x 02 sin x . 3 3 3 2
4
2 3
2 3
dx . 例5 计算 3 0 1 x
8
解
令
3
x t ，x t ，dx 3t dt ，
3
2
x : 0 8, t : 0 2 ，
(3) 逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.
2
例1
/2
0
cos x sinx dx
5
/2
0
cos5 x d cos x
1 /2 1 6 cos x 0 . 6 6
例2
0
3
3 3d x dx 2 . 2 2 arctan x 0 1 x 0 3 x (1 x )
证
b a
f ( x ) dx
f [ ( t )] ( t ) dt
因为 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，故原函数存在，设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，则有
f [ ( t )] ( t ) dt f [ ( t )] d ( t )
F [ ( t )] F [ ( )] F [ ( )]
F (b) F (a ) f ( x ) dx .
a
1
b
注意:
b a
f ( x ) dx
f [ ( t )] ( t ) dt
(1) 应用定积分的换元法时,与不定积分比较， 多一事：换上下限； 少一事：不必回代； (2) x (t ) 应单调,当 t 从 变到 时, x 从 a 变
2
/4
0
1 /4 1 sin2t 0 . 8 4 8 4
7
1 3 ] 上的平均值 . 在区间[ , 例8 求函数 y 2 2 2 1 x
解
x2
1 2
3 2
x
2 2
1 x
3 2
x sin t dx
3
6
sin2 t cos t dt cost
0
a
y
(1) f ( x ) 为偶函数, 则
y f ( x)
f ( x ) f ( x ),
a a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
0
a
o
(2) f ( x ) 为奇函数, 则
y
y f ( x)
x
f ( x ) f ( x ),
a a
f ( x ) dx 0 .
2(2 2 ) ln3 2 ln( 2 1) .
6
x2 dx . 例7 计算 2 2 0 (1 x )
1
解
令 x tan t , dx sec t dt ， t : 0
2
4
原式
/4
0
tan2 t se c2 t dt 4 se c t
1 /4 sin t dt (1 cos 2t ) dt 2 0
2t dx 2 dt ， x : 0 ln3 ， t : 2 2 ， t 1 2 2 2t 1 dt 2 (1 2 原式 t 2 ) dt 2 2 t 1 t 1
t 1 2( 2 2 ) ln t 1
2
1 2 1 2( 2 2 ) ln ln 3 2 1 2
原式
1 1
1
f ( t ) dt f ( x )dx
1
0
1
1 x 2 xdx dx 0 1 1 x 0 2 2 1 x ( 1 ) dx 0 1 1 x
1 1 2 ln(1 x ) 1 2 ln 2 .
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0
利用函数的对称性,有时可简化计算.
2 2 t 11 3t 2 原式 dt 3 dt 0 1 t 0 1 t
2
1 3 ( t 1 )dt 0 1 t
2
1 2 2 3( t t ln1 t ) 0 3 ln 3 . 2
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例6 解
计算
ln 3 0
e x 1 dx .
令 e x 1 t ，e x 1 t 2 ，x ln(t 2 1) ，
0
a
f ( x ) dx ，
a
a
f ( x ) dx
x t
a
0
f ( t ) dt f ( x ) dx ，
0
a a
f ( x )dx [ f ( x ) f ( x )]dx ，
0
10
a a
f ( x )dx [ f ( x ) f ( x )]dx
设 f ( x ) 在[ a , a ] 上连续 , 那么
(1) 若 f ( x ) 为偶函数,则
(2) 若 f ( x ) 为奇函数,则
a
a a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx ；
0
a
a a
f ( x ) dx 0 .
0 a
证
a a
0
f ( x ) dx f ( x ) dx
例3
0
2
1 2 1 2 dx d x 2 0 1 x2 1 x2
2 2 0
3
x
Βιβλιοθήκη Baidu 1 x
5 1 .
例4 解
计算
0
sinx sin3 x dx .
0
原式
sinx cos x dx | cos x | sinx dx
2 0
2 cos x sinx dx cos x sinx dx
o
x
11
例10
sinx cos x 1 a 2 sin2 x b 2 cos2 x
2 2
1 2 1
6
1 3 sin t dt (1 cos 2t ) dt 2 6
1 /3 sin2t / 6 ， 12 4 12
3 1 ( ) 所以平均值等于 12 2 2
3 1 . 12
8
2 x, x 0 2 , 求 f ( x 1)dx . 例9 设 f ( x ) 1 x 0 , x 0 1 x 令 x 1 t ， 解
0
2 sinx d sinx sinx d sinx
0 2
2
4 2 2 sin x 02 sin x . 3 3 3 2
4
2 3
2 3
dx . 例5 计算 3 0 1 x
8
解
令
3
x t ，x t ，dx 3t dt ，
3
2
x : 0 8, t : 0 2 ，