北京大学数学科学学院2005级研究生保送考试数学分析试卷

北京大学数学科学学院

2005级研究生保送考试数学分析试卷

命题:anonymous

记录:olove@BDWM

October 6,2004

一、用肯定语气叙述:lim x →+∞f (x )=−∞.

二、a 1=1,a n +1=1a n +1,求证:a i 有极限存在.

三、f (x )在区间I =(a,b )上任意点可以展开成为幂级数,且在I 上存在一列{x j },使得lim j →+∞x j =x 0,x 0∈I ;且对∀j 有f (x j )=0.求证:f (x ∈I )≡0.

四、设f (x ),g (x )在区间I 一致连续.问f (x )g (x )在I 上是否一致连续?并证明√x ln x 在(0,+∞)一致连续.

五、将cos x 在[0,π]上分别展开成为正弦和余弦级数,并说明其级数的和收敛到何种函数.

六、求 +∞0e −2x −e −6x

x dx.七、设f (x )在(0,1)严格单调上升,且f (0)=0,f (1)=1.求证:lim n →+∞ 10f n (x )dx =

0.

八、设f (x )在(0,+∞)单调下降趋于零,g (x )∈C (−∞,+∞)为非常值的周期函数.求证: +∞0f (x )dx 收敛等价于 +∞0f (x )|g (x )|dx 收敛.

九、求解二型曲线积分:

∆

(e x sin y −y 2)dx +e x cos ydy,

其中∆为(x −a 2)2+y 2=a 2

4从(a,0)经上半平面到(0,0)的部分.

其中四题18分,五题12分,其余每题10分.1