离散数学 第七章 图论
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则：Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉= 〈 ｛a，b，c，d｝ ， ｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝ 〉
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7.1 图的基本概念
（3）在一个图中，若两个结点有一条有向边或者一 条无向边关联,则这两个结点成为邻接点。
孤立结点：在一个图中不与任何结点相邻接的结 点，称为孤立结点。如下图中结点v5。
定理4：n个结点的无向完全图的边数为： 1 n(n 1) 2
证明：在有n任意取两点的组合为：
Cn2
1 n(n 2
1)
故有n个结点的无向完全图的边数为
E 1 n(n 1) 2
17
7.1 图的基本概念
（11）补图：给定一个图G，由G中所有结点和所有 能使G成为完全图的添加边组成的图，称为G的相 对于完全图的补图，或简称为G的补图。记作 G 。 如下图，（a）和（b）互为补图。
• 定理2：在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。
证：设V1和 V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结点集， 则由上述定理有：
deg(v) deg(v) deg(v) 2 E
vV1
vV2
vV
由于 deg(v)是偶数之和，必为偶数，而 2 E 是偶数。故
得是vV2 deg(v) 偶数，即 V1 是偶数。 vV1
4
7.1 图的基本概念
• 离散数学研究的图是不同于几何图形、机械图形 的另一种数学结构,不关心图中顶点的位置、边的 长短和形状, 只关心顶点与边的联结关系。
• 如下图（a）和（b）
d
a
e1 b
e2
e6
e3
d
e4
e5
c
（a）
e6 e1
a e3
b
e2
a
e5 e2
e6 e3
c
d
ee14
e5 e4
b
c
5
（b）
3
图论
• 现实世界中许多状态是由图形来描述的, 我们用点表 示事物, 用点之间是否有连线表示事物之间是否有某 种关系, 于是点以及点之间的若干条连线就构成了图。
• 当我们研究的对象能够被抽象为离散的元素集合和 集合上的二元关系时, 用关系图进行表示和处理是很 方便的。
• 图可分为有限图和无限图两类, 本书只研究有限图, 即顶点和边都是有限集合。
约定：每个环在其对应结点上度数增加2 。
A
最大度,记为：△（G） 最小度,记为：δ（G）
B
E
D C
11
7.1 图的基本概念
• 定理1：每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。 即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的 每个结点的度数为1。 故上述定理成立。
12
7.1 图的基本概念
教学重点：
图、路、图的矩阵表示、平面图、、 树与生 成树。
教学难点：树与生成树。
2
图论
• 图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴 学科。
• 图论最早起源于一些数学游戏的难题研究。如： 哥尼斯堡七桥问题、迷宫问题等。
• 1847年，克希霍夫用图论分析电路网络，最早将 图论应用于工程科学。
• 图论的内容十分丰富, 它是一门应用性很强的学 科。计算机科学、网络理论、信息论、运筹学、 语言学、物理、化学等都以图作为工具, 来解决实 际问题和理论问题。
13
7.1 图的基本概念
（8）入度，出度：在有向图中，射入一个结点的边数 称为该结点的入度。由一个结点射出的边数称为该 结点的出度。 结点的出度与入度和是该结点的度数。 定理：在任何有向图中，所有结点的入度和等于所 有结点的出度之和。
14
7.1 图的基本概念
证：∵每一条有向边必对应一个入度和出度，若一个结点具 有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以，有向图 中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等于边数， 因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
a
d
b
c
15
7.1 图的基本概念
（9）连接于同一对结点间的多条边称为是平行的。 定义：含有平行边的任何一个图称为多重图。 不含有平行边和环的图称作简单图。
a
ba
ba
b
c （a）
c （b）
c
d
（c）
（10）完全图：简单图G =<V，E>中，若每一对结点间都有边 相连，则称该图为完全图。
16
7.1 图的基本概念
v1
v2
v5
v3
v4
（4）零图：仅由孤立结点构成的图称为零图。
9
7.1 图的基本概念
（5）平凡图：仅由一个孤立结点构成的图称为平凡
图。
a
邻接边：关联于同一结点的两条边称为邻接边。
（6）自回路（环）：关联于同一结点的一条边称为
自回路。 如下图，中（c，c）是环
a
b
c
10
7.1 图的基本概念
（7）度数： 在图G =<V，E>中，与结点v（vV） 关联的边数，称为该结点的度数，记作deg（v）。
7.1 图的基本概念
（1）定义: 一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其 中V(G)为顶点集合, E(G)是边的集合，ΦG是从边集E 到结点偶对集合上的函数。
讨论定义：
(a) V(G) ={V1，V2，…，Vn}为有限非空集合, Vi称为结点,简称V是点集。 (b) E(G)={e1，…，em}为有限的边集合,ei称为边，每 个ei是连结V中的某两个顶点的,称E为边集。 (可c)把可图用简e＝化成<v：i,vＧj>＝或<eＶ＝，(vＥi,v>j)。，来表示图的边，这样
（a）
（b）
18
7.1 图的基本概念
（12）子图：设图G =<V，E>，如果有图G=<V， E>，且EE，VV，则称 G 为 G 的子图。
第七章 图论
§7.1 图的基本概念 §7.2 路与回路 §7.3 图的矩阵表示 §7.4 欧拉图和汉密尔顿图 §7.5 平面图 §7.6 对偶图与着色 §7.7 树与生成树
1
第七章 图论
教学目的及要求：
深刻理解和掌握图的有关概念和表示。
教学内容：
图的基本概念、路与回路、图的矩阵表示、 欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着 色、树与生成树。
6
7.1 图的基本概念
（2）每一条边都是无向边的图称无向图。
a
d
每一条边都是有向边的图称有向图。 b
c
a
d
如果图G中既有无向边, 又有有向边,
b
c
则称该图为混合图。本课程不讨论混
合图。
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7.1 图的基本概念
例：对有向图可表示为： Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉， 其中Ｖ＝｛a、b、c、d｝ Ｅ＝｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝
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7.1 图的基本概念
（3）在一个图中，若两个结点有一条有向边或者一 条无向边关联,则这两个结点成为邻接点。
孤立结点：在一个图中不与任何结点相邻接的结 点，称为孤立结点。如下图中结点v5。
定理4：n个结点的无向完全图的边数为： 1 n(n 1) 2
证明：在有n任意取两点的组合为：
Cn2
1 n(n 2
1)
故有n个结点的无向完全图的边数为
E 1 n(n 1) 2
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7.1 图的基本概念
（11）补图：给定一个图G，由G中所有结点和所有 能使G成为完全图的添加边组成的图，称为G的相 对于完全图的补图，或简称为G的补图。记作 G 。 如下图，（a）和（b）互为补图。
• 定理2：在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。
证：设V1和 V2分别是G中奇数度数和偶数度数的结点集， 则由上述定理有：
deg(v) deg(v) deg(v) 2 E
vV1
vV2
vV
由于 deg(v)是偶数之和，必为偶数，而 2 E 是偶数。故
得是vV2 deg(v) 偶数，即 V1 是偶数。 vV1
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7.1 图的基本概念
• 离散数学研究的图是不同于几何图形、机械图形 的另一种数学结构,不关心图中顶点的位置、边的 长短和形状, 只关心顶点与边的联结关系。
• 如下图（a）和（b）
d
a
e1 b
e2
e6
e3
d
e4
e5
c
（a）
e6 e1
a e3
b
e2
a
e5 e2
e6 e3
c
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ee14
e5 e4
b
c
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（b）
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图论
• 现实世界中许多状态是由图形来描述的, 我们用点表 示事物, 用点之间是否有连线表示事物之间是否有某 种关系, 于是点以及点之间的若干条连线就构成了图。
• 当我们研究的对象能够被抽象为离散的元素集合和 集合上的二元关系时, 用关系图进行表示和处理是很 方便的。
• 图可分为有限图和无限图两类, 本书只研究有限图, 即顶点和边都是有限集合。
约定：每个环在其对应结点上度数增加2 。
A
最大度,记为：△（G） 最小度,记为：δ（G）
B
E
D C
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7.1 图的基本概念
• 定理1：每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。 即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的 每个结点的度数为1。 故上述定理成立。
12
7.1 图的基本概念
教学重点：
图、路、图的矩阵表示、平面图、、 树与生 成树。
教学难点：树与生成树。
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图论
• 图论是近年来发展迅速而又应用广泛的一门新兴 学科。
• 图论最早起源于一些数学游戏的难题研究。如： 哥尼斯堡七桥问题、迷宫问题等。
• 1847年，克希霍夫用图论分析电路网络，最早将 图论应用于工程科学。
• 图论的内容十分丰富, 它是一门应用性很强的学 科。计算机科学、网络理论、信息论、运筹学、 语言学、物理、化学等都以图作为工具, 来解决实 际问题和理论问题。
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7.1 图的基本概念
（8）入度，出度：在有向图中，射入一个结点的边数 称为该结点的入度。由一个结点射出的边数称为该 结点的出度。 结点的出度与入度和是该结点的度数。 定理：在任何有向图中，所有结点的入度和等于所 有结点的出度之和。
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7.1 图的基本概念
证：∵每一条有向边必对应一个入度和出度，若一个结点具 有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以，有向图 中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等于边数， 因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
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b
c
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7.1 图的基本概念
（9）连接于同一对结点间的多条边称为是平行的。 定义：含有平行边的任何一个图称为多重图。 不含有平行边和环的图称作简单图。
a
ba
ba
b
c （a）
c （b）
c
d
（c）
（10）完全图：简单图G =<V，E>中，若每一对结点间都有边 相连，则称该图为完全图。
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7.1 图的基本概念
v1
v2
v5
v3
v4
（4）零图：仅由孤立结点构成的图称为零图。
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7.1 图的基本概念
（5）平凡图：仅由一个孤立结点构成的图称为平凡
图。
a
邻接边：关联于同一结点的两条边称为邻接边。
（6）自回路（环）：关联于同一结点的一条边称为
自回路。 如下图，中（c，c）是环
a
b
c
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7.1 图的基本概念
（7）度数： 在图G =<V，E>中，与结点v（vV） 关联的边数，称为该结点的度数，记作deg（v）。
7.1 图的基本概念
（1）定义: 一个图G是一个三元组<V(G),E(G), ΦG>, 其 中V(G)为顶点集合, E(G)是边的集合，ΦG是从边集E 到结点偶对集合上的函数。
讨论定义：
(a) V(G) ={V1，V2，…，Vn}为有限非空集合, Vi称为结点,简称V是点集。 (b) E(G)={e1，…，em}为有限的边集合,ei称为边，每 个ei是连结V中的某两个顶点的,称E为边集。 (可c)把可图用简e＝化成<v：i,vＧj>＝或<eＶ＝，(vＥi,v>j)。，来表示图的边，这样
（a）
（b）
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7.1 图的基本概念
（12）子图：设图G =<V，E>，如果有图G=<V， E>，且EE，VV，则称 G 为 G 的子图。
第七章 图论
§7.1 图的基本概念 §7.2 路与回路 §7.3 图的矩阵表示 §7.4 欧拉图和汉密尔顿图 §7.5 平面图 §7.6 对偶图与着色 §7.7 树与生成树
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第七章 图论
教学目的及要求：
深刻理解和掌握图的有关概念和表示。
教学内容：
图的基本概念、路与回路、图的矩阵表示、 欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着 色、树与生成树。
6
7.1 图的基本概念
（2）每一条边都是无向边的图称无向图。
a
d
每一条边都是有向边的图称有向图。 b
c
a
d
如果图G中既有无向边, 又有有向边,
b
c
则称该图为混合图。本课程不讨论混
合图。
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7.1 图的基本概念
例：对有向图可表示为： Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉， 其中Ｖ＝｛a、b、c、d｝ Ｅ＝｛<a,b>,<b,a>,<b,d>,<d,a>,<d,d>,<c,c>｝