高中数学合情推理

二、类比推理
1、春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认
为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株 齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明 了锯子. 他的思路是这样的：
茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的.
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理 , 发明了潜水艇.
归纳推理的几个特点:
1.归纳推理是依据特殊现象推断一般现象,因而,由 归纳推理所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳推理是依据若干已知的、没有穷尽的现象推 断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践证明，因此它不能 作为数学证明工具。 3.归纳推理的前提是特殊的情况,因而归纳推理是 立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳推理是 一种具有创造性的推理，通过归纳得到的猜想可作 为进一步研究得起点，帮助人们发现问题和提出问 题。
这样下去总是对的吗？无论如何，所观 察到的个别情况，可以启发我们提出一个 一般性的命题： 任何一个大于4的偶数都是两个奇质数 之和。
这个命题叫做哥德巴赫猜想，是有数学家 哥德巴赫首先提出的。简称“一加一”， 简记为“1+1”.这个猜想至今没有得到证 明.我国数学家陈景润对这个猜想的证明 做出了重大的阶段性成果，证明了 “1+2”，即大偶数N都可以表示为 N=p1+p2
2.1.Baidu Nhomakorabea 合情推理
考察以下事例中的推理：
（1）1856年，法国微生物学家巴斯德 发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着， 通过对蚕病飞研究，他发现细菌是引起蚕 病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一 些传染病也是有细菌引起的；
（2）我国地质学家李四光发现中国松辽 地区和中亚西亚的地质结构类似，而中亚 西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平 原也蕴藏着丰富的石油；
A
F
A
F
A D B E
D
2 三角形 四面体 类 比 三角形的两边的边长之和大 四面体任意三个面的面积之和 于第三边的边长 大于第四个面的面积 三角形的中位线等于第三边 四面体的中位面(以任意三条棱 的中点为顶点的三角形)的面积 的一半，且平行于等三边 等于第四个面的面积的 1 ,且 4 平行于第四个面
这种根据一类事物的部分对象具有某种 性质，推出这类事物的所有对象都具有这 种性质的推理，叫做归纳推理（简称归 纳）。归纳是从特殊到一般的过程。 下面，我们通过一个实例来得出归纳推理 的一般步骤。 例如，当你看到这样的几个关系式： 10=3+7，20=3+17；30=13+17，时，
你会发现：3，7，13，17，这些数字都 是奇质数，偶数10，20，30都可以表示为 两个奇质数的和。其它的偶数又怎样呢？ 它们也有类似地性质吗？ 显然，第一个等于两个奇质数之和的偶数 是6=3+3，接下去，还有 8=3+5，10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11，
S5=1+3+5+7+9=25=52； S6=1+3+5+7+9+11=36=62；
结论：等差数列1，3，5，…,(2n－ 1), …的前n项和Sn=n² .
例2．设f(n)=n2+n+41，n∈N+，计算f(1)， f(2)，f(3)，f(4)，……，f(10)的值，同时作 出归纳，并用n=40验证猜想是否正确。 解：f(1)=12+1+41=43; f(2)=22+2+41=47; f(3)=32+3+41=53; f(4)=42+4+41=61； f(5)=52+5+41=71； f(6)=62+6+41=83； f(7)=72+7+41=97； f(8)=82+8+41=113； f(9)=92+9+41=131; f(10)=102+10+41=151; 得到 43，47，53，61，71，83，97，113, 131，151都是质数。
结论：当n取任何正整数时，f(n)=n2+n+41 的值都是质数。
因为当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41， 所以f(40)是合数，因此上面有归纳推理得 到的猜想不正确。
虽然归纳推理所得到的结论未必是正确 的，但它所具有的由特殊到一般，由具体 到抽象的认识功能，对于数学的发现是十 分有用的。观察、实验、对有限的资料作 归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数 学研究的基本方法之一。
归纳推理的一般步骤： （1）通过观察个别情况发现某些相同的 性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确 表述的一般性命题（猜想）。
一般地，如果归纳的个别情况越多，
越具有代表性，那么推广的一般性命
题就越可能为真。
例1．用推理的形式表示等差数列1，3， 5，……，(2n－1)，……的前n项和Sn的 归纳过程。 解：对等差数列1，3，5，……，(2n－ 1)，……的前1，2，3，4，5，6项和分别 进行计算： S1=1=12； S2=1+3=4=22； S3=1+3+5=9=32； S4=1+3+5+7=16=42；
从上述事例中可以发现，其中的推理得到的
结论都是可能为真的判断，像这种前提为真时，
结论可能为真的推理，叫做合情推理。
一、归纳推理
在学习等差数列时，我们是这样推导首 项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公 式的： a1=a1+0d； a2=a1+1×d； a3=a1+2×d； a4=a1+3×d； ………… 等差数列{an}的通项公式是an=a1+(n－1)d.
这几个推理的过程是归纳推理吗？若不是，它与归纳 推理有什么区别？
问题 : 类比三角形的性质，列出四面体的有关特征。
1相似性
(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形; 四面体是空间中由平面所围成的最简单的封闭图形 (2) 三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条线段上的各点连线所形成的图形; 四面体可以看作三角形所在平面外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形
（3）因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四 边形的内角和是180°×(4－2)，五边形的内角 和是180°×(5－2)，……，所以n边形的内角和 是180°×(n－2)。
（4）蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海 龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鳄 鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。 所有的爬行动物都是用肺呼吸的。