油藏数值模拟的基本数学模型
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x 1、油藏剖面分析和垂相剖面分析 2、单井或多井分析 3、重力驱油结果
4、非均质前缘驱替效果
z
r
二维径 向模型
用于研究锥进（气锥、水锥）动态，在r方向 上，只要r相等，岩石和流体参数相同，在z方 向上表现为非均质性。
z
x
y
三 维 径 向 模 型
1、有几个生产层组成的大型油藏模拟；2、岩石和流体参数垂向变化 3、厚层油层出油剖面；4、层状系统和共用含水域或局部连通。
旋度： A （渗流有源无旋） rotA
数学模型内容
1、运动方程☆
2、状态方程☆
3、连续性方程 （质量守恒方程）☆
4、能量守恒方程
5、其他的附加方程 6、初始条件和边界条件☆
数学模型分类
数学模型=f(相、空间、流体、功能、特点…….)
按相划分：
单相流：孔隙中只有一相流体流动
两相流：孔隙中只有二相流体流动
黑油数学模型
（1） 运动方程： KK ro 油相： Vo
o
P
o
( o g gd g )D ，D 为海拔深度 ( g g )D
气相： Vg 水相： Vw （2）
KK rg
g
KK rw
P
g
w
Pw ( w g )D
由于导热所引起 的能量变化 油藏中流体的能 量变化 油藏中岩石的能 量变化 能量源汇项
顶底热损失
控制方程组
将运动方程代入连续性方程的左边： ( v x ) v x K P P K 2P vx cl x x x x x x 2
2 K P 2P cl 2 x x
Log(Re)
低速非达西
低速非达西：油水在多孔介质渗流， 由于比面大，接触面积大，会伴随 一些物理化学现象，石油中的氧化 物等表面活性剂与岩石之间产生吸 附作用。必须有一个附加压力梯度 克服吸附层的阻力才能流动。 表达方式： 1、启动压力梯度： 2、分段线性化的方式： 3、幂函数的公式：
0 gradP v k (1 ) gradP u gradP
模型的选择一般能用二维模型解决问题不用三维模型，能用二相模型解决问 题不用三相模型，模型要尽量简化，但要表征油藏特征。
x
一维平面模型
1、简单的物质平衡计算 2、模拟试验室的实验 3、模拟油藏剖面 4、水域特点 5、专项研究，如线状水驱特点
z
一维垂直模型
1、垂向平衡 2、模拟重力驱油系统 3、模拟垂向水流效率 4、礁块构造 5、单井开采
控制体内流体存储量变化量：
dxdydzdt t
源汇项：
注入：q——”+” 采出：q——”_”
qdxdydzdt
x、y、z三个方向连续性方程直角坐标形式 ：
v x v y v z dxdydzdt qdxdydzdt dxdydzdt y z t x v x v y v z q y z t x div( v ) q ( v ) q t
Reynolds数，反映了流体惯性力与粘性力的比值。考虑
多孔介质的特点， 临界Reynolds数范围0.2-0.3。当Re<
0.2-0.3，渗流符合达西定律。
Log(f )阻力系数
Bakhmeteff & Feodorff Burke & Plummer Mavis & Wisley Rose Sunders & Ford
n为渗流指数(0.5-1) n=1:达西定律 n=0.5:完全紊流
1、指数式：
2、二项式：
n v C ( grad ) 2 gradP ( Av Bv )
在油藏数值模拟时，三段没有一个通式，带来难度。
达西定律在多相表达式
ki kkri vi (Pi i g ) (Pi i g ) u u
Darcy方程是一种线性方程，从介质角度来说，它假定介质与流体之间没有
耦合作用，而只表明流量与介质长度成正比；从流动角度来说，它只适用于 一定的Reynolds数范围。
根据实验条件由实验数据拟合确定，目前常用达西定律应用在油田开发中。
v k Re 3/ 2 1750u
k v (P g ) u
按流体类型划分： 黑油模型 气藏模型 组分模型 热采模型 化学驱模型 三元复合驱模型
按地层均质程度划分：
均质油藏模型
裂缝模型
双重介质模型
底水推进模型
气顶推进模型
按井类型划分：
直井模型
垂直裂缝井模型
水平井模型
斜井模型
分支水平井模型
数学模型建立过程
1、首先确定维数、相数、注入流体类型、井的类型以及 地层的均质程度等建立数学模型。 2、在考虑不同形式的运动方程、状态方程、连续性方程 （质量守恒方程）、能量守恒方程联立 3、其他的附加方程
黑油模型
三维三相黑油模型
黑油模型又称β模型，实际是组分模型的一个特例——油气水三组分模型。它用两个组 分来近似描述碳氢体系多相流系统，一个组分是不可挥发油组分（黑油），另一个是 能够溶解于油相的气组分（以甲烷为主），常规黑油模型一般只考虑油和气只发生一 种相转换，即油不能汽化，但气可以从油中出入。 油组分是指将地面原油在地面标准状况下经分离器分离后所残存的液体，气组分是指 全部分离出来的天然气。 建模条件：油气水三相等温Darcy渗流；气体的溶解和逸出瞬时完成，不许凝析和反 凝析；油水间不互溶；气一般不溶于水（小）；一般水为湿相，油为中等润湿，气为 非湿相。 考虑重力、毛管力。 Black Oil Model目前发展最完善，最成熟，油田广泛应用。
3、考虑渗流的区域、区域的几何特征、渗透性、储容性、渗流方式， 选择描述的自变量，确定建模假设条件等。 4、数学模型是对油藏渗流系统的近似。
采油工程
储运工程
气
油 水
井筒水动力学
油气开采系 统示意图
油层物理学
油气渗流力学
完井工程 油藏工程
Surface Model
Wellbore Model
Formation Model Botton Model
( ) div ( v )dv q t
能量守恒方程
流入单元体能量-流出单元体能量+能量的源汇项=能量的增量
j v j H j ( T ) qh qhl
3 j 1
由于 流体 流动 所引 起的 能量 变化
3 j S jV j (1 )( C ) r (T Ti ) t j 1
变化比较大且CL(P),不可压缩流体。
连续性方程
1、微分法 2、积分法
微 分 法
z
v x dx vx x 2 dx x 2
y
v x dx vx x 2
M dz
dx x 2 dyx
x
dxx
沿x方向流入与流出的流体质量差：
v x dx dx v dx dx dydzdt v x x dydzdt v x x 2 x 2 x 2 x 2 v x dydzdt t v x v y v z dxdydzdt y z x
数理补充
Hamilton 算子 ——矢量微分算子 i j k x y z u u u i j k x y z
标量 P 被 作用： 数乘： u
梯度： u 矢量 A 被 作用：点乘： Ax Ay Az A i j k A i A j A k x y z x y z x y z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 散度： A （源的强度）divA i 叉乘： A x Ax j y Ax k z Ax
将状态方程代入连续性方程的右边： P P ( ) ( cl c ) ct t t t 直角坐标系 ( x, y , z ) ： 2P 2P 2P P k x 2 k y 2 k z 2 q ct x y z t
积 分 法
设在R体积，S表面的地层中取单元体dV和单元体表面积dS，其法
线方向为ń。
R 体积中单位时间的质量增量为：
( ) dV R t
单位时间流过 S 表面积的流量质量：
S v ndS
根据奥高定理：
S v ndS V div( v )dv
根据质量守恒定理：
4、初始条件和边界条件
运动方程
动量守恒定律，牛顿第二定律对流体系统的作用，即是控制体元中运动流体 的动量变化率等于所有有效的作用外力总和。 根据流体力学理论 ，Navier-Stokes方程就可以解决任意形状中不可压缩粘 性流体运动的所有问题，而多孔介质中流体的流动也不例外。但是NavierStokes方程是非线性的，以多孔介质孔道的复杂性和不规则性，NavierStokes方程不可能直接适用于解决渗流力学问题，因此如果要想在多孔介质 中应用流体力学基本方程组，必须根据流体渗流的特点对之加以改造。
油藏数值模拟的 基本数学模型
刘鹏程
中国地质大学（北京）
一、油气渗流的基本数学模型
数学模型：用数学语言描述油气水渗流过程中的全部力学现象和物理
化学现象的内在联系和运动规律的方程式。
1、是油藏数值模拟的基础和发展油藏数值模拟的关键。 2、一个完整的数学模型包括控制方程和定解条件（初始条件和内外边
界条件）
状态方程
液体的状态方程：
0 exp[ CL ( P P0 )] 0 [1 CL ( P P0 )]
岩石的状态方程：
0 exp[ C f ( P P0 )] 0 [1 C f ( P P0 )]
气体的状态方程：
PV nRTZ
当压力变化时，“微”可压缩流体的体积和密度会出现小的变化，且 把CL=const;可以用近似式表达。当CL=0时，不可压缩流体。 当压力
v
P 平均压力，等于两端的平均压力
(P1+P2)/2 b—Klinkenbeig (1941)常数。
气体由于具有分子能，在没有 压差下，气体也会发生运动。
gradP
高速非达西
当渗流速度较高时会破坏达西 定律，主要原因是在高速时， 除了粘滞阻力外其惯性力达到 不可忽略，破坏直线规律，如 气井或裂缝油田。 表达方式：
gradP
k v ai ( gradP ) bi u
k m v n ( gradP ) u
v
gradP
λ
气体的低速滑脱现象
对于气体在低速时，会出现完全相 反的物理现象，表现为低速时视渗 透率增加。
k v gradP (1 b / P ) u
三相流：孔隙中只有三相流体流动
按维划分：
零维：物质平衡方程 一维：带状油藏或条状油藏 二维：1、平面模型：用于较薄的油藏，不考虑层间影响。 2、剖面模型：用于层间非均质的影响，考虑重力、毛管力以
及流速对驱油效率的影响。
3、径向模型：用于研究锥进（气锥、水锥）动态 三维：用于较厚平面、纵向上非均质比较复杂的油藏。
r
一维径向模型
与二维平面模型类似，但这里在r相同处，物性参数 和流体参数相同，表现为只有径向特征。
y
二 维 平 面 模 型
x 1、大型多井结构模型 2、岩石垂向上的微小变化和流体特征 3、保持压力开发的选择和二次采油机理 4、二微非均质岩石特征 5、流体运移穿越矿区界线的分析
z
二维垂向模型 二维剖面模型
4、非均质前缘驱替效果
z
r
二维径 向模型
用于研究锥进（气锥、水锥）动态，在r方向 上，只要r相等，岩石和流体参数相同，在z方 向上表现为非均质性。
z
x
y
三 维 径 向 模 型
1、有几个生产层组成的大型油藏模拟；2、岩石和流体参数垂向变化 3、厚层油层出油剖面；4、层状系统和共用含水域或局部连通。
旋度： A （渗流有源无旋） rotA
数学模型内容
1、运动方程☆
2、状态方程☆
3、连续性方程 （质量守恒方程）☆
4、能量守恒方程
5、其他的附加方程 6、初始条件和边界条件☆
数学模型分类
数学模型=f(相、空间、流体、功能、特点…….)
按相划分：
单相流：孔隙中只有一相流体流动
两相流：孔隙中只有二相流体流动
黑油数学模型
（1） 运动方程： KK ro 油相： Vo
o
P
o
( o g gd g )D ，D 为海拔深度 ( g g )D
气相： Vg 水相： Vw （2）
KK rg
g
KK rw
P
g
w
Pw ( w g )D
由于导热所引起 的能量变化 油藏中流体的能 量变化 油藏中岩石的能 量变化 能量源汇项
顶底热损失
控制方程组
将运动方程代入连续性方程的左边： ( v x ) v x K P P K 2P vx cl x x x x x x 2
2 K P 2P cl 2 x x
Log(Re)
低速非达西
低速非达西：油水在多孔介质渗流， 由于比面大，接触面积大，会伴随 一些物理化学现象，石油中的氧化 物等表面活性剂与岩石之间产生吸 附作用。必须有一个附加压力梯度 克服吸附层的阻力才能流动。 表达方式： 1、启动压力梯度： 2、分段线性化的方式： 3、幂函数的公式：
0 gradP v k (1 ) gradP u gradP
模型的选择一般能用二维模型解决问题不用三维模型，能用二相模型解决问 题不用三相模型，模型要尽量简化，但要表征油藏特征。
x
一维平面模型
1、简单的物质平衡计算 2、模拟试验室的实验 3、模拟油藏剖面 4、水域特点 5、专项研究，如线状水驱特点
z
一维垂直模型
1、垂向平衡 2、模拟重力驱油系统 3、模拟垂向水流效率 4、礁块构造 5、单井开采
控制体内流体存储量变化量：
dxdydzdt t
源汇项：
注入：q——”+” 采出：q——”_”
qdxdydzdt
x、y、z三个方向连续性方程直角坐标形式 ：
v x v y v z dxdydzdt qdxdydzdt dxdydzdt y z t x v x v y v z q y z t x div( v ) q ( v ) q t
Reynolds数，反映了流体惯性力与粘性力的比值。考虑
多孔介质的特点， 临界Reynolds数范围0.2-0.3。当Re<
0.2-0.3，渗流符合达西定律。
Log(f )阻力系数
Bakhmeteff & Feodorff Burke & Plummer Mavis & Wisley Rose Sunders & Ford
n为渗流指数(0.5-1) n=1:达西定律 n=0.5:完全紊流
1、指数式：
2、二项式：
n v C ( grad ) 2 gradP ( Av Bv )
在油藏数值模拟时，三段没有一个通式，带来难度。
达西定律在多相表达式
ki kkri vi (Pi i g ) (Pi i g ) u u
Darcy方程是一种线性方程，从介质角度来说，它假定介质与流体之间没有
耦合作用，而只表明流量与介质长度成正比；从流动角度来说，它只适用于 一定的Reynolds数范围。
根据实验条件由实验数据拟合确定，目前常用达西定律应用在油田开发中。
v k Re 3/ 2 1750u
k v (P g ) u
按流体类型划分： 黑油模型 气藏模型 组分模型 热采模型 化学驱模型 三元复合驱模型
按地层均质程度划分：
均质油藏模型
裂缝模型
双重介质模型
底水推进模型
气顶推进模型
按井类型划分：
直井模型
垂直裂缝井模型
水平井模型
斜井模型
分支水平井模型
数学模型建立过程
1、首先确定维数、相数、注入流体类型、井的类型以及 地层的均质程度等建立数学模型。 2、在考虑不同形式的运动方程、状态方程、连续性方程 （质量守恒方程）、能量守恒方程联立 3、其他的附加方程
黑油模型
三维三相黑油模型
黑油模型又称β模型，实际是组分模型的一个特例——油气水三组分模型。它用两个组 分来近似描述碳氢体系多相流系统，一个组分是不可挥发油组分（黑油），另一个是 能够溶解于油相的气组分（以甲烷为主），常规黑油模型一般只考虑油和气只发生一 种相转换，即油不能汽化，但气可以从油中出入。 油组分是指将地面原油在地面标准状况下经分离器分离后所残存的液体，气组分是指 全部分离出来的天然气。 建模条件：油气水三相等温Darcy渗流；气体的溶解和逸出瞬时完成，不许凝析和反 凝析；油水间不互溶；气一般不溶于水（小）；一般水为湿相，油为中等润湿，气为 非湿相。 考虑重力、毛管力。 Black Oil Model目前发展最完善，最成熟，油田广泛应用。
3、考虑渗流的区域、区域的几何特征、渗透性、储容性、渗流方式， 选择描述的自变量，确定建模假设条件等。 4、数学模型是对油藏渗流系统的近似。
采油工程
储运工程
气
油 水
井筒水动力学
油气开采系 统示意图
油层物理学
油气渗流力学
完井工程 油藏工程
Surface Model
Wellbore Model
Formation Model Botton Model
( ) div ( v )dv q t
能量守恒方程
流入单元体能量-流出单元体能量+能量的源汇项=能量的增量
j v j H j ( T ) qh qhl
3 j 1
由于 流体 流动 所引 起的 能量 变化
3 j S jV j (1 )( C ) r (T Ti ) t j 1
变化比较大且CL(P),不可压缩流体。
连续性方程
1、微分法 2、积分法
微 分 法
z
v x dx vx x 2 dx x 2
y
v x dx vx x 2
M dz
dx x 2 dyx
x
dxx
沿x方向流入与流出的流体质量差：
v x dx dx v dx dx dydzdt v x x dydzdt v x x 2 x 2 x 2 x 2 v x dydzdt t v x v y v z dxdydzdt y z x
数理补充
Hamilton 算子 ——矢量微分算子 i j k x y z u u u i j k x y z
标量 P 被 作用： 数乘： u
梯度： u 矢量 A 被 作用：点乘： Ax Ay Az A i j k A i A j A k x y z x y z x y z ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 散度： A （源的强度）divA i 叉乘： A x Ax j y Ax k z Ax
将状态方程代入连续性方程的右边： P P ( ) ( cl c ) ct t t t 直角坐标系 ( x, y , z ) ： 2P 2P 2P P k x 2 k y 2 k z 2 q ct x y z t
积 分 法
设在R体积，S表面的地层中取单元体dV和单元体表面积dS，其法
线方向为ń。
R 体积中单位时间的质量增量为：
( ) dV R t
单位时间流过 S 表面积的流量质量：
S v ndS
根据奥高定理：
S v ndS V div( v )dv
根据质量守恒定理：
4、初始条件和边界条件
运动方程
动量守恒定律，牛顿第二定律对流体系统的作用，即是控制体元中运动流体 的动量变化率等于所有有效的作用外力总和。 根据流体力学理论 ，Navier-Stokes方程就可以解决任意形状中不可压缩粘 性流体运动的所有问题，而多孔介质中流体的流动也不例外。但是NavierStokes方程是非线性的，以多孔介质孔道的复杂性和不规则性，NavierStokes方程不可能直接适用于解决渗流力学问题，因此如果要想在多孔介质 中应用流体力学基本方程组，必须根据流体渗流的特点对之加以改造。
油藏数值模拟的 基本数学模型
刘鹏程
中国地质大学（北京）
一、油气渗流的基本数学模型
数学模型：用数学语言描述油气水渗流过程中的全部力学现象和物理
化学现象的内在联系和运动规律的方程式。
1、是油藏数值模拟的基础和发展油藏数值模拟的关键。 2、一个完整的数学模型包括控制方程和定解条件（初始条件和内外边
界条件）
状态方程
液体的状态方程：
0 exp[ CL ( P P0 )] 0 [1 CL ( P P0 )]
岩石的状态方程：
0 exp[ C f ( P P0 )] 0 [1 C f ( P P0 )]
气体的状态方程：
PV nRTZ
当压力变化时，“微”可压缩流体的体积和密度会出现小的变化，且 把CL=const;可以用近似式表达。当CL=0时，不可压缩流体。 当压力
v
P 平均压力，等于两端的平均压力
(P1+P2)/2 b—Klinkenbeig (1941)常数。
气体由于具有分子能，在没有 压差下，气体也会发生运动。
gradP
高速非达西
当渗流速度较高时会破坏达西 定律，主要原因是在高速时， 除了粘滞阻力外其惯性力达到 不可忽略，破坏直线规律，如 气井或裂缝油田。 表达方式：
gradP
k v ai ( gradP ) bi u
k m v n ( gradP ) u
v
gradP
λ
气体的低速滑脱现象
对于气体在低速时，会出现完全相 反的物理现象，表现为低速时视渗 透率增加。
k v gradP (1 b / P ) u
三相流：孔隙中只有三相流体流动
按维划分：
零维：物质平衡方程 一维：带状油藏或条状油藏 二维：1、平面模型：用于较薄的油藏，不考虑层间影响。 2、剖面模型：用于层间非均质的影响，考虑重力、毛管力以
及流速对驱油效率的影响。
3、径向模型：用于研究锥进（气锥、水锥）动态 三维：用于较厚平面、纵向上非均质比较复杂的油藏。
r
一维径向模型
与二维平面模型类似，但这里在r相同处，物性参数 和流体参数相同，表现为只有径向特征。
y
二 维 平 面 模 型
x 1、大型多井结构模型 2、岩石垂向上的微小变化和流体特征 3、保持压力开发的选择和二次采油机理 4、二微非均质岩石特征 5、流体运移穿越矿区界线的分析
z
二维垂向模型 二维剖面模型