函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法

函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法

1．函数：

⑴函数：一般地，设,A B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么，这样的对应叫做A B 到的一个函数，通常记为：

(),y f x x A =∈

其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域。

⑵值域：若()A y f x =是函数的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对立，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域。

⑶列表法、解析法、图象法是函数的常用方法：

用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析式研究数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。

2．函数的简单性质：

⑴单调性：

一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜时，都有

12()()f x f x ＜

那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间。 如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜，都有

12()()f x f x ＞

那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间。 ⑵最大值及最小值：

一般地，设()y f x =的定义域为A ，如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有 0()()f x f x ≤

那么称0()f x 为()y f x =的最大值，记为

max 0()y f x =

如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有

0()()f x f x ≥

那么称0()f x 为()y f x =的最小值，记为

min 0()y f x =

⑶奇偶性：

①对于函数2

()f x x =，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等。如： (2)4(2)f f -==

实际上，对于函数2()f x x =定义域R 内任意一个x ，都有2()()f x x f x -==，这时

我们称函数2()f x x =为偶函数。 ②对于函数1()(0)f x x x

=-

≠，当自变量取一对相反数时，它们的函数值也互为相反数。如： 1(2)(2)2

f f -==- 实际上，对于函数1()f x x

=-

定义域{}|,0x x R x ∈≠内任意一个x ，都有1()()f x f x x -==-，这时我们称函数1()(0)f x x x =-≠为奇函数。 ③一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于任意的x A ∈都有

()()f x f x -=

那么称函数()y f x =是偶函数。

如果对于任意的x A ∈，都有

()()f x f x -=-

那么称函数()y f x =是奇函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，我们就说函数()f x 具有奇偶性。

根据函数定义可知：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

3．映射：

一般地，设,A B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射，记

作

:f A B →

4．二次函数的解析式的三种形式：

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;

(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

5．解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式： ()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --< ⇔|()|22

M N M N f x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N

>--. 6．方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21

2211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k a

b k k <-<+. 7．闭区间上的二次函数的最值：

二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q

a =-=； []q p a

b x ,2∉-

=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a

b x ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 8．函数的单调性：

⑴设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么