函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法

函数的性质、奇偶性、最值和二次函数的解析法
1．函数：
⑴函数：一般地，设,A B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么，这样的对应叫做A B 到的一个函数，通常记为：
(),y f x x A =∈
其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域。

⑵值域：若()A y f x =是函数的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对立，我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域。

⑶列表法、解析法、图象法是函数的常用方法：
用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析式研究数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。

2．函数的简单性质：
⑴单调性：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜时，都有
12()()f x f x ＜
那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间。

如果对于区间I 内的任意两个值12,x x ，当12x x ＜，都有
12()()f x f x ＞
那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间。

⑵最大值及最小值：
一般地，设()y f x =的定义域为A ，如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有 0()()f x f x ≤
那么称0()f x 为()y f x =的最大值，记为
max 0()y f x =
如果存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，都有
0()()f x f x ≥
那么称0()f x 为()y f x =的最小值，记为
min 0()y f x =
⑶奇偶性：
①对于函数2
()f x x =，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等。

如： (2)4(2)f f -==
实际上，对于函数2()f x x =定义域R 内任意一个x ，都有2()()f x x f x -==，这时
我们称函数2()f x x =为偶函数。

②对于函数1()(0)f x x x
=-
≠，当自变量取一对相反数时，它们的函数值也互为相反数。

如： 1(2)(2)2
f f -==- 实际上，对于函数1()f x x
=-
定义域{}|,0x x R x ∈≠内任意一个x ，都有1()()f x f x x -==-，这时我们称函数1()(0)f x x x =-≠为奇函数。

③一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，如果对于任意的x A ∈都有
()()f x f x -=
那么称函数()y f x =是偶函数。

如果对于任意的x A ∈，都有
()()f x f x -=-
那么称函数()y f x =是奇函数。

如果函数()f x 是奇函数或偶函数，我们就说函数()f x 具有奇偶性。

根据函数定义可知：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

3．映射：
一般地，设,A B 是两个非空集合，如果按某种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射，记
作
:f A B →
4．二次函数的解析式的三种形式：
(1)一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;
(3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.
5．解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式： ()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --< ⇔|()|22
M N M N f x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N
>--. 6．方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02
≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且2
2211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k a
b k k <-<+. 7．闭区间上的二次函数的最值：
二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a
b x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q
a =-=； []q p a
b x ,2∉-
=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a
b x ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p a b x ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 8．函数的单调性：
⑴设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2
121在⇔<--上是减函数. ⑵设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
9．如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.
10．奇偶函数的图象特征：
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
11．若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.
12．对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=
;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x +=对称.
13．若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a
对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.
14．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性：
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
15．函数()y f x =的图象的对称性：
⑴函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-
(2)()f a x f x ⇔-=.
⑵函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.
16．两个函数图象的对称性：
⑴函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.
⑵函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=
对称. ⑶函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.
17．若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.
18．互为反函数的两个函数的关系：
a b f b a f =⇔=-)()(1.
19.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k y -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f k
y -=的反函数. 20．几个常见的函数方程：
⑴正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
⑵指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
⑶对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
⑷幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.
⑸余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， 0()(0)1,lim 1x g x f x
→==. 21．几个函数方程的周期(约定a>0)：
⑴)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T a =；
⑵0)()(=+=a x f x f ， 或)0)(()
(1)(≠=+x f x f a x f ，
或1
()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,
或[]1
(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期2T a =； ⑶)0)(()(1
1)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期3T a =； ⑷)
()(1)
()()(212121x f x f x f x
f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，
则)(x f 的周期4T a =；
⑸()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++
()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期5T a =； ⑹)()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期6T a =.。