基本不等式复习教案-人教课标版(优秀教案)
人教A版高中数学必修5《基本不等式》精品教案
人教A版高中数学必修5《基本不等式》精品教案课题： 基本不等式：2ba ab +≤（第一课时）教材：人教版高中课程标准实验教科书《数学·必修5》第三章第四节 1 教材分析本节书介绍了两个不等式定理：（1）、如果R b R a ∈∈,，那么ab b a 222≥+①；（2）、如果0,0>>b a ，那么2ba ab +≤②。
这两个定理是解决一些数学问题和实际应用问题的重要的数学方法。
本节书教学共需3课时，这是第一课时，主要是了解探索基本不等式的证明过程，熟悉基本不等式的结构，为下节基本不等式的应用做准备（以下用①②代替两个定理）。
2 学生分析有了前面“不等式性质”的学习，学生要理解这两个定理难度并不大。
针对学生求知欲旺盛的特点，在教学中，以思考、探索、讨论为主要方法，适当加以讲解，使学生自己收获结论、总结方法，动手解决实际问题，并且增强学习数学的的信心。
3 教学策略（1）、以“孔融选蛋糕”为例引入，课件辅助，引导学生探究①的证明，并总结证明方法；利用正方形和弦图让学生了解①的几何意义，同时介绍“国际数学家大会”，培养学生的民族自豪感和使命感。
（2）、利用①式，通过“换元法”练习引入定理②，引导学生从不同角度探究②的证明过程，利用“半径和半弦的关系”让学生了解②的几何意义，并强调①②的联系与区别。
（3）、巩固练习。
设置三道习题由浅到深让学生对基本不等式逐渐熟悉，应用它们去比较大小、解决生活常见问题，最后让学生通过替换定理中的字母发现更多②式有趣的变形式，为下一节课铺垫。
4 教学目标（1）、知识目标了解不等式①②的证明过程和方法；了解不等式①②的几何意义；初步应用基本不等式比较大小，熟悉其变形式。
（2）、能力目标通过探究结果的汇报以及讨论活动，提高学生语言表达能力；在对不等式①②的证明过程中培养学生发现、比较、论证、转化等分析问题和解决问题的能力；通过掌握不等式①②的结构特点和运用不等式①②的适当变形，培养学生的思维能力和创新精神。
《基本不等式》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《2.2基本不等式2a b +≤》教学设计 教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a bab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x =1x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+y≥√xy.2（1）当积xy等于定值P时，x+y≥√P，2所以x+y≥2√P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.（2）当和x+y等于定值S时，√xy≤S,2所以xy≤1S2，4S2.当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a 2+b 22，ab ≤（a+b 2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
人教课标版高中数学必须选修4-5《基本不等式》教学设计
1.2 课时2 基本不等式一、教学目标（一）核心素养通过学习重要不等式222a b ab +≥推导出基本不等式，即两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，进而推广到三个正数的情形。
使学生掌握从旧知到新知，再推广的思想方法．（二）学习目标1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式.3．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.（三）学习重点均值不等式定理的证明及应用.（四）学习难点等号成立的条件及解题中的转化技巧.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第5页至第9页，填空：①22a b + 2ab ，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ；，当且仅当 时，等号成立，其中,a b ∈ ； ③3a b c ++≥ ，当且仅当 时，等号成立，其中,,a b c ∈ ； （2）想一想：（1）中三个结论等号成立条件有什么区别？它们有什么应用？答：①中等号成立时，,a b ∈R ；②③中等号成立时,(0,)a b ∈+∞.应用于求函数的最值.2．预习自测（1）两个正数的算术平均数 它们的几何平均数.A ．大于B ．小于C ．不大于D ．不小于【知识点】基本不等式【解答过程】两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数【思路点拨】掌握基本不等式【答案】D ．（2）若6x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【知识点】基本不等式 【解题过程】由2()2x y xy +≤，得26()2xy ≤，即9xy ≤，当且仅当3x y ==时，等式成立. 【思路点拨】注意使用基本不等式时的条件【答案】D ．（3）函数2sin ,(0,]sin 2y x x x π=+∈的最小值为（ ）A ．B ．3C ．4D ．5【知识点】基本不等式【解题过程】2sin sin y x x =+≥，当且仅当2sin sin x x =即sin x =取等号，不满足sin [0,1]x ∈，当2x π=时，min 3y =.【思路点拨】注意使用基本不等式时的取得条件【答案】B（4）已知三个正数,,a b c 满足27abc =，则24a b c ++的最小值为（ ）A ．21B ．18C ．15D ．12【知识点】三个正数的均值不等式.【解题过程】由243a b c ++≥，2418a b c ++≥=，当且仅当24a b c ==即36,3,2a b c ===取等号. 【思路点拨】【答案】B(二)课堂设计1.知识回顾（1）比较两个实数的大小可用作差比较法.（2）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<（3）运用不等式的基本性质时要注意两边同乘一个数时的正负.2．问题探究探究一 认识基本不等式●活动① 重要不等式定理1 如果,a b ∈R ，那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.证明：由作差比较法得，222()2()0a b ab a b +-=-≥，且当且仅当a b =时，等式成立. 几何解释：如果把实数,a b 作为线段长度，那么可以这样a b ≥解释定理1（以为例）如图，在正方形ABCD 中，AB a =；在正方形CEFG 中，EF b =.那么22ABCD CEFG S S a b +=+正方形正方形.矩形,BCGH JCDI 的长均为a ，宽均为b ，它们面积之和为2BCGH JCDI S S ab +=矩形正方形以上两个矩形的公共部分为以边长为b 的正方形，其面积为2b ，所以上述两个矩形面积之和2ab 就等于图中阴影部分的面积，它不大于两个正方形的面积之和，即222a b ab +≥，当且仅当a b =时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于两个正方形面积之和，即222a b ab +=.【设计意图】认识重要不等式，回顾作差比较法．●活动② 基本不等式将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式：定理2（基本不等式） 如果,0a b >，那么2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. 证明：因为22()()22a b a b a b ab +=+≥=，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =，即a b =时，等号成立.几何解释：如图，CD 是Rt ABC ∆中斜边AB 上的高，OC 是斜边AB 上的中线，,AD a BD b ==.于是，11()22OC AB a b ==+.由Rt DCA ∆∽Rt DCB ∆，得2CD AD BD =⋅，即CD ab =，易知，OC CD ≥，且当且仅当,O D 重合时OC CD =，所以2a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. 综上所述，基本不等式的几何意义是：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高. 如果,a b 都是正数，我们就称2a b +为,a b ab 为,a b 的几何平均数.于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数.【设计意图】通过对基本不等式的证明，加深对基本不等式的理解，突破重点．●活动③ 了解基本不等式的使用步骤基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值.由基本不等式2a b ab +≥，得2()24a b a b ab ab ++≥≤： （1）当积为定值时，和有最小值，为ab ；（2）当和为定值时，积有最大值，为2()4a b +.【设计意图】通过对基本不等式的分析，了解基本不等式的用法.探究二 三个正数的均值不等式●活动① 认识三个正数的均值性质类比基本不等式的形式，我们猜想，对于3个正数,,a b c ，可能有：如果,,a b c +∈R ，那么3a b c ++≥a b c ==时，等号成立. 如何证明这个猜想呢？仍然类比基本不等式的推出过程，我们先证明：已知,,a b c +∈R ，那么3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.证明：因为33332233()333a b c abc a b a b ab c abc ++-=+--+-332222()333()(()())3()a b c a b ab abc a b c a b a b c c ab a b c =++---=+++-++-++22222()(()()3)()()a b c a b a b c c ab a b c a b c ab ac bc =+++-++-=++++---2221()(()()())02a b c a b b c a c =++-+-+-≥ 所以3333a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立.对上述结果作简单的恒等变形，就可以得到定理3 如果,,a b c +∈R ，那么3a b c ++≥a b c ==时，等号成立. 这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.事实上，基本不等式可以推广到一般的情形，对于n 个正数12,,,n a a a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12n n a a a n +++≥12n a a a ===时，等号成立.【设计意图】通过对三个正数均值不等式的认识，为后面的运用做好铺垫．探究三 均值不等式的应用●活动① 利用基本不等式求最值例1 求函数12(0)y x x x =+>的最小值. 【知识点】基本不等式【解题过程】解：12y x x =+≥=，当且仅当12x x=，即x =时取等号，所以函数12(0)y x x x=+>的最小值为【思路点拨】掌握利用基本不等式求函数最值【答案】同类训练 求函数12(0)y x x x=+<的最大值. 【知识点】基本不等式【解题过程】解：112((2)())y x x x x =+=--+-≤-=-，当且仅当12x x-=-，即x =时取等号，所以函数12(0)y x x x=+<的最大值为-. 【思路点拨】注意使用基本不等式求函数最值时的条件【答案】-同类训练 求函数12(1)y x x x=+≥的最小值. 【知识点】基本不等式【数学思想】数形结合思想 【解题过程】由双勾函数12(1)y x x x=+≥的图像可知，函数在[1,)+∞上单调递增，所以12(1)y x x x=+≥的最小值为3. 【思路点拨】由例1可知，使用基本不等式求此函数最值时，无法取等号，可利用双勾函数的图像求最值.【答案】3例2 求函数14(1)1y x x x =+>-的最小值. 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】法1：（配凑法）1144(1)44811y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当14(1)1x x -=-，即32x =时取等号.法2：（换元法）令1(0)x t t -=>，则114(1)4448y t t t t =++=++≥=，当且仅当14t t =，即13,22t x ==时取等号. 【思路点拨】配凑法与换元法实质相同，都要注意使用基本不等式的条件【答案】8同类训练 求函数2449(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. 【知识点】基本不等式，换元法【解题过程】令1(0)x t t +=>，则224(1)4(1)9449944t t t t y t t t t-+-+-+===+-48≥=，当且仅当94t t =，即31,22t x ==时取等号. 【思路点拨】与例2为同类型题目，可使用换元法，利用基本不等式.【答案】8同类训练 求函数y =的最小值.【知识点】基本不等式，换元法【数学思想】数形结合思想【解题过程】(2)t t =≥，则2112t y t t t +==+≥，当且仅当1t =时取等号，不满足2t ≥，由双勾函数图像可知，函数在[2,)+∞单调递增，所以函数的最小值为52. 【思路点拨】当类似基本不等式的类型不能取等号时，可考虑利用双勾函数图像.【答案】2【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用基本不等式求函数的最值．●活动② 求含双变量的代数式的最值例3 若236(0,0)x y x y +=>>，求以下代数式的最值:①xy 的最大值；②213x y+的最小值 【知识点】基本不等式【解题过程】①236x y +=≥，所以32xy ≤,当且仅当233x y ==，即3,12x y ==时取等号；②2121112613()(23)(5)(53366362x y x y x y x y y x +=++=++≥+=,当且仅当263x y y x=，即22,3x y ==时取等号. 【思路点拨】注意利用基本不等式求代数式的最值的方法 【答案】①32 ②32同类训练 已知211,,2m n m n +∈+=R ，求2m n +的最小值. 【知识点】基本不等式【解题过程】2142(2)()22(4)2(416n m m n m n m n m n +=++⋅=++≥+=，当且仅当4n m m n =，即8,4m n ==时取等号.【思路点拨】掌握“1”的代换的应用【答案】16例4 已知2234(0,0)32x y xy x y +-=>>，求2x y +的最大值. 【知识点】基本不等式 【解题过程】由223432x y xy +-=，得23(2)532x y xy +-=， 所以223552(2)2()32222x y x y x y ++-=⋅≤，即233(2)832x y +≤，所以122x y +≤，当且仅当11,48x y ==时取等号. 【思路点拨】在“积”与“和”的混合关系中，要明确保留和变换的分别是哪一部分 【答案】12同类训练 已知0,0,228x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值.【知识点】基本不等式【解题过程】因为228x y xy ++=，所以2(2)28(2)4x y x y x y +⋅=-+≤， 所以2(2)4(2)320x y x y +++-≥，即(28)(24)0x y x y +++-≥，因为0,0x y >>， 所以24x y +≥，当且仅当2x y =，即2,1x y ==时取等号.【思路点拨】掌握利用基本不等式求“积”与“和”的最值.【答案】4【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用基本不等式求含双变量的代数式的最值． ●活动③ 三个正数的均值不等式的应用例5 求函数242(0)y x x x=+>最小值. 【知识点】三个正数的均值不等式【解题过程】22226y x x x =++≥=，当且仅当222x x=,即1x =时取等号. 【思路点拨】掌握利用三个三个正数的均值不等式求最值【答案】6同类训练 把一块边长是3的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？.【知识点】三个正数均值不等式【解题过程】解：设切去的正方形边长为x ，无盖方底盒子的容积为V ，则231132324(32)(32)(32)4()2443x x x V x x x x x -+-+=-=-⋅-⋅≤= 当且仅当324x x -=，即12x =时取等号. 【思路点拨】掌握利用三个正数的均值不等式解决实际问题 【答案】当切去的正方形边长是12时，才能使盒子的容积最大. 【设计意图】通过对例题的讲解，掌握利用三个正数的均值不等式求代数式的最值．3. 课堂总结知识梳理（1）两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．（2）运用基本不等式求最值时要注意：一正、二定、三相等．（3）利用三个正数的均值不等式求最值时要注意取等条件．重难点归纳（1）正确理解基本不等式的意义．（2）灵活应用均值不等式求代数式的最值．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列各式中，最小值等于2的是( ) A.x yy x + B. C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+ 【知识点】基本不等式【解题过程】因为20,20x x ->>，所以22x x -+≥.当且仅当22x x -=，即0x =时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D2．设,R x y ∈且5x y +=，则33x y +的最小值是( )A ．10B ．C ．D ．【知识点】基本不等式【解题过程】33x y +≥==，当且仅当52x y ==时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D. 3．设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【知识点】基本不等式【解题过程】,x y 为正数，144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当4y x x y=，即2y x =时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B4．若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【知识点】基本不等式. 【解题过程】因为直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，所以111a b+=.所以11()()224a b a b a b a b b a+=++=++≥+=，当且仅当2a b ==时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】C5．设0x >，则函数133y x x=--的最大值是________． 【知识点】基本不等式【解题过程】11333(3)3y x x x x =--=-+≤-，当且仅当13x x =，即x =. 【思路点拨】利用基本不等式求最值时，注意使用条件【答案】3-6．设,,R x y z +∈，且6x y z ++=，则lg lg lg x y z ++的取值范围是( )A ．(,lg 6]-∞B ．(,3lg 2]-∞C ．[lg 6,)+∞D ．[3lg 2,)+∞【知识点】基本不等式；对数的运算.【解题过程】因为lg lg lg ()x y z lg xyz ++=，而33()23x y z xyz ++≤=. 【思路点拨】利用基本不等式求最值所以3lg lg lg ()lg 23lg 2x y z lg xyz ++=≤=，当且仅当2x y z ===时取等号．【答案】B能力型 师生共研 7．已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【知识点】基本不等式；恒成立 【解题过程】不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则min 1(()())9a x y x y ++≥，21()()111)a y ax x y a a x y x y++=+++≥++=+，得到21)9≥，2≥4≤-(舍去)．即正实数a 的最小值为4. 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】B8．若log 2x y =-，则x y +的最小值是( )【知识点】三个正数的均值不等式；对数的运算.【解题过程】当log 2x y =-，得2x y -=且0,0x y >>，221122x x x y x x x +=+=++≥=.当且仅当212x x=，即x =时取等号． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】A探究型 多维突破9．定义运算“*”：22*(,,0)R x y x y x y xy xy-=∈≠，当0,0x y >>时，*(2)*x y y x +的最小值为________．【知识点】基本不等式．【数学思想】转化与化归思想 【解题过程】因为22*(,,0)x y x y x y xy xy-=∈≠R ，所以22222242*(2)*222x y y x x y x y x y y x xy yx xy y x --++=+==+≥=，当且仅当2x y y x=，即x =时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值10.函数25()(52)(0)2f x x x x =-<<的最大值是________． 【知识点】三个正数的均值不等式 【解题过程】231145252250()(52)=4(52)(52)()44327x x x f x x x x x x +-+-=-⋅⋅-⋅-≤=， 当且仅当452x x =-，即56x =时，等号成立． 【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】25027自助餐11.若不等式240x ax ++≥对一切(0,1]x ∈恒成立，则a 的取值范围为（ ）A.[0,)+∞B.[4,)-+∞C.[5,)-+∞D.[4,4]-【知识点】基本不等式；恒成立问题．【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由240x ax ++≥，得4a x x -≤+，所以min 4(),(0,1]a x x x -≤+∈，因为45x x +≥，当且仅当1x =时取等号，所以5a -≤，即5a ≥-．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D12．直线220(,)ax by a b R ++-=∈平分圆222460x y x y +---=，则21a b+的最小值是（ ） A.1 B.5 C.42 D.3+22【知识点】基本不等式；圆．【解题过程】由题可得，直线220(,)ax by a b ++-=∈R 过圆心(1,2)，所以1(,)a b a b ++=∈R 所以21212=()()33a b a b a b a b b a +++=++≥+，当且仅当2a b b a=，即21a b ==时等号成立.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】D13．已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的取值范围是 .【知识点】基本不等式.【解题过程】3xy x y =++≥，所以3≥或1≤-（舍去），即9xy ≥，当且仅3x y ==时取等号.【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】[9,)+∞14．已知函数()2x f x =，点(,)P a b 在函数1(0)y x x=>的图象上，那么()()f a f b ⋅的最小值是________．【知识点】基本不等式【解题过程】点(,)P a b 在函数1(0)y x x =>的图象上，所以有1ab =.因为0,0a b >>，所以()()=224a b f a f b +⋅≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立．【思路点拨】利用基本不等式求最值【答案】415．设,,0x y z >且346x y z ++=，则23x y z 的最大值是_________．【知识点】n 个正数的均值不等式.【解题过程】因为634422x x x y z y y y z =++=+++++≥，所以231x y z ≤，当且仅当42x y z ==，即12,1,4x y z ===时取等号. 【思路点拨】利用三个正数的均值不等式求最值【答案】116.某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2018年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3x -与1t +成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2018年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2018年生产的化妆品正好能销售完，试将2018年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2018年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？【知识点】基本不等式【数学思想】函数与方程思想【解题过程】(1)由题意可设31k x t -=+，将0,1t x ==代入，得2k =.所以231x t =-+. 当年生产x 万件时，年生产成本为232332(3)31x t +=-++，当销售x 万件时，年销售收入为211.5[32(3)3]12t t -+++.由题意，生产x 万件化妆品正好销完，得年利润29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+．(2)令1(1)t λλ=+≥，则2(1)98(1)353250()504222y λλλλλ--+-+==-+≤-=， 当且仅当32=2λλ，即8λ=，7t =时等号成立. 【思路点拨】利用基本不等式解决实际问题【答案】（1）29835(0)2(1)t t y t t -++=≥+；（2）当促销费定在7万元时，年利润最大.。
高中数学基本不等式优秀教案
《不等式的性质》教学设计一. 教学内容解析；本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5〕》〔人教A 版〕第三章第一节的第二课《不等式的性质》。
这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这局部内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及根底．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系根底上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比拟两个实数大小的方法和不等式的性质。
二．教学目标设置；1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2.理解并掌握比拟两个实数大小的方法．3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比拟实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．三．学生学情分析；在的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是〔1〕利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，〔2〕学习关于不等式原来不完善的地方，比方对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。
教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用．四．教学策略分析；这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的根本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜测不等式的根本性质，并给出证明。
让学生体会“运算〞在研究不等式性质中的关键作用。
为了研究不等式的性质，首先学习比拟两实数大小的方法，这是论证不等式性质的根本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生根本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．五．教学过程设计；引入：1．古诗横看成岭侧成峰，远近上下各不同，引出不等关系。
人教B版新课标高中数学必修一教案 《基本不等式》
《基本不等式2a b ab +≤（第1课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．通过实例探究抽象基本不等式；3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．【教学重点】2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 a bab +≤等号成立条件 1．课题导入 2a bab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活．◆ 教学过程◆ 教学重难点◆◆ 教学目标◆ 教材分析2．讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a =b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=．2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a >0，b >0，我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤ （2）从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤用分析法证明：要证2a bab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立． （3）理解基本不等式2a bab +≤的几何意义 探究：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ，BC =b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab ． 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1．如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数．本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力．[补充例题]例1 已知x 、y 都是正数，求证： （1）yxx y +≥2； （2）（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 分析：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形．解：∵x ，y 都是正数 ∴y x ＞0，xy＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 （1）xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2．（2）x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233yx＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 【设计意图】例题讲解，学以致用． 3．随堂练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证 （a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果．解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc ． 【设计意图】讲练结合，熟悉新知． 4．课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2ba +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2ba +≥ab ）．它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第24界国际数学家大会的会标情境引入，贴近生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．《基本不等式2a bab +≤（第2课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤的应用 教学难点a bab +≤求最大值、最小值． 1．课题导入◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标◆ 教材分析1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．【设计意图】复习引入． 2．讲授新课例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy =100，篱笆的长为2（x +y ） m ．由2x yxy +≥ 可得 2100x y +≥ 2()40x y +≥．等号当且仅当x =y 时成立，此时x =y =10． 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m ． （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤2122236236()28x x +-=当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2解法二：设矩形菜园的长为x m ．，宽为y m ，则2（x +y ）=36， x +y =18，矩形菜园的面积为xy m 2．由18922x y+≤==，可得81xy≤当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a＝b时成立．2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立．例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得)1600(720240000xxl++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx==因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）正确写出答案．【设计意图】 讲解例题，熟悉方法． 3．随堂练习1．已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 2．课本练习．【设计意图】讲练结合，巩固新知． 4．课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题．在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过两个例题的研究，2a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．《基本不等式2a b +≤（第3课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值．1．课题导入1．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 22a bab +≤求最大（小）值的步骤． 【设计意图】复习引入． 2．讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m >0，求证24624m m+≥． [思维切入]因为m >0，所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b ， 直接利用基本不等式．◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标[证明]因为 m >0，，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号． 规律技巧总结 注意：m >0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件． 【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式．3．随堂练习1[思维拓展1] 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+．例2 求证：473a a +≥-． [思维切入] 由于不等式左边含有字母a ，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约掉字母a ，而左边44(3)333a a a a +=+-+--．这样变形后，在用基本不等式即可得证．[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a -3即a =5时，等号成立． 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式．2）利用不等式求最值例3 （1） 若x >0，求9()4f x x x =+的最小值； （2）若x <0，求9()4f x x x =+的最大值．[思维切入]本题（1）x >0和94x x⨯=36两个前提条件；（2）中x <0，可以用-x >0来转化．解（1）因为 x >0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==，当且仅当94x x =即x =32时， 9()4f x x x=+取最小值12． （2）因为 x <0， 所以 -x >0， 由基本不等式得：99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==， 所以 ()12f x ≤． 当且仅当94x x -=-即x =-32时， 9()4f x x x =+取得最大-12．规律技巧总结 利用基本不等式求最值时，个项必须为正数，若为负数，则添负号变正． 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-（x >5）的最小值．[思维拓展2] 若x >0，y >0，且281x y+=，求xy 的最小值． 【设计意图】讲练结合，巩固新知．4．课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值． 【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力．5．评价设计１．证明：22222a b a b ++≥+２．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力．本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩固知识的效果．其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣．。
不等式复习教案人教版
- 不等式的性质：
- 性质1：不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等号的方向不变。
- 性质2：不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不变。
- 性质3：不等式的两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变。
② 不等式的解法
- 重点知识点：解一元一次不等式、解不等式组、解含绝对值的不等式。
- 含绝对值不等式 |2x - 3| ≤ 1 的解集。
十．反思改进措施
（一）教学特色创新
1. 引入实际案例，激发学生学习兴趣：通过引入生活中的实际案例，如购物折扣、水池水量等，让学生感受到不等式的实际应用，提高学生的学习兴趣。
2. 分组讨论与合作，促进学生互动：通过分组讨论和合作解决问题的方式，鼓励学生之间相互交流和合作，促进学生的互动和团队合作能力。
3. 信息化资源：网络教学资源、数学软件、教育应用程序等。
4. 教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、投影展示等。
5. 教学辅助工具：数轴、不等式图形展示工具等。
6. 教学评价工具：习题、测验、课堂表现评估等。
五、教学流程
一、导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《不等式复习》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较两个数大小的情况？”（举例说明）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索不等式的奥秘。
3. 不等式的解法
（1）解一元一次不等式：通过移项、合并同类项等步骤求解。
（2）解不等式组：分别解每个不等式，然后根据不等式的性质确定解集。
高考数学《基本不等式》专题复习教学案
基本不等式【知识梳理】一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)【基础自测】1．函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为________解析： ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案：[2，＋∞)2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为_______解析： ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为_______解析：选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．4．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：55．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y 的最小值为________．解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．【考点探究】考点一利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x＋x 的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是_______ [解] (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎡⎦⎤4－x ＋(－x ).∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎡⎦⎤4－x ＋(－x )≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.(2)∵x ＞0，y ＞0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15·(3x ＋4y )·⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. 【一题多变】本例(2)条件不变，求xy 的最小值．解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．【由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 【以题试法】1．(1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．(2)(2011·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18. 即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.考点二 多元均值不等式问题【例2】设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14⎝⎛⎭⎫x z ＋9z x ＋6≥14⎝⎛⎭⎫2x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz取得最小值3.【以题试法】若,,0a bc >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为考点三 基本不等式的实际应用【例3】 (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[解] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．【由题悟法】 利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.【以题试法】2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2 150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【巩固练习】1．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是_______解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号．2．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于_______解析：由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.3.求函数2y =的值域.(2)t t =≥，则2y =1(2)t t t ==+≥因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性. 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥. 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值.解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52.5.求函数23(32)(0)2y x x x =-<< 的最大值解：30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是16.已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.解：x ·12 ＋y22≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋122 ＝34即x 1＋y 2＝ 2 ·x12 ＋y22≤ 34 2 7.已知a>b>0,求a+)(1b a b -的最小值.8．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p ＞0)若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．解析：由题意得x －1＞0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.9．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数， (1)求函数y ＝x (a －2x )的最大值； (2)求y ＝1a －2x－x 的最小值． 解：(1)∵x ＞0，a ＞2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎡⎦⎤2x ＋(a －2x )22＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28. (2)y ＝1a －2x＋a －2x 2－a 2≥212－a 2＝2－a2. 当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x－x 的最小值为2－a2.10．正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9xy≥19＋2 2y x ·9xy＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 11．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围；(2)求x ＋y 的取值范围． 解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝30－x2＋x ＞0,0＜x ＜30.(1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2＝－x 2－2x ＋32x ＋64－64x ＋2＝－x －64x ＋2＋32＝－⎣⎡⎦⎤(x ＋2)＋64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号，因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32x ＋2－1＝x ＋2＋32x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎨⎧x ＝42－2，y ＝42－1时等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋32x ＋2－3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)．。
基本不等式教学设计-经典教学教辅文档
2a b +≤”教学设计 一、教学内容解析 本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修（5）》（人教A 版）第三章第四节第一课时。
基本不等式是关于不等式的证明、求解最值成绩的重要工具，在高中数学知识体系中占有重要的地位。
作为本章最初一节内容，基本不等式承前启后，即为解决最值成绩提供了新的根据和方法，也为后续内容如“直接证明与间接证明”、“均值不等式（推行）”等知识的学习作好知识储备。
本节课的学习任务次要是探求几何背景赵爽弦图(勾股圆方图)中所包含的不等关系，经过对重要不等式（222a b ab +≥，当且仅当a b =时取“=”）的变形代换构成对基本不等式（2a b+≤且a b R +∈、，当且仅当a b =时取“=”）的初步认识，在此基础之上引导先生多角度探求基本不等式的证明方法及几何意义，并在解决简单的最值成绩过程中领会基本不等式的重要作用。
教学重点：基本不等式的探求过程及多角度探求基本不等式的证明方法。
突出重点的手腕：教师在教学过程中要擅长捕捉先生情感的兴奋点，激发他们的学习兴味，鼓励先生大胆猜想，积极探求，以积极的评价，促使他们知难而进。
另外，以数形结合为主导思想选择知识的切入点，从先生已有的认知程度和知识基础动手，在以先生为主体的前提下教师给以适当的引导。
二、教学目标设置《课程标准》对本节内容的要求是：①探求并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值成绩。
根据《课程标准》并结合本节教学内容及学情，将本节课的教学目标确定为：1.结合赵爽弦图探求概括基本不等式，直观理解基本不等式的几何背景，领会数形结合的思想方法；2.在多角度探求基本不等式的证明方法的过程中，培养先生的探求精神和逻辑推理能力；3.经过解决简单的最大（小）值成绩，深化对基本不等式的理解，感受基本不等式在解决实践成绩中的作用。
三、先生学情分析先生比较熟习勾股定理、圆的简单性质、类似三角形的性质等知识，高中阶段曾经学习了基本初等函数及其性质、不等关系与不等式的性质，先生对不等式有了初步的了解和运用，对数形结合、转化与化归等数学思想方法有了必然的领会，这为本节课奠定了思想基础。
人教A版高中数学必修五《基本不等式》精品教案
《基本不等式：》教案《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A 版）第三章3.4节 一．教学目标①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握式子中取等号的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标：通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力，创新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于生活，增强学生应用数学的意识，激发学生学习数学的兴趣。
让学生享受学习数学带来的情感体验和成功喜悦。
二．教学重点、难点教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并从不同角度探索基本2a b+≤。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取“=”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
三、教学方法与手段本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动式教学方法。
以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，让学生探究思索。
以多媒体作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。
四、教学过程设计设置情景，导入新课1．图中的面积有哪些相等和不等的关系？2．正方形ABCD的面积肯定大于4个直角三角形的面积和吗？有没有相等的情况呢？1．让学生观察常见的图形，目的是调动学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，从而激发他们的学习动机。
2．借助《几何画板》动态演示和数据验算让学生更容易理解“当且仅当a b时取“=”号”的数学内涵，突破一个难点。
教师利用多媒体展示问题情景：1．（投影出）在北京召开的第24届国际数学家大会的会标——风车。
2．让学生直观观察（多媒体动画演示,“当正方形EFGH缩为一个点时，它们的面积相等”。
）自主探究，从而归纳出：“正方形ABCD的面积不小于4个直角三角形的面积和”。
五、板书设计板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习则利用多媒体课件展现，这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。
人教A版新课标高中数学必修一教案 《基本不等式》
《2.2基本不等式2a b +≤》 教材分析：“基本不等式” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+的证明过程； 【教学难点】 1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basic inequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考: 上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤ 用分析法证明：要证2a b+≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3）要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1： 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab .这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x = 1x，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x（x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x=y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x +y 有最小值2√P ； （2）如果和x +y 等于定值S ，那么当x =y 时，积xy 有最大值14S 2.证明：因为x ，y 都是正数，所以x+y 2≥√xy .（1）当积xy 等于定值P 时，x+y 2≥√P ，所以x +y ≥2√P ，当且仅当x =y 时，上式等号成立.于是，当x =y 时，和x +y 有最小值2√P . （2）当和x +y 等于定值S 时，√xy ≤S2,所以xy ≤14S 2，当且仅当x =y 时，上式等号成立.于是，当x =y 时，积xy 有最大值14S 2.例3 （1）用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xy m2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低.解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm ，ym ，水池的总造价为2元.根据题意，有z =150×48003+120（2×3x +2×3y ）=240000+720（x +y ）.由容积为4800m 3，可得3xy =4800，因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. 解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a2+b22，ab≤（a+b2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
人教版高中数学必修5《基本不等式》教案
课题：基本不等式教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4一、教学目标：1、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；4、培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点和难点：重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 难点：注意基本不等式2a bab +≤等号成立条件以及应用于解决简单的最大(小)值问题。
三、教学方法：启发、探究式相结合 四、教学工具：多媒体课件五、教学过程：一、问题引入:如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？这样，三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥二、探究过程：1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 则正方形的边长为22a b +。
探究1：（1）正方形ABCD 的面积S=＿＿＿＿ （2）四个直角三角形的面积和S ’=＿＿ （3）S 及S ’有什么样的关系？ ADB HFGE《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
问题：你能证明这个结论吗？ 证明：（作差法） 因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当b a ≠时，0)(2>-b a 当b a =时，0)(2=-b a所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+总结结论1：一般的，如果文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。
人教A版高中数学必修五第三章3.4《基本不等式》复习课教学设计
《基本不等式》教学设计授课教师：教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（复习课）课时：1课时一.教学内容分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强.基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)a b ab a b R+≥∈.在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容.因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.二．教学目标设置《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：（1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；（2）让学生经历基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何背景，体会数形结合的数学思想.（3）通过运用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，加深学生对基本不等式的理解，认识数学的对称性与完整性.三．学生学情分析学生在此之前已经具备了平面几何的基本知识，掌握了不等式的基本性质和比较法证明不等式.同时，高二学生具备了良好的图形分析能力、抽象概况能力以及一定层次上的交流沟通能力.这些都为学习本节内容奠定了基础.在学习本节课前尽管学生已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于用不等式模型来解决问题及基本不等式的各种几何背景学生还是有一些困难，一时很难接受；从重要不等式到基本不等式的简洁结构使得变量范围是从全体实数变化为正实数，很不好理解；对于变量存在和或者积为定值也需仔细观察，在整体的变化过程中取最值是整体与局部的数学思想容易忽视.另外，教材中提出探究基本不等式的几何解释需要学生具备良好的逻辑推理能力，而且图形中线段间的关系也比较隐蔽，不易被发现.因此，我以为本节课的教学难点为：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值.四．教学策略分析本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的引导下，以学生的自主探究与合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“基本不等式的发现与证明”为基本研究内容，为学生提供自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步提高学生发现问题、探索问题、解决问题的能力.五、教学过程设计（一）典型例题例1．已知a，b是正数，求证21a＋1b≤ab.【设计意图】对于不等式的证明，学生已具备了“分析法”的基本思想，教材上以填空的形式证明了基本不等式，但“分析法”证明的格式以及为什么要这样证明，是学生思维的盲点，一是学生不会发现其中隐含的道理，二是学生照此模仿往往会出错.因此此处的证明由学生独立完成，相互交流，并展示不同的证明方法，这样既能使不同认知基本的学生暴露出不同的问题，并加以解决，又能教会学生欣赏同伴身上的闪光点，发扬合作精神.[例2](1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值． 已知x ＞3，求f(x)＝x ＋4x －3的最小值； 【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，一方面，让学生知道可以利用基本不等式求解最大（小）值的问题；另一方面，强化学生对基本不等式的理解，特别是等号成立的条件，同时培养学生形成严谨的思维习惯，具备反思的意识，也为后续提出“一正，二定，三相等”做铺垫.例3、设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值 【设计意图】本题是基本不等式在实际问题中的简单应用，介绍整体化一方法解决函数最值问题。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教学设计教材：人教版中学数学必修5第三章一、教学目标1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想：2.进•步提炼、完善其本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基木不等式的相识，提高逻辑推理论证实力：3.结合课本的探究图形，引导学生进•步探究基本不等式的几何说明，强化数形结合的思想：4.借助例1尝试用其本不等式解决简洁的增值问题，通过例2与其变式引导学生领悟运用基本不等式向“空的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的实力，体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际，将学问与实力、过程与方法、情感看法价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点内<a+b K点,应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究不等式"T的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教学过程：1.动手操作，几何引入如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是依据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现/以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不行分的.探究一：在这张“弦图”中能找出•些相等关系和不等关系吗？在正方形48CD中有4个全等的直角三处形.设直角三角形两条直角边长为40，则正方形的边长为"于是，4个直角三角形的面积之和S L.，正方形的面积S?=/+从.由图可知乡＞$,即3产＞加探究二；先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折春).假设两个正方形的面积分别为。
和b(αNb),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发觉一个不等式吗？加4a+b通过学生动手操作，探究发觉：22.代数证明，得出结论依据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：若aMJΓ,则/+从＞2曲.若如尤，则匹吟学生探讨等号取到状况，老师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直•观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论:KVa+b(1)若aMR.,则/.乂工9；(2)若aMR.,则“~请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明.证法一（作差法>:炉♦户之2而，“初”时取等号.（在该过程中，可发觉久》的取值可以是全体实数）证法二（分析法）：由FaMR.,「是要证明毕而只要证明a+b≥.汨，即证Ja+√⅛-2√afc>0f。
人教课标版高中数学选修4-5：《不等式的基本性质》教案-新版
1.1 课时1 不等式的基本性质一、教学目标（一）核心素养在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平.（二）学习目标1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明.3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法.（三）学习重点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明.（四）学习难点灵活应用不等式的基本性质.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空：a b >⇔ a b =⇔ a b <⇔（2）判断：下列说法是否正确？①,a b b c a c >>⇒> ②a c b c a b +>+⇒> ③ac bc a b >⇒>④33a b a b >⇒> ⑤22a b a b >⇒> ⑥,a b c d ac bd >>⇒>2.预习自测（1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值.【知识点】作差比较法【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=-【思路点拨】熟悉作差比较法【答案】[0,1]（2）若c ∈R ，则22ac bc > a b >A.⇒B.⇔C.⇐D.≠【知识点】不等式的基本性质【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A.（3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出11a b<? 【知识点】作差比较法 【解题过程】11b a a b ab --=，因为a b >，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法【答案】当0ab >时，11a b<. (二)课堂设计1.问题探究探究一 结合实例，认识不等式●活动① 归纳提炼概念人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实：如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对.这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<，上面的符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与零的大小，这是研究不等式的一个出发点.这种方法称为作差比较法.【设计意图】通过基本事实，加深对不等式的理解，突破重点.●活动③ 了解作差比较法的步骤例1 试比较(3)(7)x x ++和(5)(6)x x ++的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】第一步：作差 (3)(7)(5)(6)x x x x ++-++第二步：变形 22(3)(7)(5)(6)(1021)(1130)9x x x x x x x x x ++-++=++-++=--第三步：定号 当90x -->时，9x <-；当90x --=时，=9x -；当90x --<时，9x >- 第四步：结论当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】当9x <-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++>++；当9x =-时，(3)(7)=(5)(6)x x x x ++++；当9x >-时，(3)(7)(5)(6)x x x x ++<++；思考：作差比较法的步骤中，哪一步最为关键？第二步变形最重要，变形要变到可以判断代数式的正负为止，变形的方法通常有分解因式，配方，平方，有理化等.同类训练 比较(1)(2)x x ++与(3)(6)x x -+的大小.【知识点】作差比较法【数学思想】分类讨论思想【解题过程】 因为 22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=>， 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【思路点拨】熟悉作差比较法比较大小的步骤【答案】(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+【设计意图】通过对作差比较法的步骤分析，更加深刻理解不等式.探究二 探究不等式的基本性质●活动① 认识不等式的基本性质我们知道，等式的基本性质是从数的运算的角度提出的.同样的，由于不等式也研究实数之间的关系，所以联系实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方等）来思考不等式的基本性质是非常自然的.例如，不等式两边加（或乘）同一个数，不等式是否仍然成立？等等.由两个实数大小关系的基本事实，可以得出不等式的一些基本性质.（1）如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<.（2）如果,a b b c >>，那么a c >.即,a b b c a c >>⇒>.（3）如果a b >，那么a c b c +>+.（4）如果,0a b c >>，那么ac bc >；如果,0a b c ><，那么ac bc <.（5）如果0a b >>，那么(,2)n n a b n n >∈≥N .（6）如果0a b >>,2)n n >∈≥N .通过语言叙述可以加深理解上述基本性质.例如，性质（4）可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.对于以上的基本性质，可采用作差比较法来证明，如性质（4）：证明：()ac bc c a b -=-，如果,0a b c >>，则0,0a b c ->>，所以()0ac bc c a b -=->，即ac bc >，同理如果,0a b c ><，那么ac bc <.思考：通过不等式的基本性质，在研究不等式时，需要特别注意什么问题？事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘（除）法运算时，乘（除）数的符号会影响不等号的方向.【设计意图】通过对不等式的性质的认识，为后面的运用做好铺垫.●活动② 巩固理解，拓展延伸上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：（1）如果,a b c d >>，那么a c b d +>+；（2）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd >；（3）如果0,ab a b >>，那么11a b<. 对于上述（2），可由如下方法证明：()()()()0ac bd ac bc bc bd c a b b c d -=-+-=-+->，所以ac bd >.【设计意图】从给出的基本性质到延伸性质，加深对不等式的认识.探究三 不等式性质的应用●活动① 利用性质证明不等式例2 已知0,0a b c d >>>>>. 【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0,0a b c d >>>>，所以110,0a b d c >>>>.所以a b d c >>. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析同类训练 求证：如果0,0a b c d >><<，那么ac bd <.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】证明：因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，所以两式可相乘，得ac bd ->-，所以ac bd <.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过对例题的讲解，使学生掌握利用不等式的性质证明不等式.●活动② 互动交流、判断正误例3 若011<<ba ，以下结论中正确的有 ①ab b a <+； ②||||b a >； ③b a <； ④02<-ab a【知识点】不等式的基本性质；特殊值法【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】法1：由011<<ba ，得0<<ab ，所以ab b a <<+0，①正确，②③错误； 0)(2<-=-b a a ab a ，④正确法2：取2,1-=-=b a ，可算出各式的值，得出答案.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质，掌握特殊值法.【答案】①④同类训练 判断下列各命题的真假，并说明理由：（1）如果b a >，那么bc ac >；（2）如果b a >，那么22bc ac >；（3）如果b a >，那么)(*N n b a n n ∈>)(R ∈>n b a n n ；（4）如果d c b a <>,，那么d b c a ->-.【知识点】不等式的基本性质【解题过程】（1）是假命题，因为不知c 的正负；（2）是假命题，因为当0=c 时不成立；（3）是假命题，因为不知b a ,的正负；（4）是真命题，因为d c b a ->->,，由同向不等式的可加性知,d b c a ->-.【思路点拨】熟悉不等式的基本性质【答案】见解析【设计意图】通过分析不等式的结论是否正确，掌握利用不等式的性质判断及特殊值判断.2.课堂总结知识梳理（1）0;0;0a b a b a b a b a b a b >⇔->=⇔-=<⇔-<.（2）作差比较法的步骤：作差、变形、定号、结论.（3）不等式的基本性质.重难点归纳（1）应用不等式的基本性质推理判断命题的真假.（2）灵活应用不等式的基本性质.（三）课后作业基础型 自主突破1.设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】不等式的性质；充分必要条件【数学思想】分类讨论思想【解题过程】若2()0a b a -<，则a b <；若a b <，则2()0a b a -≤，所以“2()0a b a -<”是“a b <”的充分而不必要条件.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A2.对于任意实数,,,a b c d ，下列五个命题中:①若,0a b c >≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc >，则a b >； ④若,a b >则11a b<； ⑤若0,a b c d >>>，则ac bd >.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【知识点】不等式的性质【解题过程】,0a b c >≠，当0c <时，ac bc >不成立，①是假命题；a b >，当20,0c c ==时，22ac bc >不成立，②是假命题；因为22ac bc >，所以，20c >，a b >，③是真命题；,a b >当,a b 同号时，11a b <成立，而,a b 异号时，11a b <不成立，④是假命题；0,a b c d >>>时，ac bd >不一定成立，只有当0,0a b c d >>>>时，ac bd >成立，⑤是假命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A3.如果0a b <<, 那么（ ）A.0a b ->B. ac bc <C.22a b <D.11a b> 【知识点】不等式的性质【解题过程】利用不等式的性质: 1100a b b a <<⇒<< 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D4.不等式22lg lg x x <的解集是（ ） A.1(,1)100 B.(100,)+∞ C.1(,1)100(100,)+∞ D.(0,1)(100,)+∞【知识点】不等式性质及对数运算. 【解题过程】：由22lg lg x x < 22lg lg x x ⇒< lg 2x ⇒>或lg 0x < 100x ⇒>或01x <<【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数运算，注意真数大于0.【答案】D5.设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是（ ）A.2a b >B.11a b >C.11a b< D.22a b > 【知识点】不等式的性质及应用【解题过程】由11b -<< 201b ⇒<<, 又1a >, 2a b ∴>.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A6.若0<<b a ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. b b a 11>- B.ab a <2 C.a a b a > D.1||1||||++<a b a b 【知识点】不等式的性质.【数学思想】特殊与一般思想【解题过程】当012<-=<-=b a 时，b b a 11=-，141=<=a a b a ，∴选项A 、C 都不成立， 又0<<b a ，ab a >∴2，∴选项B 不成立，又0)1|(|||)1|(|||||||1||1||||<++-=+-=++-a a a b a a a b a b a b ，即1||1||||++<a b a b 成立. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D能力型 师生共研7.已知命题2:[1,2],0p x x a ∀∈-≥，命题2:,220q x x ax a ∃∈++-=R ，若命题p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≤-或1a =B.2a ≤-或12a ≤≤C.2a ≥D.21a -≤≤【知识点】命题及不等式【数学思想】化归与转化思想【解题过程】命题p 为真命题时，要使2[1,2],0x x a ∀∈-≥，只需2min ()a x ≤，因为[1,2]x ∈，所以214x ≤≤，所以2min ()1x =，所以1a ≤①；命题q 为真命题时，2,220x x ax a ∃∈++-=R ，即2220x ax a ++-=有实数根，所以2(2)4(2)0a a ∆=--≥，解得21a a ≤-≥或②.因为p q ∧是真命题，所以,p q 均为真命题.①②取交集得2a ≤-或1a =.【思路点拨】掌握分离参数法解含参问题【答案】A8.已知,,a b c ∈R ，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若0ab ≠，则2a b b a+≥；③若0,a b n *>>∈N ，则n n a b >； ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则,a b 中至少有一个大于1.其中真命题的个数为（ ）A.2B.3C.4D.1【知识点】不等式及不等关系，不等式的性质，对数的性质.【解题过程】当0c =时，220ac bc ==，所以①为假命题；当a 与b 异号时，0a b <，0b a <，所以②为假命题；因为0,a b n *>>∈N ，所以n n a b >，③为真命题. ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则有可能1,01a b ><<或1,01b a ><<，即,a b 中至少有一个大于1.是真命题.【思路点拨】掌握不等式的基本性质及对数的性质【答案】A探究型 多维突破9.集合()*{,,S x y z x y z =∈N 、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是（ ）A.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【知识点】不等关系.【数学思想】分类讨论思想【解题过程】从集合S 的定义，(),,x y z S ∈可三个不等式，(),,z w x S ∈也可得三个不等式，组合之后可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有y z w <<或w y z <<或y z w <<或w x y <<，于是(),,x y w S ∉不一定成立，(),,y z w S ∉也不一定成立.【思路点拨】分类讨论注意不重不漏【答案】B10.已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ） A.11a b b a +>+ B.11a b a b +>+ C.11b b a a +>+ D.11b a b a->- 【知识点】不等式的性质 【解题过程】11110,0,a b a b b a b a >>∴>>∴+>+. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】A自助餐11.如果a b c 、、满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项不恒成立的是（ ）A.ab ac >B.22cb ab <C.()0c b a ->D.()0ac a c -<【知识点】不等式的性质.【解题过程】c a <且0ac <，故0,0c a <>，由不等式的性质知A ，C ，D 都恒成立.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】B12.已知,a b ∈R 且b a >，则下列不等式中成立的是（ ） A.1>ba B.22b a > C.()ln 0a b -> D.21a b -> 【知识点】不等式的性质.【解题过程】只有当0a b >>时，选项A ，B 正确；要使()ln 0a b ->，必须1a b ->，所以选项C 错误；当b a >时，00,221a b a b -->∴>=.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D13.设,,a b c ∈R 且a b >，则（ ）A.ac bc >B.11a b< C.22a b > D.33a b > 【知识点】不等式的性质.【解题过程】选项A 中若0c 时,结果错,故A 不正确;选项B 中若0a b >>时,结果错,故B 不正确;选项C 中若0a b >>时,结果错,故C 不正确;在选项D 中由不等式性质可知是正确的.【思路点拨】掌握不等式的基本性质【答案】D14.当01x <<时，下列大小关系正确的是（ ）A.333log x x x <<B.33log 3x x x <<C.333log x x x <<D.33log 3x x x <<【知识点】利用中间值法比较大小【解题过程】当01x <<时，33log log 10x <=，33011x <<=，0113333x =<<=，所以33log 3x x x <<.【思路点拨】利用中间值法比较大小时，注意找准“中值”【答案】B15.设()23ln ,3,2234.1===c b a ,则,,a b c 的大小关系是（ ） A.a b c >> B.b c a >> C.c a b >> D.b a c >>【知识点】比较大小.【解题过程】 1.41a =>，3231b =>，3ln 12c =<，所以c 最小，而2 1.42a =，23327b ==， 所以22a b <，即a b <，所以综上得：c a b <<.【思路点拨】比较对数或指数大小时，可先确定其大致范围，然后再比较【答案】D16.若53,42≤<<≤b a ，则b a -3的取值范围为 ，bb a +2的取值范围为 . 【知识点】不等式的性质【解题过程】因为53,42≤<<≤b a ，所以35,1236-<-≤-<≤b a ，所以 931<-≤b a ；31151,824<≤<≤b a ，所以38254<≤b a ，所以3111259<+≤b a ，即311259<+≤b b a . 【思路点拨】应用不等式的可加或可乘性求范围时，注意使用条件.【答案】)9,1[；)311,59[。
基本不等式教案(推荐)
基本不等式一、教材分析1、教材的地位和作用本节是选自人教社普通高中课程实验标准数学（必修5）第三章《不等式》的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究。
同时也是为了以后学习（选修4—5）《不等式选讲》中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质。
2、教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过程。
难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。
关键:抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思想，使学生从感性认识升华到理性认识来突破难点。
二、教学目标1．知识与技能:探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
2. 过程与方法: 通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
3．情态与价值：通过本节的学习，体验成功的快乐，激发学习的兴趣。
三、教法分析1、教学方法：引导发现法、探索讨论法本节内容从实际问题出发，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题，建构自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。
这样安排是为了体现数学知识的产生与发展，体现数学的应用价值。
新课标中对知识的发生的过程提出了较高的要求，重视学生对问题的探究能力，为了激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现，再创造的过程，本节宜用引导发现法、探索讨论法。
2、教学手段：设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性。
3、学法指导：问题探究法根据新课标“倡导积极主动，勇于探索的学习方式”理念，教材内容的特点以及学生的知识、能力、情感等因素，本节课宜采用问题探究法。
《基本不等式及其应用》第一轮复习教案(1)
基本不等式及其应用第一轮复习教案一、教学三维目标：1、 知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值。
2、 过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会高考题的改编过程。
3、 情感态度与价值观目标：通过解题后反思，培养学生的解题反思习惯；通过改编题目，培养学生的探索研究精神；通过解答高考题，培养学生面对高考的自信心。
二、重点：基本不等式在解决最值问题中的应用。
难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下可采用函数的单调性求最值。
三、教学过程：一、引入（回归课本）问题1：（数学必修5第100页习题3.4A 组第1题改编）（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？符号语言表示：二、基本不等式的概念基本不等式)0,(2>≥+b a ab b a （当且仅当a =b 时，上式取到等号） 1、背景：代数背景：),(222R b a ab b a ∈≥+ （用代换思想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。
2、常见变形：),()2()12R b a b a ab ∈+≤ ),(2)()2222R b a b a b a ∈+≥+ 三、基本不等式在求最值中的应用1、思想方法：再由问题1得出基本不等式求解最值问题的两种模式（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当x =y 时，和x +y 有最小值（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值21.4S2、典例分析A 组题 （1）已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. （配系数） （2）已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. (添项) （3）已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值. （拆项） （4）已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx 21+的最小值. （“1”的代换） B 组题（1）已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求z y x 941++的最小值. （“1”的代换） （2）已知1->x ,求8512+++=x x x y 的最大值. （换元） （3）已知c b a >>,求cb c a b a c a w --+--=的最小值. （换元） （4）已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值.（对称性）一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.四、探索提高引导学生自主编题。
基本不等式复习教案-人教课标版(优秀教案)
即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x
分析：问题（）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解. 解:(
点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
例动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
图3-4-1
（）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大
（）若使每间虎笼面积为2
，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小
思路分析：设每间虎笼长为，宽为，则（）是在的前提下求的最大值；而()则是在的前提下来求的最小值.
解：（）设每间虎笼长为，宽为，则由条件,知，即. 设每间虎笼的面积为，则. 方法一：由于≥y x 32⨯xy 6,
∴xy 6≤,得≤
227，即≤2
27. 当且仅当时等号成立. 由⎩⎨
⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.
3,5.4y x
故每间虎笼长为，宽为时，可使面积最大.
若改为 ()()>
此函数一定
为二次函数吗。
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即()()0
8
2
4
2≥
+
+
-
+y
x
y
x，又0
2>
+y
x，4
2≥
+
∴y
x
分析：问题（）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函
数再利用基本不等式求解；问题（）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式
转化为关于xy的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.
解:(
点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最
基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
例动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围
成.
图3-4-1
（）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最
大
（）若使每间虎笼面积为2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼
的钢筋总长度最小
思路分析：设每间虎笼长为，宽为，则（）是在的前提下求的最大值；而()则是在的
前提下来求的最小值.
解：（）设每间虎笼长为，宽为，则由条件,知，即.
设每间虎笼的面积为，则.
方法一：由于≥y
x3
2⨯xy
6,
∴xy
6≤,得≤
2
27
，即≤
2
27
.
当且仅当时等号成立.
由
⎩
⎨
⎧
=
+
=
,
18
3
2
,
2
2
y
x
y
x
解得
⎩
⎨
⎧
=
=
.3
,5.4
y
x
故每间虎笼长为，宽为时，可使面积最大.
若改为
()()>
此函数一定
为二次函数
吗。