单级倒立摆的模糊控制

单级倒立摆的模糊控制

摘要：随着被控对象的日趋复杂,控制性能的要求不断提高,传统控制理论对解决复杂系统无能为力。该文将人工智能中的模糊控制引入倒立单摆控制系统,以提高控制要求,改善控制精度。通过仿真实验表明这种控制思路是可行的,效果良好。倒立单摆系统是一个典型的多变量、非线性、强藕合和快速运动的自然不稳定系统。因此倒立摆在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果己经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究倒立摆的控制系统仿真问题。仿真的成功证明了本文设计的模糊控制器有很好的稳定性。主要研究工作如下：使用了牛顿力学和Lagrange方程对倒立摆进行数学建模，推导出倒立摆系统传递函数和状态空间方程。介绍了如何利用Simulink建立倒立摆系统模型，特别是利用Mask封装功能，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。进行倒立单摆系统的控制器设计与仿真。通过MATLAB的Simulink 实现倒立摆模糊控制系统的仿真。

关键词：倒立单摆模糊控制 Simulink仿真 MATLAB

1、背景分析

1.1 倒立摆系统的意义

倒立摆系统是一个复杂的非线性系统。形式上倒立摆系统可以分为直线型、环型和平面型,按照摆杆的数量可以分为一级、二级、三级倒立摆系统。

倒立摆控制是一个经典的控制平衡问题。作为典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，一直是控制理论与应用的热点问题，不但是验证现代控制理论方法的典型实验装置，而且其控制方法和思路对处理一般工业过程亦有广泛的用途，因此倒立摆系统的研究具有重要的理论研究和实际应用价值。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆系统直观的表现出来。倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它视为研究对象。他们不断从研究倒立摆控制方法中发掘出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人学等各种高新科技领域。由于它的行为与火箭以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。

1.2 倒立单摆系统的控制方法

自从倒立摆产生以后，国内外的专家学者就不断对它进行研究，其研究主要集中在下面两个方面：

（1）倒立摆系统的稳定控制的研究

（2）倒立摆系统的自起摆控制研究

这两方面而言，从目前的研究情况来看，大部分研究成果又都集中在第一方面即倒立摆系统的稳定控制的研究。目前，倒立摆的控制方法可分如下几类：

(1)线性理论控制方法

将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统在平衡点附近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望的控制器。这类方法对一、二级的倒立摆(线性化后误差较小、模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线性较强、模型较复杂的多变量系统(三、四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显了。

（2）预测控制和变结构控制方法

由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾使人们意识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解决多变量、非线性系统的必由之路。人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强调实模型的功能而不是结构。变结构控制是一

种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上，仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化的系统上实时实现。

(3)智能控制方法

在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。利用神经网络的自适应能力、并行处理和高度鲁棒性，采用神经网络方法设计的控制系统将具有更快的速度、更强的适应能力和更强的鲁棒性。

2、倒立单摆的建模

系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一

系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用

数学手段建立起系统的输入和输出之间的关系。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可以将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2—1所示。

各参数符号含义如下：

M 小车质量 单位：Kg ；

m 摆杆质量 单位：kg

b 小车摩擦系数 单位：N/m/sec

1摆杆转动轴心到杆质心的长度 单位：m

I 摆杆惯量 单位：kg

F 加在小车上的力 单位：N

x 小车位置单位：kg

ψ摆杆与垂直向上方向的央角（ψ=θ-Π） 单位：rad

θ摆杆与垂直向下方向的央角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 单位：rad

图2—2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和助小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。矢量定义如图2-2所示，图示方向为矢量正方向。

倒立摆的数学模型分析：

根据图2-2所示的倒立摆系统简图，设计和分析其模糊控制器。下面给出了该系统的微分方程（Kailaith ，1980；Craig ，1986）

()()()t u m dt d ml +=+-τθθsin lg 222 （1）

这里m 是摆杆的质量，l 是摆长，θ是从垂直方向上的顺时针偏转角，τ=u （t ）为作用于杆的逆时针扭矩【u （t ）是控制作用】,t 是时间，g 是重力加速度常数。

假设dt d x x θθ==21,为状态变量，有等式（1）给出的非线性系统的的状态空间表达式为 21x dt x d =

()()()()t u ml x l g dt x d 2121sin -=

众所周知，当偏转角θ很小时，有sin （θ）=θ，这里所测得θ用弧度表示。