大学物理第六章-机械振动

t 0.83s
※ 几种常见的简谐振动
(1) 单摆 重物所受合外力矩：
M mgl sin 3 5 sin 3! 5! 很小时(小于 5 )，可取 M mgl sin 2
l

O
T
mg
d M mgl g 据转动定律，得到 2 2 dt J ml l 2 2 d g l 令 , 有 2 0 2 dt
简谐振动的特征及其表达式
O
X
F
X
O
F
O
回复力：作简谐运 动的质点所受的沿 位移方向的合外力, 该力与位移成正比 且反向。
X
F kx
F kx F k 据牛顿第二定律，得 a x, m m 2 k 2 d x 2 令 a x 2 m dt
简谐振动的动力学特征:
因该时刻速度为负，应舍去 4 3， 设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是 3 2
t 2 3 3 2
t t 2 t1 0.83s
t 2 1.83s
因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间： 另解：从t1时刻到t2时刻所对应的相差为：
3 2 2 3 5 6
船在竖直方向作简谐振动。
几种常见的简谐振动
其角频率和周期为:
f ySg
m T 2 gS
得:

Sg
m
2
因
m Sh,
h T 2 g
6.4 简谐振子的能量
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。
1 1 2 2 2 2 动能 E K mv m A sin (t 0 ) 2 2 势能 E P 1 kx 2 1 kA2 cos 2 (t 0 ) 2 2 系统总的机械能： E E K E P E EK EP 1 1 2 2 2 2 m A sin (t 0 ) kA cos 2 (t 0 ) 2 2 2 1 2 考虑到 k m ，系统总能量为 E kA ，表明
x
在
x 轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
简谐振动的矢量图示法
A 的长度 A 旋转的角速度
振幅A
ω
A
M
振动圆频率

O
t 0
x
P
X
逆时针方向 A 旋转的方向 振动相位 A 与参考方向x 的夹角
M 点在 x 轴上投影(P点)的运动规律：
x A cos(t 0 )
简谐振动的矢量图示法
相位差：表示两个相位之差 . 1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间。 (t2 ) (t1 )
t t 2 t1

x
A
A2

a
b
π 3
tb
o
A
v
t
A
0
A ta A
2

x
π 3 1 t T T 2π 6
A2

A1
2
O
1
X
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
讨论: (a)当
x
2k 时,称两个振动为同相；
0 同步
o
(b)当
t
A2 A1

X
O
x
(2k 1) 时,称两个振动为反相； π 反相 A1
t
A2
o
O
X
简谐振动的振幅、周期、频Biblioteka Baidu和相位
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它 们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1 )
二者的相位差为：
x 2 A2 cos(t 2 )
t 2 t 1 2 1
采用旋转矢量直观表示为：
A x
2 0
v

2 0 2
v0 0 arctan x 0
在 到 之间，通常 0 存在两个值，可根据
v0 A sin 0
进行取舍。
讨论
已知 t
0, x 0, v 0 求
x0 A cos0 v0 A sin 0
例 6-1 一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅 A=0.12m, 周期 T=2s 。当 t=0 时 , 物体的位移 x=0.06m, 且向 X轴正向运动。求 :(1) 简谐振动 表达式； (2) t =T/4 时物体的位置、速度和加速度； (3) 物体从 x =-0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。
6.3 简谐振动的矢量表示法

t
当t 0 时 t 时
o
t
A A
x0
以o为 原点旋转矢
量 A的端点
在 x 轴上的
x
投影点的运
动为简谐运 动.
x0A A cos x cos( t )

t t 时
A
以 o为
原点旋转矢
t
量 A的端点
o
x A cos(t )
在t =T/4=0.5s时，从前面所列的表达式可得
x 0.12 cos( 0.5 3)m 0.104m
v 0.12 sin( 0.5 3)m s 0.18m s
1
2 2
1
2
a 0.12 cos( 0.5 3)m s 1.03m s
(3)物体从 x =简谐振动的矢量图示法 - 0.06m向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。
当x = -0.06m时，该时刻设为t1,得 x 0.12 cos(t 3) m
cos(t1 3) 1 2 t1 3 2 3 , 4 3
t1 1s
解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：
x A cos(t )
其中A=0.12m, T=2s, 2 T (s ) 初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得
1
0.12 cos0 0.06 0 3 据初始条件 v0 A sin 0 0, 得 0 3 x 0.12 cos(t 3) m
2 T 2
对于弹簧振子，因有
1 T 2

2
k m，得: 1 k m T 2 m k , 2
利用上述关系式，得谐振动表达式： x
x A cos2t T 0 x A cos2t 0
A cos(t 0 )
v

2 0 2
由初始条件确定
(2)周期和频率 周期：物体作一次完全运动所经历的时间。
x A cos(t 0 ) A cos[ (T t ) 0 ]
T
2

频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。
1 T 2
T 角频率: 物体在 2 秒内所作的完全运动的次数。
例6-2 一质量为 m 的平底船，其平均水平截面积为 S，吃水深度 为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。
解: 船静止时浮力与重力平衡，
O
P
y
P 在任一位置时船 的位移用y 表示。
y
hSg mg
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y ) Sg mg ySg
(c)当
0 时,称第二个振动超前第一个振动 ；
超前
为其它
落后
A2

A1
x
o
(d)当
2
t
O
1
X
0 时,称第二个振动落后第一个振动 。
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对 于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:
dx v A sin t 0 dt
加速度
d x 2 a 2 A cost 0 dt
2
简谐振动的特征及其表达式
简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系 :
x A cost 0
v A sin t 0
x
2
几种常见的简谐振动
d 2 0 2 dt
2
g l
2
转角 的表达式可写为：
m cos(t 0 )
T 2 2 g l
(2) 复摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。 刚体的质心为 C, 对过 O 点的 O 转轴的转动惯量为J, O、C 两点间 距离的距离为l。 所受合外力矩：
M mgl sin
C
mg
几种常见的简谐振动
d 据转动定律，得 J mgl sin 2 dt 2 d 若 角度较小时 J 2 mgl dt 2 d mgl 2 2 0 令 2 dt J
2
J T 2 mgl
2
几种常见的简谐振动
v vm sint 0 vm cost 0 2
x A cos(t 0 )
a am cost 0 am cost 0
速度的相位比位移的相位超前 2 ，加速度的相 位比位移的相位超前 。
简谐振动的矢量图示法
0 A cos
π 2 v0 A sin 0
v
x
π sin 0 取 2 π x A cos( t ) 2
A
x
T 2
o
T
o
A
t
6.2 简谐振动的振幅、周期和相位
(1)振幅: 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。
A x
2 0
d x 2 或 x 0 2 dt x A cost 0 位移 x 之解可写为：
或
2
运动学特征
x Ae
i(t 0 )
简谐振动的特征及其表达式
x A cost 0
简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。 速度
简谐振动的矢量图示法
x 0.12 cos(t 3) m
(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度；
dx 1 m s v 0.12 sin( t 3) dt dv 2 2 m s a 0.12 cos(t 3) dt
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(3)相位和初相
x A cos( t 0 ) v A sin(t 0 ) 2 a A cos(t 0 )
1） t
( x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态； 相差 2nπ (n 为整数 )质点运动状态全同.（周期性） 初相位0 ：t =0 时的相位。描述质点初始时刻的运动状态. 相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
y vm
t
0
an
π t 2
A
vm A
v a

x
am A
2
x A cos(t )
π v A cos( t ) 2
a A cos(t )
2
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
图
讨论 用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。
第六章 机械振动
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 机械振动 物体在某一中心位置附近来回往复的运 最简单、最基本的振动.
动.
简谐运动 简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或 角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。 简谐运动
合成
分解
复杂振动
§6-1 简谐振动
1.弹簧振子
弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一 个不发生形变的物体系统。
4
t
A cos t 0 2
2
v
t
a a A cost 0 2 A cost 0
t
x A cost 0 v Asint 0 常量 A 和 0 的确定 t 0 时， x x0 , v v0 ，得 根据初始条件： x0 A cos0 v0 A sin 0