系统的动量定理问题

系统的动量定理问题

四川 黄昭金

课本中关于动量定理的表述是：“物体所受合力的冲量等于物体的动量变化”。其研究对象是单个物体（或者是速度相同多个物体组成的整体），而现实生活中常遇到的多属于两个以上物体相关且运动状态各异的问题。如果对每个物体逐一研究，会非常麻烦，其实只要将关于系统的动量定理应用于所研究的系统，在条件许可的情况下，求解的效率会大大提高。

一、系统动量定理的表述

系统所受外力的总冲量等于系统总动量的变化。

若将系统受到的所有外力，系统内每一个物体的速度沿正交的两个方向（x 轴和y 轴）分解，则系统动量定理的数学表达式可写为：

,

v m v m I I ,

v m v m I I y 22y 11y 2y 1x 22x 11x 2x 1

对于不须求解系统内部各物体间作用力的问题，采用系统动量定理求解将会使求解简单，过程明确。

二、系统动量定理的应用

1. 求解物体的运动速度

例1. 用线将金属块M 和木块m 连在一起浸入水中，如图（1）所示，开始时，m 的上表面正好和水面相平，从静止释放后，系统以加速度a 加速下沉，经1t 秒线断了，又经2t 秒木块又回到初始位置，且具有向上的速度m v ，求此时金属块M 的速度M v

图（1）

解析：将木块与金属块作为研究的系统，绳断前，这一系统所受重力与浮力的合力为（m+M ）a ；绳断后，由于木块未浮出水面，金属块未沉入水底，故系统所受合外力不变，变化的是两者通过绳子相互作用的拉力即内力，因此可用系统的动量定理求解。

取竖直向下为正方向，在)t t (21 这段时间内对系统应用动量定理得：

m M 21mv Mv )t t (a )M m ( 得M mv t t a M m v m M )()(21

2. 求解物体的运动时间

例2. 如图（2）所示，物体A 、B 相距，现A 以s /m 10v A 的初速度向静止的物体B 运动，物体A 与B 发生正碰后仍沿原来的方向运动。已知物体A 在碰撞前后共运行6s 后停止运动。求碰撞后B 运动的时间（已知B A m 2m ，物体A 、B 与地面的动摩擦因数均为2s /m 10g ,1.0 ）。

图（2）

解析：若分别对A 、B 进行研究，则A 物体先匀减速，与B 碰撞，再匀减速到停止共经历三个过程；B 物体则先与A 碰撞，再匀减速，经历两个过程，要逐一求解，所列方程很多，运算麻烦。

现在以A 、B 组成的系统为研究对象，从A 开始运动到A 、B 均停止运动这一过程来看，系统在水平方向受到的外力就是摩擦力，碰撞中物体A 、B 间的相互作用是内力，可用系统动量定理求解。

取运动方向为正方向，设物体A 、B 运动的时间分别为A t 和B t ，则由系统动量定理得： A A B B A A v m 0gt m gt m

代入数据得B 的运动时间为：

s 8g m gt m v m t B A A A A B

3. 求解系统所受外力的冲量

例3. 如图（3）所示，有一半径为R 的半圆形槽放在光滑水平地面上，一侧紧靠在光滑墙壁上，在槽口有一质量为m 的小球由A 点从静止释放，沿光滑槽面滑下，经最低点B 后又沿槽面上升到最高点C ，整个过程经历时间t ，B 、C 两点的高度差为。求在时间t 内墙壁对槽的冲量及地面对槽的冲量。

图（3）

解析：小球从A 点运动到B 点过程中槽静止不动，墙对槽有水平弹力。小球从B 点运动到C 点过程中，槽与墙分离，当小球到达最高点C 时，槽与小球具有相同的水平速度（小球竖直方向的速度为0）。

取槽与小球为系统，它们在水平方向受到的外力就是墙对槽的弹力，竖直方向的外力是地面的支持力与重力，小球与槽的相互作用是内力。

设槽的质量为M ，小球到达B 点的速度为B v ，则由系统的动量定理，

水平方向有：B mv I 墙 ①

竖直方向有：0gt )M m (I 地

② 对小球从点A 运动到点B 的过程应用机械能守恒定律得：

2B mv 21mgR ③

小球从B 点到C 点过程对系统应用机械能守恒定律得： R 6.0mg v )M m (21mv 212C 2B

④ 小球从B 点到C 点过程对系统应用动量守恒定律得：C B v )M m (mv ⑤

由③④⑤式解得：m 5.1M ,gR 2v B 代入①②得：mgt 5.2I ,gR 2m I 地墙

从以上各例可以看出，利用系统的动量定理可以帮助我们解决复杂问题，简化解题程序，进一步提高综合能力，请同学们注意掌握这种方法。