2.4+常见的连续型分布

)
标准正态分布 ( x)的查表方法：
(1)当0 x 3.9时， ( x)的值可直接查表；
(2)当x 3.9时，可取 ( x) 1；
(3)当x 0时，可利用公式 ( x) 1 ( x)来计算.
例1：设X~ N (0,1)
求（ 1 ）P( X 1.96); (2) P( X 1.96); (3) P(1.03 X 2.25); (4) P( X 1.96); (5) P( X 5.9).
1 1 x 1000 e , x 0, 又因为X~ f ( x) 1000 0, x 0.
p=P{一个元件使用1000小时后损坏} =P{X≤1000}


1000

f ( x)dx

1000
0
1 e 1000

1 x 1000 dx
e

1 x 1000 |1000 0
即尽管正态随机变量 X的取值范围是（ ， ），但它的值几乎 全部集中在区间（ 3， 3）内，超出这个范围的 可能性仅 占不到0.3%。这在统计学上称为 3准则。
x

)
) (
a

)

求（ 1 ）P( X 5); (2) P(0 X 1.6); (3) P( X 2.3).
例 3: 设 X~ N (50,100) ,计算 P( X 50 10) .
解
P( X 50 10) P(40 X 60)
F (60) F (40)
查表得 从而
x1 40 0.13 6
x1 0.13 6 40 39.22
例 5:设 X~ N (40,36) ,求 x2 ,使 P( X
x2 ) 0.14.
解 由 P( X x2 ) 1 P( X x2 )
1 F ( x2 )
x2 40 1 ( ) 0.14 6 x 2 40 ) 0.86 知 （ 6 查表得 x2 40 1.08 6
解: 设Y：3个元件中使用1000小时损坏的元件数
由于各元件的寿命是否超过1000小时损坏是独立的， 则这是一个3重伯努利概型。
即，Y~ b(3, p) 其中，p=P{一个元件使用1000小时后损坏} 则所求概率P{3个元件使用1000小时后都没有损坏}
0 0 =P{Y=0} C3 p (1 p)3
解 P ( X x1 ) F ( x1 ) (
x1 40 ) 0.45 6
x1 40 0 6
由于 (0) 0.5 , 0.45 0.5 及分布函数的单调性知
x1 40 x1 40 所以 ( ) 1 0.45 0.55 ) 1 ( 6 6
( 60 50 40 50 ) ( ) 10 10
(1) (1) (1) [1 (1)]
2(1) 1
2 0.8413 1 0.6826
例 4:设 X~ N (40,36) ,求 x1 ,使 P( X x1 ) 0.45 .
1 e 1
则所求概率P{3个元件使用1000小时后都没有损坏}
0 0 =P{Y=0} C3 p (1 p)3
0 C3 (1 e 1 )0 (e 1 )3 e 3
3.正态分布
(1)概念
如果随机变量 X 的概率密度为
f ( x) 1 2 e
( x )2 2 2
1 2

e

t2 2
dt
(4)一般正态分布与标准正态分布的关系
设X~ N ( , 2 ), 则分布函数
F ( x)
s t
1 2
1

x
(t ) 2 2 2

e
dt


(
x
2
x


s2 e 2
ds

2
) x
因此，若X~ N ( , ), 则 P( X x) F ( x) (

1
0.5
3e
3 x
dx e
3 x
2
1 0.5
e 1.5 e 3
（2）P( X 2) 3e
3 x
dx e
3 x
e 6
1 例3:某元件寿命X服从参数 1000的指数分布，求3个这样的 元件使用 1000 小时后，都没有损坏的 概率是多少？
一般正态分布概率的计算
若X~ N ( , 2 ), 则
(1) P( X x) F ( x) (
x

)
b
(2) P(a X b) F (b) F (a) ( (3) P( X x) 1 F ( x) 1 (
例2：设X~ N (1,4)
例 2: 设某种电子元件的寿命 X(以年记)服从参数λ =3 的指数分布,求 (1) 寿命在 0.5 年和 1 年之间的概率; (2) 寿命超过 2 年的概率;
解
3e 3 x , x 0, f ( x) x 0. 0,

（1） P(0.5 X 1)
2
1) 2)
X
(2) (2) 2 (2) 1 0.9544 X (3) P( 3 X 3 ) P(3 3) (3) (3) 2 (3) 1 0.9974

3 2 2 3 68.26% 95.44% 99.74%
二、常见的连续型分布
1. 均匀分布
设连续型随机变量 X 具有密度函数
1 ， a x b f ( x) b a 0， 其他
则称 X 服从 （a,b） 上的均匀分布,记 X~U （a,b） .
f(x) 1/(b-a)
a
b
x
X~U(a,b)时,分布函数为
F ( x) x a 0dt， 1 0dt b a dt， a x b 1 0dt b a dt 0dt， x b
1 e x， x 0 F ( x) 0， x 0
例1:设随机变量X具有概率密度
Ke 3 x , x 0, f ( x) x 0. 0,
试确定常数K,并求P{X>0.1}.
解 由于
即有 1


Ke 3 x , x 0 f ( x) x0 0,
2. 指数分布
如果随机变量 X 具有密度函数
e x， x 0 f ( x) 0， x 0
则称随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布，其 中λ >0 为某一常数.
指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的 寿命,随机服务系统的服务时间等都服从指数分布. 指数分布的分布函数为
a x a a b x a b x
0， x a xa ＝ ， a x b b a 1， x b
均匀分布随机变量 X 的特点是 X 只在某一区间内 取值,且 X 落入该区间中任一相等长度的子区间内 的概率相同,即 X 落入任何子区间的概率仅与该子 区间的长度成正比,而与子区间的位置无关.
事实上,当 [ x, x l ] (a, b) 时,
P( x X x l )

x l
x
1 xl x l dt ba ba ba
与x的取值无关.
例1:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900 欧至1100欧.求R的概率密度及R落在950欧至1050 欧的概率. 解
1 0 x5 X~ f ( x) 5 ， 0， 其他
p=P{乘客等待时间超过4分钟} =P{0<X<1}
1 f ( x)dx dx 0.2 0 05 5

1

11
则所求概率P{10位乘客中只有一位等待时间超过4分钟}
1 1 9 C p ( 1 p ) =P{Y=1} 10 1 C10 0.210.89 0.268
R的概率密度为
1 ,900 x 1100 f ( x) 1100 900 0, 其他
故有
P{950 R 1050 }

1050
950
1 dx 0.5 200
例2:设某市公交车站上，某路公共汽车每隔5分钟有一辆车 到达，而乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，计算在 车站候车的10位乘客中只有一位等待时间超过4分钟的概率.
1 P{ X x0 } 0.01 P{ X x0 } 0.99 x 170 ( 0 ) F ( x0 ) 0.99 6 x0 170 即 ( ) 0.99 6 x0 170 2.33 6
x0 183.98
即车门的高度超过183.98时碰头的几率小于0.01
2. 2 称为方差（称为均方差或标准差），它确定了 曲线的陡峭程度；
3．当 0,
1 ,即
X~ N (0,1) 时,称 X 服从标准正态分
1 2
x2 2
布.标准正态分布的专用符号: 密度函数 分布函数
( x)
e , x
x
( x) P( X x)
, x
其中 , (
0) 为常数,则称
X 服从参数为 , 的正
态分布,记为 X~ N (, 2 )
(2)分布函数
F ( x) e 2

1
x
(t ) 2 2 2
dt, x
(3)图形及其特征
x
1.称为期望或均值，f ( x)关于x 对称且在x 处 1 取得最大值 ,因此，确定了曲线的位置； 2
从而 x2 1.08 6 40 46.48
例6：设某城市男子身高（单位：厘米）X~ N(170,36)，问 应如何选择公共汽车车门的高度以使男子与车门碰头的几 率小于0.01. 解： 设公共汽车车门的高度为 x0 则事件“男子与车门碰头”即为 { X x0 } 则有 P{ X x0 } 0.01

f ( x)dx


0
Ke
3 x
3e 3 x , x 0, 解得K=3.于是X的概率密度为 f ( x) x 0. 0,
P{X 0.1}
1 3x 1 dx Ke |0 K 3 3


0.1
f ( x)dx


0.1
3e 3x dx 0.7408
3准则（3倍标准差原则）
设X~ N ( , 2 ), 则
பைடு நூலகம்
(1) P( X ) P(1
X
(1) (1) 2 (1) 1 0.6826
(2) P( 2 X 2 ) P(2


解: 设Y：10位乘客中等待时间超过4分钟的人数， 由于每人到达时间相互独立，所以这是一个10重 伯努利概型。
即，Y~ b(10, p) 其中，p=P{乘客等待时间超过4分钟} 则所求概率P{10位乘客中只有一位等待时间超过4分钟}
1 1 9 C p ( 1 p ) =P{Y=1} 10
又设X：乘客到达车站的时间，则