专题二、分式及其运算

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第二章 分式及其运算

第一节 分式的概念与基本运算

一、知识点总结 1．分式的概念及意义:

2．分式的基本性质：

3．最简分式(既约分式)及约分的概念:

4．分式约分的主要步骤及理论根据：

二、典型例题：

例1．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）b 21； （2）4

5

-+x x ； （3）)(51n m +； （4）y x 8581-；

（5）b a b a +-22； （6）π100x ； （7）π

83

； （8）0.3732a x y ++； （9）)3(56-x y

例2．（1）当x 时，分式

4

21

-x 有意义。 （2）已知分式

14

2

--x x 的值是零，那么x 的值是（ ）。 （3）使分式31

x

x -+的值为正的条件是（ ）

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A ．13-<0x <

B ．13x >-

C ．1

3x <- D ．0x >

例3. 化简。

)910109(231x y y x y x ∙÷- x

x x 2

2

81616-+--

)

()(2

2

3

42613m n m n m m

-- ⎪⎭

⎫

⎝⎛÷⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x yz z x x z y y 4

22

22

1

44211222

-+-∙--++-m m m m m m

例4． 先化简再求值。

（1）2

22693q pq p pq p +--，其中5.2=p ，21

-=q

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（2）)34)(168()86)(45(2

222+-+-+-+-x x x x x x x x ，其中2-=x

（3）先化简代数式：221

21111

x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．

大显身手： 一、化简。

2

222223223y

x y

x y x y x y x y x --+-+--+ )222(422-+-+÷-+m m m m m

1123

----x x x x ()()

()2

33532221x y x y x y ---⎡⎤

+⎣⎦÷⎡⎤⎡⎤

--⎣⎦⎢⎥⎣⎦

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二、先化简再求值。

1. ()()

2

2

3

2

32

2

24322111x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫--+⎛⎫⎢

⎥÷∙ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭

++-++⎝⎭

⎢⎥⎣

⎦

，其中23x =-。

三、提高训练：

1. 若分式4

3

2-+x x 有意义，且032)2(22=++--y x x ，求x y 的值

2.已知x

1

＋y 1 = 8，求y xy x y xy x +++-2232的值。

3.计算

)

1999x )(1998x (1

.....)3x )(2x (1)2x )(1x (1)1x (x 1+++++++++++,

并求当x=1时,该代数式的值.

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4.如果分式2

1)2)(1(13-+

-=---x B

x A x x x ，则A ＝（ ），B ＝（ ）。

5.化简分式：3

5

822

5

432

5

1

2

322

2

2

2

-+-+

----

+---

+++x x x x x x x x x x x

x

第二节 分式方程

【知识要点】

1．分式方程（fractional equation）与整式方程的区别主要在于分母里含有未知数。

2．解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程。转化的常用方法是去分母法，在去分母过程中，若转化得到的整式方程的根恰使去分母时乘的整式的值为零，则这个整式方程的根是原方程的增根，即：

3．解分式方程的步骤与解一元一次方程的步骤类似，最后必须要验根，即将转化得到的整式方程的根代入最简公分母，看其结果是否为零，其中使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去。

4．列分式方程解应用题与整式方程解应用题一样，关键是找出问题中的等量关系，要特别注意的问题就是列公式方程解应用题要检验——既要检验运算结果是否是所列方程的根，还要检验是否符合题意。

【经典例题】

例1 解方程

（1）

2

1

33

x

x x

-=

+-

（2）

1

2

33

x x

x x

-

-=

+-

例2 解方程

（1）

51

7

66

x

x x

-

+=

--

（2）

2

141

111

x x

x x x

-+

+=

+--

课堂练习：分式方程

去分母整式方程求解根

检验

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