微分方程数值解法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
对许多实际问题来说，欧拉公式与改进欧拉 公式精度还不能满足要求，为此从另一个角度来分 析这两个公式的特点，从而探索一条构造高精度方 法的途径.
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
改进欧拉法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
的方法称为微分方程的数值解法。 称为微分方程的数值解。
称节点间距
为步长，
通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3、相关定义
记
称
在区域D上对 满足Lipschitz条件是指
:
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
4、 迭代格式的构造
(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组 加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数值 方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法（ 数值积分）、有限元法（函数插值）等等。 (2) 一般构造方法：
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 Step 2: 再将 y n+1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
中点欧拉公式 /* midpoint formula */
中心差商近似导数
x0
x1
x2
假设
, 则可以导出
即中点公式具有 2 阶精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单 稳定性最好 精度提高
精度提高, 显式
精度低 精度低, 计算量大
离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 按节点从左至右的顺序依次求出 的近似
值
,取 。
如果计算 ，只用到前一步的值 ，则称这类方 法为单步方法。
如果计算 需用到前r步的值 , ,则称这类方法为r步方法。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
§6.2 Euler方法 1、Euler格式
第一步：连续变量离散化 第二步：用直线步进
离散点函数值集合 + 线性组合结构 → 近似公式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
5、微分方程的数值解法需要解决的主要问题
(1) 如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？ (2) 如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？ (3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性 ?
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
微分方程数值解法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月13日星期一
§6.1 引 言
微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。
1
0
1
1
x0
x1
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接 得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者 称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个初值问题的准确解为
，
可用来检验近似解的准确程度。 从上表最后一列，我们看到取步长
进行计算，数值解已达到了一定的精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3、 欧拉公式的改进： 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
向后差商近似导数
y( x ) y + h f ( x , y( x ))
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
三阶龙格-库塔方法
三阶龙格-库塔方法是用三个值 k1, k2, k3 的线性组合
要使三阶龙格-库塔方法具有三阶精度，必须使其局部截 断误差为 O(h4)
将 k1, k2, k3 代入 yn+1 的表达式中，在 (xn, yn) 处用二元泰 勒公式展开，与 y(xn+1) 在 xn 处的泰勒展开式比较
附注：
➢ 二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
➢ 三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
➢ 四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
➢ 五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
附注： 龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值，即计 算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达 到的最高精度阶数的关系：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2、欧拉法的局部截断误差
在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提 下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断 误差 /* local truncation error */。
若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索欧拉Leabharlann 的局部截断误差：Ri 的主项
/* leading term */
欧拉法具有 1 阶精度 。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例1: 用欧拉公式求解初值问题
取步长
。
解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：
其中
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
。 计算结果列于下表：
每步须算Ki 的个数 2
3
4
5
6
7
可达到的最高精度
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精 度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不 太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
应用改进欧拉法,如果序列 它的极限便满足方程
收敛,
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
因此，改进欧拉法公式具有 2 阶精度
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例1: 用欧拉公式求解初值问题 例2: 用改进Euler公式求解例1中的初值问题，
取步长 。 解：对此初值问题采用改进Euler公式，
其具体形式为
·····
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
Euler格式
18世纪最杰出的数学家之一，13岁 时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业， 16岁获得硕士学位。 1727年-1741年（20岁-34岁）在 彼得堡科学院从事研究工作，在分析 学、数论、力学方面均有出色成就， 并应俄国政府要求，解决了不少地图 学、造船业等实际问题。 24岁晋升物理学教授。 1735年（28岁）右眼失明。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
• 类似二阶龙格-库塔方法的推导过程，8 个待定 系数 c1, c2, c3, a2, a3, b21, b31, b32 应满足：
8 个未知参数，6 个 方程，有无穷多组解 三阶龙格库塔公式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
四阶Runge-Kutta方法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一、初值问题的数值解法
1、常微分方程与解
如果函数
在区间[a,b]内n阶可导，称方程
为n阶常微分方程。
满足方程的函数
称为微分方程的解。
如
则
为任意常数）
为方程的解 一般称为方程的通解。
。如果
则有
为方程满足定解条件的解。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
解的图示
方程的通解
注:此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */
可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它 是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程 简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法 。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合， 计算公式为
二、初值问题解的存在唯一性
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem
*/:
只要 在
上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 无关的常数 L 使
对任意定义在 上的 则上述IVP存在唯一解。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
都成立，
三、初值问题的离散化方法
2、数值解的思想 （1）将连续变量
离散为
（2）用代数的方法求出解函数
工程师关注
数学界关注
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
如果找不到解函数 数学界还关注： 解的存在性 解在的唯点一的性近似值 解的光滑性 解*的振动性 解的周期性 解的稳定性 解的混沌性 ……
所谓数值解法：
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
梯形公式 /*trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
注：梯形公式的局部截断误差
，
即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。
但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到
迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。
计算结果列于下表：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
改进的Euler法 Euler法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法 的计算精度比Euler方法要高。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
欧拉法误差概述
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
6.3 龙格—库塔方法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1741年 - 1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所 长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人 口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作 。 1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失 明。 Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速 度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成 果74卷。
微分关系（方程）
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
满足定解条件的解
本教材重点讨论定解问题(初值问题）
定解条件（初始条件） 是否能够找到定解问题的解取决于 仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分 离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大 部分方程至今无法理论求解。 如
等等
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
改进欧拉法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
的方法称为微分方程的数值解法。 称为微分方程的数值解。
称节点间距
为步长，
通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3、相关定义
记
称
在区域D上对 满足Lipschitz条件是指
:
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
4、 迭代格式的构造
(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程组 加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数值 方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法（ 数值积分）、有限元法（函数插值）等等。 (2) 一般构造方法：
计算量大
多一个初值, 可能影响精度
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 Step 2: 再将 y n+1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
中点欧拉公式 /* midpoint formula */
中心差商近似导数
x0
x1
x2
假设
, 则可以导出
即中点公式具有 2 阶精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单 稳定性最好 精度提高
精度提高, 显式
精度低 精度低, 计算量大
离散化方法的基本特点是依照某一递推公式， 按节点从左至右的顺序依次求出 的近似
值
,取 。
如果计算 ，只用到前一步的值 ，则称这类方 法为单步方法。
如果计算 需用到前r步的值 , ,则称这类方法为r步方法。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
§6.2 Euler方法 1、Euler格式
第一步：连续变量离散化 第二步：用直线步进
离散点函数值集合 + 线性组合结构 → 近似公式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
5、微分方程的数值解法需要解决的主要问题
(1) 如何将微分方程离散化，并建立求其数值解的迭代公式？ (2) 如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？ (3) 如何保证迭代公式的稳定性与收敛性 ?
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
微分方程数值解法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2020年4月13日星期一
§6.1 引 言
微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分 方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象，其数学表达式 可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题 也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采 用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微 分方程。许多著名的数学家，如 Bernoulli（家族），Euler、 Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要 的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的 求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常 微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解 的若干方法。
1
0
1
1
x0
x1
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接 得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者 称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
这个初值问题的准确解为
，
可用来检验近似解的准确程度。 从上表最后一列，我们看到取步长
进行计算，数值解已达到了一定的精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
3、 欧拉公式的改进： 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
向后差商近似导数
y( x ) y + h f ( x , y( x ))
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
三阶龙格-库塔方法
三阶龙格-库塔方法是用三个值 k1, k2, k3 的线性组合
要使三阶龙格-库塔方法具有三阶精度，必须使其局部截 断误差为 O(h4)
将 k1, k2, k3 代入 yn+1 的表达式中，在 (xn, yn) 处用二元泰 勒公式展开，与 y(xn+1) 在 xn 处的泰勒展开式比较
附注：
➢ 二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
➢ 三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
➢ 四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
➢ 五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
附注： 龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值，即计 算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达 到的最高精度阶数的关系：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
2、欧拉法的局部截断误差
在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提 下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断 误差 /* local truncation error */。
若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索欧拉Leabharlann 的局部截断误差：Ri 的主项
/* leading term */
欧拉法具有 1 阶精度 。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例1: 用欧拉公式求解初值问题
取步长
。
解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：
其中
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
。 计算结果列于下表：
每步须算Ki 的个数 2
3
4
5
6
7
可达到的最高精度
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精 度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不 太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
应用改进欧拉法,如果序列 它的极限便满足方程
收敛,
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
因此，改进欧拉法公式具有 2 阶精度
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
例1: 用欧拉公式求解初值问题 例2: 用改进Euler公式求解例1中的初值问题，
取步长 。 解：对此初值问题采用改进Euler公式，
其具体形式为
·····
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
Euler格式
18世纪最杰出的数学家之一，13岁 时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业， 16岁获得硕士学位。 1727年-1741年（20岁-34岁）在 彼得堡科学院从事研究工作，在分析 学、数论、力学方面均有出色成就， 并应俄国政府要求，解决了不少地图 学、造船业等实际问题。 24岁晋升物理学教授。 1735年（28岁）右眼失明。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
• 类似二阶龙格-库塔方法的推导过程，8 个待定 系数 c1, c2, c3, a2, a3, b21, b31, b32 应满足：
8 个未知参数，6 个 方程，有无穷多组解 三阶龙格库塔公式
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
四阶Runge-Kutta方法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
一、初值问题的数值解法
1、常微分方程与解
如果函数
在区间[a,b]内n阶可导，称方程
为n阶常微分方程。
满足方程的函数
称为微分方程的解。
如
则
为任意常数）
为方程的解 一般称为方程的通解。
。如果
则有
为方程满足定解条件的解。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
解的图示
方程的通解
注:此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */
可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它 是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程 简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法 。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合， 计算公式为
二、初值问题解的存在唯一性
考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem
*/:
只要 在
上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 无关的常数 L 使
对任意定义在 上的 则上述IVP存在唯一解。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
都成立，
三、初值问题的离散化方法
2、数值解的思想 （1）将连续变量
离散为
（2）用代数的方法求出解函数
工程师关注
数学界关注
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
如果找不到解函数 数学界还关注： 解的存在性 解在的唯点一的性近似值 解的光滑性 解*的振动性 解的周期性 解的稳定性 解的混沌性 ……
所谓数值解法：
求函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
梯形公式 /*trapezoid formula */
— 显、隐式两种算法的平均
注：梯形公式的局部截断误差
，
即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。
但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到
迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。
计算结果列于下表：
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
改进的Euler法 Euler法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法 的计算精度比Euler方法要高。
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
欧拉法误差概述
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
6.3 龙格—库塔方法
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
1741年 - 1766（34岁-59岁）任德国科学院物理数学所所 长，任职25年。在行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人 口学、微分方程、曲面微分几何等研究领域均有开创性的工作 。 1766年应沙皇礼聘重回彼得堡，在1771年（64岁）左眼失 明。 Euler是数学史上最多产的数学家，平均以每年800页的速 度写出创造性论文。他去世后，人们用35年整理出他的研究成 果74卷。
微分关系（方程）
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索
满足定解条件的解
本教材重点讨论定解问题(初值问题）
定解条件（初始条件） 是否能够找到定解问题的解取决于 仅有极少数的方程可以通过“常数变易法”、“可分 离变量法”等特殊方法求得初等函数形式的解，绝大 部分方程至今无法理论求解。 如
等等
路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索