二次曲面的分类

X = X′
再令 :
Y= Y ′ Z = - a′ ′ 34 Z ( 9)
X2 Y2 Z2 仿上 ( 6) 式可化为 : 2 + 2 + 2 = - 1 ( 虚椭球面) a b c S S S 2 2 2 其中 a = , b = , c = a′ a′ a′ 11 22 33 ( 3) a′ 11 > 0 , a′ 22 > 0 , a′ 33 > 0 , S = 0 x2 y2 z2 仿上 ( 6) 式可化为 : 2 + 2 + 2 = 0 ( 点) a b c 1 1 1 2 2 2 其中 a = , b = , c = a′ a′ a′ 11 22 33 ( 4) a′ 11 , a′ 22 , a′ 33 中两正一负 , S < 0
2 2 ( 8) 式变为 : a′ 11 x + a′ 22 y - 2z = 0
于是又可得到下面两类二次曲面 :
( 1) a′ 11 > 0 , a′ 22 > 0 时 X2 Y2 由 ( 9) 式得 : + = 2Z 1 1 a′ a′ 11 22 1 1 令 a2 = , b2 = a′ a′ 11 22
x2 , …, xn ) 化为标准形的方法并不是唯一的 , 但标准形中
其中 : X =
x2
… … … xn an1 an2 X′ = ( x1 x2 … xn ) 这三种表述都代表同一个二次型 .
A=
… a2n … … … ann
含正项个数与含负项个数是不变的 , 即若还有另一个满秩 线性变换 X = CZ , 也把它化成标准形 :
2 2 2 f ( x1 , x2 , …, xn ) =λ ′ ′ ′ 1 z1 + … +λ qzq - λ q + 1 zq + 1 - … 2 λ ′ r zr
1. 2 惯性定律 : 设实数域 R 上 n 元二次型 ∑aij x \ - ixj 等
i ,j = 1
n
价于两个典范形式 : 2 2 2 y2 1 + …+ yp - yp + 1 - …- yr
X2 Y2 Z2 + 2 - 2 = 0 ( 二次锥面) a2 b c
) = a′ 那么 , 秩 ( A) = ( ∧ ii 中不为零的个数 .
我们把上述满秩线性变换代入二次型 ( 2 ) 得到 ( 3 ) ,若把 满秩线性变换代到二次曲面 ( 1) , 得到二次曲面方程应为 :
2 2 2 a′ + 2a′ + 2a′ + a′ 11 x′ + a′ 22 y′ + a′ 33 z′ + 2a′ 14 x′ 24 y′ 34 z′ 44
那么 p = q ( 证明见文 [ 1 ] ) .
2 二次曲面的分类
二次曲面的一般形式为 :
a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a14 x + 2a24 y + 2a34 z + a44 = 0 a11 x + a22 y2 + a33 z2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz
第 21 卷 第 2 期 2005 年 4 月
赤 峰 学 院 学 报
( 自 然 科 学 版 )
Vol. 21 No. 2 Apr. 2005
Journal of Chifeng College ( Natural Science Edition)
二次曲面的分类
史 秀 英, 李 景 琴
( 赤峰学院继续教育部 , 内蒙古 赤峰 024000)
或任意实二次型 X′ AX , 都可经过满秩线性变换 X = B Y 化为 Y ′ ∧Y 其中 :
x
x′ y′ z′
或 y = t 21
z t 31
・1 ・
把二次型化为标准形 : Φ ( x , y , z) = a′ 11 x′ + a′ 22 y′ + a′ 33 z′
a′ ii 可正可负 , 亦可为零 . 用二次型矩阵表示就是 : a11 a12 a22 a32 x′ a′ 22 a′ 33 a11 a12 a22 a32 a13 a23 a33 y′ z′ a′ 11 a′ 22 a′ 33
2 2 2 2
不妨设 a′ 11 > 0 , a′ 22 > 0 , a′ 33 < 0 ( 至于其它情况 , 不
( 3)
妨把字母一换 , 属同类情况) 那么仿上 ( 6) 式可化为 :
X2 Y2 Z2 + 2 - 2 = 1 ( 单叶双曲面) a2 b c
a13 t 23 t 33
x y = z
Φ ( x , y , z) = ( x , y , z)
X Y2 Z2 = - 1 ( 双叶双曲面) 2 + 2 a b c2
其中 a2 =
S S S , b2 = , c2 = a′ a′ a′ 11 22 33
令 A = a21
a31
∧=
( 6) a′ 11 , a′ 22 , a′ 33 中两正一负 , S = 0
还是设 a′ 11 > 0 , a′ 22 > 0 , a′ 33 < 0 , 同样仿上 ( 6 ) 式可 化为 :
2
( 1) ( 2)
把二次曲面 ( 1) 的所有二次项设为 : Φ ( x , y , z) = 那 ( 2) 就是一个二次型 , 由惯性定律 , 一定存在一个 满秩线性变换 :
x = t 11 x′ + t 12 y′ + t 13 z′ y = t 21 x′ + t 22 y′ + t 23 z′ z = t 31 x′ + t 32 y′ + t 33 z′ t 11 t 12 t 22 t 32 t 13 t 23 t 33
2 2 a′ 11 x + a′ 22 y + T = 0 2 2
若 a′ 0 , a′ 0 , 作满秩线性变换 : 24 ≠ 34 ≠
x′ = x1 y′ = z′ = a′ 24 y1 + 2a′ 24 z1 2 2 2 ( a′ 24 + a′ 34 ) a′ 34 y1 - 2a′ 24 z1 2 2 2 ( a′ 24 + a′ 34 )
x2 = b21 y1 + b22 y2 + …, b2n yn
……………………
xn = bn1 y1 + bn2 y2 + …, bnn yn
化为标准形 ( 即只含平方项) :
2 2 2 2 f ( x1 ,x2 , …,xn ) =λ 1 y1 + …+λ p yp - λ p + 1p p + 1 - …- λ r yr
a′ 11 ( x′ ) , y′ , z′
a21 a31
其中 : a2 = -
S S S , b2 = , c2 = a′ a′ a′ 11 22 33
( 5) a′ 11 , a′ 22 , a′ 33 中两正一负 , S > 0
仍设 a′ 11 > 0 , a′ 22 > 0 , a′ 33 < 0 , 仿上 ( 6 ) 式可化为 :
即有 :
X2 Y2 + = 2Z ( 椭圆抛物面) a2 b2
・2 ・
( 2) a′ 11 > 0 , a′ 22 < 0 时 X Y 仿上 ( 9) 式可化为 : 2 - 2 = 2Z ( 双曲抛物面) a b 1 1 其中 a2 = , b2 = a′ a′ 11 22 再若 ( 7) 式中 a′ 34 = 0 , 这时可把 ( 7 ) 式平移后得 :
2 2 2 z2 1 + …+ zq - zq + 1 - …- zr 那么 p = q. 惯性定律有两层含义 : 第一层是说明典范型存在的问题 , 即任意实二次型 f ( x1 , x2 , …, xn ) 都可经过适当的满秩线性变换 : x1 = b11 y1 + b12 y2 + …, b1n yn
摘 要 : 本文用高等代数中的二次型理论 , 解释解析几何中二次曲面的十七种类型 . 关键词 : 二次曲面 ; 分类 ; 二次型 中图分类号 : O15615 文献标识码 : A
1 二次型的有关结论 1. 1 二次型的表示法 : n 个变量的二次型可写成 : 2 f ( x1 ,x2 , …,xn ) = a11 x2 1 + 2a12 x1 x2 + … + 2a1n x1 xn + a22 x2 + …+ 2a2n x2 xn + …+ ann x2 n = ∑aij xi xj ( 令 aji = aij )
i ,j = 1 n
λ 1 … λ p
-λ p+1
∧=
…
-λ r 0
a11 = ( x1 ,x2 , …,xn ) a21
a12 a22
… a1n … a2n
x1 x2 = X′ AX
… … an1 an2
x1
… … … … ann xn a11 a12 … a1n
a2百度文库 a22
…
0
λ i > 0 (i = 1 , 2 , …, r) , r = 秩 ( A) . 第二层是说明典范型唯一的问题 , 虽然二次型 f ( x1 ,
2 2 2 a′ 11 x + a22 y + a′ 33 z′ + S = 0
( 6)
其中 : S = a′ 44 -
2 2 a′ a′ a′ 14 24 34 - 2 a′ a′ a′ 11 22 33
从而 a′ + 11 ( x′
2 2 a′ a′ 14 24 ) =0 a′ a′ 11 22
若 a′ a′ a′ 11 、 22 、 33 都不等于零 , 配成完全平方得 :
a′ + 11 ( x′ a′ a′ a′ 14 2 24 2 34 2 ) + a′ ) + a′ ) + + + 22 ( y′ 33 ( z′ a′ a′ a′ 11 22 33 ( 5)
2 2 a′ a′ a′ 14 24 34 ( a′ ) =0 44 a′ a ′ a ′ 11 22 33
2 a′ a′ 14 2 14 ) + ( y1 + a′ ) =0 44 a′ a ′ 11 11
( 10) 2 a′ 24
其中 T = a′ 44 -
2 a′ 14
代入 ( 11) 式得 a′ + 11 ( x′
其中 a2 =
1 1 1 , b2 = , c2 = a′ a′ a′ 11 22 33
=0
( 4)
注 : a′ 11 , a′ 22 , a′ 33 中两负一正或三负的情况 , 只要在 二次曲面方程 ( 6) 的两端同乘 ( - 1 ) 就变为前面已讨论 过的情况 .
) = 2 , 即 a′ 2. 2 当秩 ( A) = 秩 ( ∧ 11 , a′ 22 , a′ 33 中有一个为
a′ 11 ( x′+ a′ 44 a′ a′ 14 2 24 2 ) + a′ ) + 2a′ 22 ( y′+ 34 ( z′+ a′ a′ 11 22
可得到六类不同的二次曲面 .
( 1) a′ 11 > 0 , a′ 22 > 0 , a′ 33 > 0 , S < 0 X2 Y2 Z2 由 ( 6) 式得 : + + =1 - S - S - S a′ a′ a′ 11 22 33
a′ a′ 14 2 24 2 ) + a′ ) + 2a′ + + ( a′ 22 (y′ 34 z′ 44 a′ a′ 11 22 ( 7)
下面对 ( 6) 式进行讨论 :
) = 3 , 即 a′ 2. 1 当秩 ( A) = 秩 ( ∧ 11 、a′ 22 、a′ 33 都不为零 ,
若 a′ 0 , 可得 : 34 ≠
2 2 a′ a′ 14 24 ) a′ a′ 11 22 ) =0 2a′ 34
令 : a2 = 有:
S S S , b2 = , c2 = a′ a′ a′ 11 22 33
2 2 平移后得 : a′ =0 11 x′ + a′ 22 y′ + 2a′ 34 z′
( 8)
X2 Y2 Z2 + + = 1 ( 椭球面) a2 b2 c2 ( 2) a′ 11 > 0 , a′ 22 > 0 , a′ 33 > 0 , S > 0
零 , 由于字母可随意变换 , 因此不失一般性 , 可设 a′ 33 = 0 , 这时二次曲面方程 ( 4) 就变为 :
2 2 a′ + 2a′ + 2a′ + a′ 11 x′ + a′ 22 y′ + a′ 14 x′ 24 y′ 34 z′ 44 = 0
那么 , 经过平移后 ( 5) 式可简化为 :