复变函数(第四版余家荣)

则称函数 f ( z )在 z0可微或可导.
如果 f ( z ) 在区域 D内处处可导，则称 f ( z )在 D内解 析，我们也说 f ( z )是 D内解析函数； 在区域内解析
如果 f ( z )在 z0 的邻域内处处可导，则称 f ( z ) 在点 z0 处解析.
在一点解析
如果 f ( z ) 在区域 G 内处处解析，而闭区域 D 上 每一点都属于 G , 那么称 f ( z ) 在闭区域 D 上解析.
(2) u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内满足柯西- 黎曼方程 :
u x

v y
u y

v x
推论 设函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 在区域 D内有定义， 且满足 (1) 实部 u ( x, y )和虚部 v( x, y )在区域 D内存在一阶连续偏 导函数， (2) u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内满足柯西- 黎曼方程 :
证明 令
则
(6) 指数函数 w e z是周期为 2i的周期函数,即
(7) lim e z不存在.
z
证明 由于
所以 lim e z不存在.
z
注： 设 z iy, 则由
得
Euler公式
问题： 在复分析中Rolle 定理是否成立？
答：不再成立 .
例 设
且
尽管 f ( z) 在复平面上处处解析，
在闭区域上解析
如果函数 f ( z ) 在 z0不解析，但在 z0 的每个邻域 内都有解析点存在，则称 z0 为 f ( z ) 的一个奇点.
如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续. 证明 设 f(z) 在点 a 可导，则
注解1
“可微”有时也可以称为“单演”，而“解 析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则 ”等； 注解2 解析性与可导性的关系：在一个点的可导性 为一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注解3 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻 域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的 可导不能得到在这个点解析； 注解4 闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的 一个更大的区域上解析；
u x v y u y
v x
则 f ( z)在区域 D内解析.
定理 函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )区域 D内解析的充要 条件是
(1) 实部 u ( x, y )和虚部 v( x, y )在区域 D内存在一阶连续偏 导函数，
(2) u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内满足柯西- 黎曼方程 :
(3) e x处处可微，且(e x ) e x .
（4） x是单调增函数，且 e
指数函数的定义域的扩充
要求复变量 z x iy 的函数 f ( z) 满足下列条件：
(1) x R, f ( x) e x ; (2) f ( z )在C上解析；
(3) z1 , z2 C, f ( z1 z2 ) f ( z1 ) f ( z2 );
u x v y u y
v x
例 讨论 | z |2 的可导性与解析性 .
解 由于
所以
由于
在整个复平面上连续， 但只在原点满足 C R
所以 f ( z ) 只在 z 0 处可导，而处处不解析. 条件，
例 讨论函数 f ( z ) x 2 iy 的可微性与解析性.
| f ( z ) A | ，
则称A为函数f ( z )当z趋于z0时的极限，记作
z z0
lim f ( z ) A 或 f ( z ) A( z z0 )
当
时，
当
时，
当
时，
命题
设
则
当且仅当
证明 则
如果 使得当 时，
所以
反之，若
则
当
时，
所以, 当
时
f ( z) 在区域 G中每一点连续，则称 f ( z) 在 G内连续。
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数
例 求证：f ( z ) arg z ( z 0) 在整个复平面除去原点和负实数轴的区
域上连续，在负实数轴上不连续。
解： 当 z0 在负实数轴上时, 有
z z0 Im z 0
lim arg z , lim arg z
但
指数函数的几何性态
y
v
o
若 将直线 若
将直线 则
x
o
u
则
映射成圆周
映射成射线
若
则
w e z 在宽度小于 2 的水平带形内是一一的 .
w e z将 z 平面上的水平带形{z： Imz } 一对一地映射成 w平面上的去掉原点及负实轴后剩下部分构成的区域.
y
i
o
i
v
x
例 证明 f(z) z 处处不可微.
证明 因为
z lim 不存在, z 0 z
所以
f ( z) 处处不可微.
Cauchy-Riemann 方程 问题
若 u ( x, y )和 v( x, y )在区域 D上可微, 那么 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y ) 在 D内解析吗?
反之，设 u ( x, y )及 v( x, y )在 ( x, y ) 处可微，并有 C R方 程成立，则有
其中
满足条件
设
则
所以
其中
由于
所以
即
注：
定理 函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )区域 D内解析的充要 条件是
(1) 实部 u( x, y)和虚部 v( x, y)在区域 D内处处可微，
区域D的边界是负实轴及原点
上沿 下沿
负实轴分上沿和下沿
主值幅角函数
(1) 实部 u( x, y) 和虚部 v( x, y) 在点 ( x, y) 处可微，
(2) u( x, y) 和 v( x, y) 满足柯西- 黎曼方程 :
u x

v y
u y

v x
C-R条件 处有导数
证明 时，
设
在点
其中a 和 b为实数，当
因此，u( x, y)及 v( x, y)在 ( x, y)处可微，且
解
由
得
1 由于 u x , u y , vx , v y 在整个复平面上连续，所以 f ( z )在直线 x 2 上可导，但处处不解析.
例 验证函数
并求其导数.
在复平面C上处处解析，
证明
由于
所以 且满足 C R 条件， 在平面上连续，
在复平面C上处处解析，
§2.初等函数
1.指数函数 实指数函数的性质
(2) u( x, y) 和 v( x, y) 满足柯西- 黎曼方程（简称C R方程） :
例
在
处满足上述定理中的条件，但 f (z)在
不可微.
证明
由于
所以
不存在. 所以 f ( z ) 在 z 0 不可导.
定理 设函数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )在区域D内有 定义，那么 f ( z )在点 z x iy D可导的充要条件是 :
反函数求导法则
设函数 w f ( z)在区域 D内解析，且 f ' ( z) 0，又反函数
z f 1 ( w) ( w)
存在且为连续，则有：
1 ' ( w) f ' ( z) 1 f ' ( ( w))
z ( w )
注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式 以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结 论基本相同。
首先
设
则
f ( z ) f ( x iy) e x f (iy),
f (iy) A( y) iB( y),
f ( z ) e x A( y) iex B( y),
由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有
A( y) B' ( y), A' ( y) B( y),
四则运算法则
复合函数求导法则
设函数 f ( z ) 在区域 D内解析，函数 w g ( )在区 域 G内解析，又 f ( D) G，则复合函数 w g ( f ( z)) h( z)
在 D内解析，并且有：
h' ( z) [ g ( f ( z ))]' g ' ( f ( z)) f ' ( z )
arg z0 arg z arg z0
所以
| arg z arg z0 | ，
即 f ( z ) 在 z0 连续。
例设
证明 lim f ( z ) 不存在.
z0
证明
设
则
所以
所以 lim f ( z ) 不存在.
z0
2. 导数〃解析函数
定义 设函数w f ( z )在点z0的某邻域内有定义的单值函数，
所以，
A( y) cos y, B( y) sin y,
因此，
f ( z ) e x (cos y i sin y).
定义
设 z x iy, 则复函数
称作复指数函数，记作
复指数函数的性质：
(1) 若z x( y 0), 则e z e x .
(2)
(3) e z处处解析，且(e z ) e z .
设
可微，则
首先设 h 为实数，得
令
得
再令
t 为实数，得