整数因子分解问题
初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题
初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。
这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。
例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。
例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。
例4． 关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。
例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。
5.利用整除和同余例6． 关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。
求a,b 的值。
练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。
2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。
什么是因式分解
什么是因式分解在数学中，因式分解是一种将一个多项式或者一个整数写成乘积的形式的过程。
通过因式分解，我们可以将一个复杂的多项式或整数分解成若干个更简单的因子相乘的形式。
因式分解在代数学中扮演着重要的角色，它不仅可以使问题更容易解决，还能帮助我们理解和分析数学概念。
本文将详细介绍因式分解的概念、步骤以及一些常见的因式分解方法。
首先，让我们从多项式开始介绍因式分解。
多项式是由一系列项相加或相减组成的数学表达式，通常包含有变量和常数。
我们经常需要将多项式进行因式分解，以便更好地理解和解决问题。
一个简单的例子是将多项式x² - 4 分解成两个因式相乘的形式。
根据因式分解的定义，我们需要找到两个乘积等于x² - 4 的因子。
在这个例子中，我们可以将多项式x² - 4 分解为 (x + 2)(x - 2)。
其中，(x + 2) 和 (x - 2) 是两个因子，它们相乘得到原始的多项式。
接下来，让我们探讨一下因式分解的步骤。
对于多项式的因式分解，我们可以按照以下几个步骤进行操作：1. 提取公因子：首先，我们需要检查多项式中是否存在公共的因子。
如果存在，我们可以将其提取出来，并将多项式进行因式分解。
例如，对于多项式2x² + 4x，我们可以提取公因子为 2x，然后将其分解为 2x(x + 2)。
2. 利用分配律：分配律是因式分解的重要工具之一。
根据分配律，我们可以将一个多项式乘以另一个多项式的和或差，然后将结果分解成相应的因子。
例如，对于多项式 x(x + 2) + 3(x + 2)，我们可以将其分解为 (x + 3)(x + 2)。
3. 平方差公式：平方差公式是因式分解中常用的一种方法。
平方差公式指出，对于任意实数 a 和 b，a² - b² 可以分解成 (a + b)(a - b)。
例如，对于多项式x² - 4，我们可以利用平方差公式将其分解为 (x + 2)(x - 2)。
基于大整数素因子分解困难性的RSA密码体系研究
基于大整数素因子分解困难性的RSA密码体系研究基于大整数素因子分解困难性的RSA密码体系研究科技信息OIT论坛0SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2009年第13期基于大整数素因子分解困难性的RSA密码体系研究胡蔚蔚'李啸(1.中华女子学院山东分院山东济南250002;2.山东省邮电工程有限公司山东济南250001)【摘要】本文首先介绍了公钥密码的基本思想,进而主要介绍整数分解问题的基本概念和典型算法,并在此基础上,运用数论和代数的方法对RSA密码体系进行研究,分析其基本原理和安全性.重点研究了对这种公钥密码体系的几种攻击以及应对这写攻击的方法.【关键词J公钥密码系统;RSA算法;整数分解O.引言计算机网络技术使得计算机应用进一步普及和发展,其应用已深入到人类社会活动和生活的一切领域.但在计算机给人们的生活和工作带来极大方便的同时也带来了许多亟待解决的问题,大量敏感信息如何保护成为一个主要的问题.一个安全,健壮的信息系统离不开各种信息安全技术的支持.根据各种安全技术和应用的需要,人们提出了许多密码的算法.至今发现的最有效的公钥加密方案都把安全性建立在一些数学问题的困难性假设之上,尤其是建立在一小批数论问题的困难性假设之上.可以说,这些数学问题是公钥密码学的基础.RSA密码体系是当前应用最广泛.也是最典型的一种公钥密码系统.RSA密码体系的安全性是基于大整数素因子分解的困难性.随着这个困难问题的算法研究的不断进展和计算能力的不断提高,人们对这种密码系统的安全性提出了更高的要求.本文将主要讨论整数分解问题几种典型算法及其进展情况,并在此基础上对该密码体系的安全性进行分析.1.公钥密码的基本思想公钥密码体制的关键问题是如何找到一个合适的算法生成合适的P(公钥)和s(私钥),须满足条件:(1)可以用私钥解密用公钥加密的密文:DSK(EPK(X))=x;(2)在计算机上可以容易地产生成对的 P和Sk;(3)从已知的P实际上不可能推导出Sk;(4)加密和解密的运算可以对调:EPK(DSK(X))=x(方便实现数字签名).这种体制思想是简单的,但是,如何找到一个合适的算法生成合适的Pk和S,并且使得从Pk不可能推导出S,正是迫切需要密码学家们解决的一道难题.为了解决这个问题,密码学家们考虑了数学上的陷门单向函数:fx)=YX?D,Y?D是一个单向函数,即对任意的X?D, 容易计算,而对几乎所有的x?D,求逆困难.但是,如果知道陷门信息 t,则对所有的YED.容易求逆.2.RSA密码系统与整数因子分解问题RSA公钥系统是在1978年,由美国麻省理工学院fMIT)的Rivest, Shamir和Adleman在题为《获得数字签名和公开钥密码系统的方法》的论文中提出的.从提出到现在已近二十年,经历了各种攻击的考验, 逐渐为人们接受,普遍被认为是目前最优秀的公钥方案之一.RS公钥系统的安全性是基于大整数素因子分解的困难性,而大整数因子分解问题是数学上的着名难题,至今没有有效的方法予以解决,因此可以确保RSA算法的安全性.这一困难问题在密码学中的应用促使人们努力寻找因子分解的更有效方法.整数因子分解问题(FACTORING)是一个古老的数论基本问题, 描述为:给定一个正整数n,找到它的素因子,也就是说,写出n=P …P',这里P,是不同的素数,并且e,?1.要分解一个整数,很明显应先进行素性测试,也就是确定一个整数是素数还是合数,本文里,我们假设我们所要分解的整数n 都是奇和数.2.1算法目前,整数因子分解算法有特殊目的分解算法(如试除法,Pollard的p-1算法)和一般目的分解算法(如二次筛法).无论是否可行,特殊目的算法都先被采用,因为他们一般具有较高的效率.如果都不能成功,可再使用一般目的算法.2.1.1试除法试除法是最直观,最基本的因子分解算法.在把大量时间花费在一些复杂的方法之前,首先应该用所有"小"的素数来试除.这里,"小" 实际上是一个取决于It的大小的函数.在极端情况下,需要试除1到 58,/的所有素数.在试除后,能完全分解/1,但在最坏情况下,需要进行,/ln次试除,即n是由两个差不多长度的素数相乘得到的.事实表明,如果用试除法分解一个随机选择的大整数/1,那么这个算法有望较快的找到一些n的小因子.试除法仅对于较小的n有效,当n较大时,试除法已不可行,需要使用更复杂的算法.2.1,2Pollard的P一1算法p一1算法:输入:n和B.?a=2;?对j=2到B,计算a—aJmodn;? d=gcd(a一1,n);?如果l<d<n,那么d是n的一个因子(分解成功);否则,没有找到n的因子(分解失败).Pollard的p-1算法的优缺点:在 P一1算法中,有B一1个模指数,利用"平方一乘"算法计算每一个模指数需要至多21ogaB个模乘法.gcd的计算可用Euclidean算法在时间0 ((1o内完成.因此,该算法的时间复杂度是0(B10g2B(10g2I炉+(1og2n)3).如果B是0((1ogan),),i是某一固定整数,那么该算法是多项式时间的.然而,对B的这样一个选择,算法成功的概率将是很小的.另一方面,如果猛增B的尺寸,比如说,/n,那么该算法成功的概率将是很高的,但是它并不比试除法快.可见,这个算法的缺陷是它要求n有, 个素因子P使得P一1只有小的素因子.2.2RSA加密算法的流程如下:'2.2.1任意选取两个不同的大质数P和q,计算乘积n=pxq; 2.2.2任意选取一个大整数e,e与(p一1)x(q一1)互质,整数e用做加密密钥;2.2.3确定解密密钥d:dxe1mod(p一1)X(q—1);2.2.4公开整数n和e,但是不公开d;2.2.5将明文in加密为密文C,计算方法为:c=m'inodn; 2.2.6将密文C解密为明文P,计算方法为:P=c~modn.3.安全性分析判断一个密码系统的安全性,最重要的是看该密码体系对各种攻击的抵抗能力.下面分析对RSA密码系统的几种典型的攻击. 3.1RSA问题与因子分解的关系RsA问题的困难性是RsA公钥系统的安全性的基础.RSA问题 (RSAP)给定两个不同奇素数P和q的乘积n满足gcd(e(p—1)(q一1))= 1,得正整数e,以及一个整数c,找出一个整数I11,使得m;c(modn). RSAP~<~FACTORING.也就是说.RsA问题可以在多项式时问内约减到整数因子分解问题,若被因式分解成功,则RSA便被攻破. 3.2前向搜索攻击假如消息空间很小或可以预测出,敌手就可简单地通过对所有可能的明文消息进行加密来得到想要解密的密文C.为了阻止这种攻击,一个简单的方法是在加密之前追加一个适当长度的伪随机生成比特串到明文消息中.每个加密中伪随机生成比特串因该独立产生. 3.3解密指数计算解密指数a的任何算法可作为分解n的一个概率算法的子程序或预言.该算法是基于1模n的平方根的某些事实.我们知道同余方程关于P有2个解,即x:?lmodp.类似地,同余方程关于q 有2个解,即x=+1modq.因此,l模n有四个平方根,这4个平方根可由中国剩余定理找出.其中2个是X=?lmodit,称为1模n的平凡的平方根.另2个平方根称为1模n的非平凡的平方根.下面给出通过寻找1模n的一个非平凡的平方根分解/1的算法.给定解密指数a,分解n的算法如下:(1)随机地选择W使得 1?w?n一1;(2)计算X=gcd(w,n);(3)如果1<x<n,那么停止(这时 x=P或q,分解n成功);(4)计算a=A(b)(A是一个假想算法,当对科技信息oIT论坛oSCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2009年第13期应于b的解密指数a已知时,无须预言);(5)将ab写成ab一1=2sr, r为奇数;(6)计算v=-Wmodn;(7)如果v1modn,那么停止(分解n失败);(8)当v?lmodn,完成下列各步;(9)vo--v;(10)v— v%odn;(11)如果v0—1modn,那么停止(分解n失败);(12)否则, 计算x=gcd(v0+1,n)(这时x=p或,分解n成功).这个结果告诉我们,如果a被泄露,那么n也被危及,选择一个新的加密指数已不能保证系统的安全性,必须重新选择模n. 3.4同模攻击假定用户B有一个RSA算法,模为n,加密指数为b.用户C也是一个具有同样算法且模为n,加密指数为b,gcd(b,b2)=1.如果用户 A想加密同一个明文m送给B 和C.那么A先计算Y一mbmodn和 y2=mb:modn.然后将Y.发送给B.将y2发送给C.假定O截取到了Y.和 y.那么O就可按下述步骤计算出m:(1)计算c=bl-1roodb2;(2)计算 c2=(clbr1)/b2;(3)计算my1c2(y2c2)一1modn.这表明,无论密码系统多么"安全",O解密A发送的明文是可能的.在有些应用场合,需要一个可信中心选择一个RSA模n,并对网上的每个用户分配不同的加,解密指数对(bai).如果加密同一个明文送给2个或更多的网上用户.由上可知.一个窃听者能利用公开可获得的信息以很高的概率恢复明文.即同模攻击告诫人们.不要在不同的用户之间共享模n.3.5自适应选择密文攻击由RSA算法的加密变换可知,对一切x,x2EZn*,有EK(x.x2】一EK(x)EK(x2)roodn.这个性质称为RSA算法的同态性质,这是RSA 算法的一个缺点.这个性质表明,如果敌手知道c和c:的明文m.和 m2.他就知道c~c2modn所对应的明文是ill1m2modn.不过这个性质可引进单向函数来破坏.假定一个主动的敌手希望用户A为他解密一个特定的密文c=mb modn.假定A除了c外他可以为敌手解密任意一个密文.这时,敌手通过选择一个随机整数x?Zn*来隐蔽C.并计算CCXbmodn.敌手一旦将c提交给A,A将为他解密,即计算m一(c)'modn.因为m=(c)=c fX,mxroodn.所以敌手就能通过公式mzaiDx-modn这种攻击提醒人们,在使用RSA算法加密时,应先对明文消息进行处理,如可以通过杂凑或单向变换来破坏RSA算法的同态性质.4.设计RSA系统的注意事项经过对RSA安全性的分析,可以得出使用RSA时应该注意的事项:4.1随机选择足够大素数(目前应在512位以上).4.2在使用RSA的通信网络协议中,不应该使用公共模(使用者知道f(n1).4.3不要让攻击者得到原始的解密结果.4.4解密密钥d相对模数171来说不应过小.4.5应该或者加密密钥大;或者被加密的信息m总是大而且m不能是一些已知值的乘积,后面一种情况可以在加密前对m填充随机值实现.4.6相关的消息不能用同样的密钥加密,加密前对消息进行随机值填充破坏消息之间的代数联系及相关性,但是要注意填充算法的选择.4.7应该使获得对任意值的原始签名不可能.4.8被签名的消息应该与模数差不多大,而且不是一些已知值的乘积.4.9使用平均解密时间和混乱等方法使时间攻击中使用的统计手段失效.4.10如果有条件,采用规模差别较大的质因子P,q来提高系统的安全性.【参考文献】[1]齐望东,网络信息网络与保密,北京,电子工业出版社.[2]王锡林,计算机安全,北京,人民邮电出版社.[3]卢开澄,计算机密码学,北京,清华大学出版社.[4]王小云,杨义先,密码学进展,北京,中国科学技术出版社. [5]孙宝林等,RSA 公开密钥密码算法机其在信息交换中的应用.武汉交通科技大学,2003.(上接第27页)[7]时培成,韦山.汽车随机路面输入平顺性仿真分析[J].机电工程,2006,23(5),28—31.[8]时培成,李震.汽车多体系统动力学稳定性控制联合仿真【J].河南科技大学学报(自然科学版),2007,28(3),21—24.[9]时培成,汪太平.基于ADAMS和MATLAB联合的汽车ACC系统仿真棚.机电工程,20o6,23(9),42_45.[10]时培成,王立涛,高洪,李震.基于四轮独立制动及整车模型的VSC系统仿真研究lJ1.农业机械,2007,38(6),14—18.[责任编辑:张新雷]作者简介:时培成(1976一),男,安徽六安人,讲师,从事车辆I程专业的教学和科研研究.※资助基金:国家特色专业建设点项目(T$10310);安徽工程科技学院教研项目(2007yjy29).(上接第44页)图4为K—OMS一2的EDS元素分析图谱,可见合成的K—OMS一2材料中含有5%左右的钾元素(以K20),说明K原子嵌入到了OMS一2材料的孔道中,再次证明合成的材料具有典型的隐钾锰矿结构.3.结论通过回流法得到了OMS一2型氧化锰八面体分子筛,XRD测试结果表明,合成的OMS一2材料有隐钾锰矿型结构,气体吸附试验验证了此结果.通过SEM照片可知所合成的OMS一2为直径约为100nm,长度2m的棒状结构,棒与棒之间相互聚集成2Om左右的聚团.【参考文献】[1]GandheAR,RebelloJS,FigueiredoJL.ManganeseoxideOMS一2asalleffectivecatalystfortotaloxidationofethylacetate田.ApplCatalB—Environ,2007,72(1—2】:129—135.[责任编辑:王静][2]ZhouH,SuibSL,ChenX.Oxidativedehydrogenationofethylbenzeneto styreneovermanganeseoxideoctahedralmolecularsieve(OMs)materials[J].Abstr PapAmChemSoc,1999,218:U895一U895.『3]DeGuzmanRN,ShenY—F,NethEJ.SynthesisandCharacterizationof OctahedralMolecularSievesfOMS一21HavingtheHollanditeStructure.Chem. Mater.[J1.1994:815—821.[4]ZhouH,ShenYF,WangJY.StudiesofdecompositionofH202overmanganese oxideoctahedralmolecularsievematerials册.JCatal,1998,176(2):321—328.[5]MakwanaVD,GarcesLJ,LiuJ.Selectiveoxidationofalcoholsusingoctahedr al molecularsieves:influenceofsynthesismethodandproperty—activityrelations叨.CatalToday,2003.85(2—4):225—233.[6]TangXF,HuangXM,ShaoJJ.Synthesisandcatalyticperformanceof manganeseoxideoctahedralmolecularsievenanorodsforformaldehydeoxidationat lowtemperature[J].ChinJCatal,2006,27(2):97—99.[责任编辑:张艳芳]。
公钥密码体制
基于公开密钥的加密过程
图4.1 公钥密码体制的通信保密过程
基于公开密钥的鉴别过程
图4.2 公钥密码体制的数字签名和验证签名过程
公钥密钥的应用范围
加密/解密 数字签名(身份鉴别) 密钥交换
5.1.4 公钥密码系统基本思想和要求
1、涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 2、涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 3、公钥算法的条件： – 产生一对密钥是计算可行的； – 已知公钥和明文，产生密文是计算可行的； – 接收方利用私钥来解密密文是计算可行的； – 对于攻击者，利用公钥来推断私钥是计算不可行的 – 已知公钥和密文，恢复明文是计算不可行的； – (可选)加密和解密的顺序可交换。
5.1.2 公钥密码体制的起源
公钥密码又称为双钥密码和非对称密码，是1976年 由Diffie和Hellman在其“密码学新方向”一文中提 出的，见划时代的文献：W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976,PP.644-654 RSA公钥算法是由Rivest,Shamir和Adleman在 1978年提出来的, 见Communitions of the ACM. Vol.21.No.2. Feb.1978, PP.120-126
Euler定理: 若a与n为互素的正整数,则: aφ (n)≡1modn，推论: 若n=pq, p≠q都是素数, k是任意整数,mkφ (n）+1≡m k(p-1)(q-1)+1 ≡m mod n, 对任意0≤m≤n 证明φ (n)= (p-1)(q-1)
分解大整数为两个素因子乘积的析出算法
（ ）对 于 ｍ＜ｎ 求 ｍｅ ｃ ２ ， ，ｄ在计 算 上是 容 易 的 ； （ ）给定 ｅ和 ｎ 求 ｄ是计 算上 不 可行 的 。 ３ ，
２ Ｒ Ａ 密 钥 的 产 生 ．Ｓ
作 者 简 介 ： 克 泉 （９ ／ ） 男 ， 津 武 清 人 ． 孙 １６ 一 ． 天 南开 社 区 学 院 教 师 ． 士 ， 教 授 ．：Ｆ高 级 会 员 。 要 研 究领 硕 副 （ （ 主
域 为计 算机 应 用 ． 息 安 全 。 信
・ ３ ・ ７
密 算法 ， 中公 开密 钥 ＫＵ＝（ ， ） 而 私有 密钥 ＫＲ＝（ ， ） Ｒ Ａ算 法 须满 足 以下要求 ： 其 ｅｎ ， ｄｎ ，Ｓ
ｃ ｍ ｍｏ ｄｎ ｍ ｃ ｏ （ ） ｍ ｏ ｄｍ ｄｎ ｍ ｄ ｎ＝ ｍ ｏ ｏ ‘ ｒ ｄ ｎ
发送 者 和接收 者都 必须 知道 整数 ｎ 发送 者 ．
收 稿 日期 ： Ｏ （ １ ｛ ２ １ １ （ ｊ ）
有 接 收者 知 道 ｄ的值 。因 此这 是 一个 公 钥 加
第１ ３卷
第 ８期
天津 职业 院校 联合 学报
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｎｉ Ｖ ｃ ｔ ｎ ｌｎｔｕｅ ｏ ｒａ ｏ ａ ｊ ｏ ａｉ ａ Ｉ ｉ ｔｓ Ｔ ｎ ｏ ｓｔ
Ｎｏ ． ８ Ｖ０１ １ ． ３
Ａｕ ｇ． ２ １ ０１
２ １ 年 ８月 ０ １
分解大整数为两个 素因子乘积 的析 出算法
等方 面 。
Ｒ Ａ 的算 法是 基于数 论 中两 个大 素数 乘 积 所 得整 数 ｎ和选 取 满 足一 定 条件 的整 数 ｅ组 成 公 开 Ｓ
整数因子分解递分治算法
整数因子分解递分治算法整数因子分解是一种常见且重要的算法问题，它用于将一个整数分解成它的所有因子的乘积。
这个问题可以被看作是一个递归的分治算法，通过将整数分解成更小的子问题来解决。
为了更好地理解整数因子分解的递归分治算法，让我们以一个具体的例子来说明。
假设我们要将整数36分解成它的所有因子的乘积。
根据定义，36的所有因子包括1、2、3、4、6、9和36。
为了简化问题，我们可以先将36的平方根找出来，即6。
然后，我们可以将36分解成两个较小的整数的乘积：6和6。
接下来，我们继续分解这两个较小的整数，直到无法再分解为止。
对于较小的整数6，它的因子包括1、2、3和6。
我们可以将6分解为2和3的乘积：2和3。
由于2和3都是素数，它们无法再分解。
因此，我们可以得到6的因子分解：2、2和3。
回到初始的整数36，我们将36分解为6和6的乘积。
然后，我们将6分解为2和3的乘积，得到6的因子分解：2和3。
接下来，我们再将另一个6分解为2和3的乘积，也得到6的因子分解：2和3。
因此，我们可以得到36的因子分解：2、2、3和3。
通过这个例子，我们可以看到整数因子分解的递归分治算法的基本步骤。
首先，我们找出整数的平方根作为分解的界限，然后将整数分解成两个较小的整数的乘积，继续递归地分解这些较小的整数，直到无法再分解为止。
整数因子分解的递归分治算法在实际应用中有着广泛的用途。
它可以用于因子分解问题，如计算最大公约数或最小公倍数；也可以用于质因数分解问题，如判断一个数是否为素数或寻找一个数的质因数。
除此之外，整数因子分解的递归分治算法还可以应用于一些数论问题，如求解同余方程等。
总结起来，整数因子分解的递归分治算法是一种重要且灵活的算法，能够高效地解决整数的因子分解问题。
通过将整数分解成较小的子问题，逐步求解得到整数的所有因子，我们可以更好地理解和应用这一算法。
无论是在数论问题还是在实际应用中，整数因子分解的递归分治算法都具有重要的指导意义。
数论基础知识讲解
数论基础知识讲解数论是数学的一个分支，研究整数及其性质。
它是数学的基础，为许多数学领域的发展提供了重要的理论基础。
在数论中，我们探索了整数的奇偶性、素数的分布规律、整数的因子分解等问题。
我们来探讨整数的奇偶性。
整数可以分为两类：偶数和奇数。
偶数可以被2整除，而奇数不能被2整除。
这是因为每个整数都可以表示为2的倍数加上一个奇数。
例如，4可以表示为2×2，而5可以表示为2×2+1。
这个性质对于解决一些数学问题非常重要。
接下来，我们来研究素数的分布规律。
素数是只能被1和自身整除的整数，例如2、3、5、7等。
素数在整数中的分布非常有规律，但又有一定的随机性。
素数在整数中越往后，出现的频率越低。
这是因为随着整数的增加，它们之间的间隔也越来越大。
这个问题一直是数学家们研究的热点，至今仍未完全解决。
除了奇偶性和素数分布规律，整数的因子分解也是数论的重要内容。
每个整数都可以唯一地表示为几个质数的乘积。
例如，12可以表示为2×2×3。
这个因子分解的过程对于解决一些数学问题非常有帮助，例如求最大公约数、最小公倍数等。
在数论的研究中，我们还可以探讨一些有趣的问题，例如完全平方数和完全立方数。
完全平方数是一个整数的平方，例如1、4、9、16等。
完全立方数是一个整数的立方，例如1、8、27、64等。
这些特殊的整数在数学中有着重要的地位，它们的性质和分布规律一直是数学家们研究的课题。
数论是数学中重要的一部分，它研究整数及其性质。
通过研究奇偶性、素数分布规律、因子分解等问题，我们可以深入了解整数的特性，并且应用到其他数学领域中。
数论的研究不仅仅是为了解决数学问题，更是为了拓展我们对数学的认识和理解。
希望通过这篇文章，读者能对数论有一个初步的了解，并对这个有趣的数学分支产生兴趣。
高斯环里的因子分解
则 日 是单位
2
,
了= 1
,
留
Q
二
。
留是
,
。
的 相伴 元
下
一
。
若 }p }
a
2
} {
。
则 !7 {
,
2
二
7
是单位 是素元
。 2
p=
。
`
是
。
的 相 伴元
。
只 有 平 凡 因子
。
因此
,
。
( 2 ) 当 } 12 是 合数 时 } 1
。
将整数 { } 进行因数分解
;
,
,
则】 司 可 以写成
。
2
2 二
的 呼 …办
:
。
由上 述 定理 我 们得 到 下 面的 推论 推论 推论
1: 2
:
I I
,
的 每一 个 既 不是 零 也 不是 单 位的 元 中 任一 既 不 是零 也 不 是单 位的 元
a
。
都有 一 个 分 解
:
。
=
p;
P …r
P 是 (i
I
的 素元 )
I
。
能够 唯 一 地 写 成 、 二 的 呼 一 p 卜 ( 众 是
二
a
Z 十
bZ = m 无 整 数解
:
则
。
无 真 因子
即
。
只 有 平 凡因 子
那么
。
为素 元
。
于是 定理
。
我 们 就 得 到 下 面 的结 论
l
2 :
对于 V
,
a
〔I
整数（质因子）分解（Pollardrho大整数分解）
整数（质因⼦）分解（Pollardrho⼤整数分解）整数分解，⼜称质因⼦分解。
在数学中，整数分解问题是指：给出⼀个正整数，将其写成⼏个素数的乘积的形式。
(每个都可以写成⼏个相乘的形式，这⼏个质数就都叫做这个合数的质。
)1.试除法（适⽤于范围⽐较⼩）⽆论素数判定还是因⼦分解，试除法(Trial Division)都是⾸先要进⾏的步骤。
令m=n,从2~根n⼀⼀枚举，如果当前数能够整除m，那么当前数就是n的素数因⼦，并⽤整数m将当前数除尽为⽌。
若循环结束后m是⼤于1的整数，那么此时m也是n的素数因⼦。
事例如HDU1164:15mm#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <math.h>#define N 65535using namespace std;int factor[N],top;void divide(int n){for(int i=2; i<=sqrt(n+0.0); i++){while(n%i==0){top++;factor[top]=i;n/=i;}}if(n!=1){top++;factor[top]=n;}for(int i=1; i<=top-1; i++){printf("%d*",factor[i]);}printf("%d\n",factor[top]);return ;}int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){top=0;divide(n);}return0;}View Code2.筛选法对整数分解试除法进⾏了许多不必要的运算，先将2~根n的所有素数打表，然后对应素数表⼀⼀试除将会⼤⼤节约时间。
整数因子分解问题
❖
else
❖
outf << factor(number,flag) << endl;
❖
delete []flag;
❖
return 1;
❖}
算法实现
❖ long factor(long n,long flag[])
❖{
❖
if (n <= square && flag[n] > 0) return flag[n];
问题分析
本题的难点在于如何实现大整数的因子求解。利用常规 递归算法在计算小整数的时候，显然是没有问题，而且 速度还相当快，但是计算大整数时，递归算法的劣势就 暴露无遗。计算一个几百万的整数就要花上接近一分钟 以上，这是我们所无法接受的。
问题分析
利用第三章动态规划的思想可以解决这个问题。与分治 法不同的是，动态规划适合于经分解后的子问题不是互 相独立的情况。用分治法求解时，有些子问题被重复计 算多次，如果我们能保存已解决的子问题的答案，而在 需要时找出求得的答案，这样就可以避免大量的重复计 算。我们称这种方法为备忘录方法。
用分治法求解时有些子问题被重复计算多次如果我们能保存已解决的子问题的答案而在需要时找出求得的答案这样就可以避免大量的重复计算
问题描述
大于1的正整数n可以分解为：n=x1*x2*…*xm。 例如，当n=12时,共有8种不同的分解式：
12=12； 12=6*2； 12=4*3； 12=3*4； 12=3*2*2； 12=2*6； 12=2*3*2； 12=2*2*3。 对于给定的正整数 n(1≤n≤2000000000)，编程计算 n 共有多 种不同的分解式。
❖
return result;
整环里的因子分解
1 的多项式，都能分解成若干不可约多项式的乘积，而且除了因 子次序和零次因式的差别以外，分解是唯一的。
在一般的整环上，元素的唯一分解性结论怎么样？由于整
数环 Z 和数域 P 上的一元多项式环 Px 都是有单位元的整环，
因此，以下所说的环 K ，均假定为有单位元的整环且 K 1。
推论 两个单位 和 的乘积 也是一个单位，单位 的逆元 1
也是一个单位。
例2 求出高斯整环 Z i 中的所有单位以及整数 5 在 Z i
中的所有真因子。
解 （1）设 a bi 是 Z i 的任一单位，则有 Z i
使 1， 2 2 1。这只有 2 a2 b2 1 ，从而有
, ,则
.
由此知,
的任一因子都不是真因子, 故
在
中不可约.
(2) 证明
不是
中的素元.
由于
,而
,故
不是素元.
二、相伴元、不可约元、素元的关系
定理 4.1.2 环 K 中不可约元 a 的任意相伴元仍为 K 中的
不可约元。 证明 设 是 K 中的任意一个单位，则 a 是 a 的任意
一个相伴元。 下证 a 是 K 中的不可约元。
1 2' 2 但 2 m2 3n2 是一正整数，同样 ' 2 也是 正整数，因此，只有 2 1 。由 2 m2 3n2 1 ， 则只能 m 1,且n 0,即 1. 反之，若 m 1,且n 0,即 1.
则 显然显然是 D 的单位。 (2)由相伴元的定义可得 2 的相伴元只有 2 与-2。
中任何一个，即 3 不是环 Z 5i 的素元。
习题二十六
1、证明：在高斯整环 D Z i 中，3 是不可约元，5 是可
因子分解
因子分解在数论中，因子分解是一个古老而又困难的问题。
现代的算法并不能测试出一个树所有可能的素因子。
尽管如此，人们在这方面还是取得了不少的进展。
（一）因子分解法目前，比较好的因子分解算法有：二次筛选法数域筛法椭圆曲线法连式分解法试除法因子分解是一个迅速发展的领域，如果没有发展一种新方法，那么2048比特数（由两个1024比特素数相乘产生）从因子分解上来说是安全的。
然而，没有人能够预见未来。
在发现数域筛法之前，许多人猜测二次筛法接近于任何因子分解方法所能做到的最快（极限），但事实并非如此。
（二）模N 的平方根如果n 是两个素数的乘积，那么计算模n 的平方根的能力在计算上等价于对n 进行因子分解的能力。
换句话说，某人知道n 的素因子，那么就能容易计算出一个数模n 的平方根；这个计算已被证明与计算n 的素因子一样困难。
素数生成元两个大的素数相乘，据推测它是一个单向函数，因为这两个数数相乘得到一个数是容易的，但分解这个大数且恢复原来的两个大素数却是困难的。
这样，就有办法利用这个单向函数设计一个陷门单向函数。
一、单向函数的概念及其基本意义由于本章所提出的方案中，单向函数具有特殊的应用，在此有必要对其作一简单介绍。
定义1 令函数f 是集合A 到集合B 的映射，以B A f →:表示。
若对任意,21x x ≠A x x ∈21,，有)()(21x f x f ≠则称f 为单射，或可逆的函数。
f 为可逆的充要条件是：存在函数AB g →:，使对所有A x ∈有x x f g =))((。
定义2 一个可逆函数B A f →:，若它满足：(1) 对所有A x ∈，计算)(x f 是容易的；(2) 对“几乎所有A x ∈”由)(x f 求x “极为困难”以至于实际上不可能做到，则称f 为单向函数。
定义中的“极为困难”是对现有的计算资源和算法而言。
Massey 称之为视在困难性，相应函数称之为视在单向函数，以此来和本质上的困难相区别。
c++信息学奥赛一本通1201因子分解
C++信息学奥赛一本通是计算机科学领域的一本经典教材，包含了许多有趣且具有挑战性的问题。
而其中的1201题目——因子分解，是一个常见且具有一定难度的数学问题。
本文将从以下几个方面展开讨论：一、问题描述题目要求给定一个正整数n，要求将其分解为若干个素数的乘积。
输入12，输出为2 2 3。
二、解题思路为了解决这个问题，我们可以采用贪心算法，从最小的素数开始逐步进行因子分解。
三、具体步骤1. 输入一个正整数n；2. 初始化一个变量i为2，作为最小的素数；3. 若n能被i整除，输出i的值，并更新n的值为n/i；4. 若n不能被i整除，则将i自增1，继续步骤3，直至i大于n。
四、代码实现```cpp#include <iostream>using namespace std;void factorization(int n) {for (int i = 2; i <= n; i++) { while (n i == 0) {cout << i << " ";n = n / i;}}}int m本人n() {int n;cin >> n;factorization(n);return 0;}```五、测试样例输入：12输出：2 2 3六、算法分析该算法的时间复杂度为O(logn)，具有较高的效率；由于素数的唯一性，因子分解的结果也是唯一的。
七、优化与拓展1. 为了提高算法的效率，可以在循环中增加判断条件，当i的平方大于n时，停止循环；2. 在实际应用中，可以将因子分解运用到质因数分解、快速幂、最大公约数等领域。
总结：因子分解是一个常见且有趣的数学问题，通过使用贪心算法，我们可以解决这一问题，并且可以进一步优化算法以提高效率。
这一问题也可以拓展至其他领域，具有一定的实际应用意义。
希望本文的讨论能够对读者解决类似问题提供一定的帮助，同时也欢迎读者就本文内容进行讨论与交流。
整数因子分解问题（递归分治法、动态规划）
整数因⼦分解问题（递归分治法、动态规划）Description⼤于1的正整数n可以分解为：n=x1 * x2 * … * x m。
例如，当n=12 时，共有8 种不同的分解式： 12=12； 12=6 * 2； 12=4 * 3； 12=3 * 4； 12=3 * 2 * 2； 12=2 * 6；12=2 * 3 * 2； 12=2 * 2 * 3。
对于给定的正整数n，计算n共有多少种不同的分解式。
Input输⼊数据只有⼀⾏，有1个正整数n (1≤n≤2000000000)。
Output将计算出的不同的分解式数输出。
Sample Input12Sample Output8下⾯是AC代码:递归法:耗时有些⼤，但是通过了。
f(n) 为n的不同分解式个数。
f(n)=∑n%i==0f(n/i),2<=i<=n⽐如20f(1)=1f(20)=f(2)+f(10)+f(4)+f(5)+f(1)f(2)=f(1)=1f(10)=f(2)+f(5)+f(1)=1+1+1=3f(4)=f(2)+f(1)=1+1=2f(5)=f(1)=1所以：f(20)=1+3+2+1+1=8发现f(n)⾥会有f(n/n)，所以f(n)初始值可以初始化为1for循环找因⼦也不⽤⼀直到n，到sqrt(n)就⾏，也就是i * i < n就⾏最后判断⼀下i * i == n，因为左右因⼦都⼀样怎么交换都⼀样，所以只⽤加上f(i)即可⽐如f(100)=f(2)+f(50)+f(4)+f(25)+f(5)+f(20)+f(10)+f(1)i * i < n，f(n)=∑n%i==0(f(n/i)+f(i))i * i == n，f(n)=f(n)+f(i)⽐如f(20)=f(2)+f(10)+f(4)+f(5)+f(1)找出f(2)就可以加上f(20/2)=f(10)，f(4)可以得f(20/4)=f(5)// 递归法#include <stdio.h>int solve(int n){int ans = 1, i; // ans = 1初始表⽰n = n的情况for (i = 2; i * i < n; i++) // 因⼦乘因⼦⼩于nif (n % i == 0) // i 是 n的因⼦, n / i也是n的因⼦ans += solve(i) + solve(n / i);if (i * i == n) // i是n的因⼦, 并且i * i == n时只有这⼀种情况, 左右交换也是⼀种ans += solve(i);return ans;}int main(){int n;scanf("%d", &n);printf("%d\n", solve(n));return 0;Processing math: 100%}动态规划法：算术基本定理：任何⼀个⼤于1的⾃然数N,如果N不为质数，那么N可以唯⼀分解成有限个质数的乘积N=p x11∗p x22∗...∗p x n n p1,p2, ... ,p n都为质数x1,x2, ... ,x n都是⼤于等于0的整数可以得出：N正因⼦个数为(x1+1)∗(x2+1)∗...∗(x n+1)2 *3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 = 64696932306469693230的正因⼦个数为：210 = 1024 , 所以存因⼦的数组开2000就差不多了dp[i]存的是factor[i]的分解式个数⼀个数可以分解为因⼦乘积，因⼦的因⼦也是因⼦所以⼀个数的分解式个数等于因⼦的分解式个数之和dp[]初始化0递推公式：dp[i]=1i=0∑i−1j=0,factor[i]%factor[j]==0dp[j]i>=1// 动态规划#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int solve(int n){// factor数组存因⼦, dp数组存分解式个数, cnt记录因⼦个数int factor[2000], dp[2000], cnt = 0, i;// 找出n的因⼦for (i = 1; i * i < n; i++) // 循环次数缩减到sqrt(n){if (n % i == 0){factor[cnt++] = i; // i为因⼦factor[cnt++] = n / i; // n/i也为因⼦}}if (i * i == n)factor[cnt++] = i; // 如果i*i==n, i也为因⼦sort(factor, factor + cnt); // 把因⼦从⼩到⼤排序fill(dp, dp + cnt, 0); // 把dp数组初始化为0, 初始因⼦分解式个数都为0dp[0] = 1; // 第⼀个因⼦(1)⾃⼰的分解式只有⼀个for (i = 1; i < cnt; i++) // 从第⼆个因⼦开始, 循环找第i个因⼦的因⼦是否为前i-1个因⼦for (int j = 0; j < i; j++)if (factor[i] % factor[j] == 0) // 如果第i个因⼦的因⼦是前i-1个因⼦中的, 第i个的分解式个数加上满⾜条件的 dp[i] += dp[j];return dp[cnt - 1]; // dp[0]从0开始, cnt要减1}int main(){ios::sync_with_stdio(false); // 防⽌TLEcin.tie(NULL);cout.tie(NULL);int n;cin >> n;cout << solve(n);return 0;}{。
1-5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式第5节. 因式分解定理教学大纲一．素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解, 学了质数合数. 初中学了多项式的因式分解. 因子分解是你们熟悉的. 很多人就认为因式分解很容易, 就凭那三招(提取公因子, 用乘法公式，分组分解法）就可以纵横天下。
其实，正整数的因子分解都是世界难题。
多项式就更不可能容易。
先别去碰难题。
还有些入门的小儿科都没有搞清楚。
比如, 1不能分解,为什么不是质数?学了负整数, 2=(-2)(-1)可以分解, 2还是质数吗?-6的分解式是3×(-2) 还是(-3)×2 还是(-1)×3×22x+4 在有理系数范围内能不能分解？2x+4=2(x+2) 不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。
你分到不知道怎么分就结束了。
为什么不想一下,你不知道怎么分,不能断定它就不能分。
有可能是它还能分，你水平不够没有发现它的分解式。
因此, 不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。
最简单的情况: 全部因式都是一次，肯定到底了。
大部分时候不能分到一次，怎么知道它到底没有。
比如x10+x5+1, x12+x9+x6+x3+1在有理数范围内能不能分？1.正整数的分解：不能分解的正整数叫做质数(也叫素数), 能分解的叫合数.例1.1是质数还是合数?学生: 1不能分解, 是质数.老师: 1既不是合数, 也不是质数.学生: 既不是合数, 也不是质数, 是什么呢?老师: 它就是1.点评: 为什么不说“2 既不是合数, 也不是质数, 它就是2”？1 和2 都不能分解，它们有什么区别？例2. 如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24×2×1×3×1; (3) 24÷2÷1÷3÷1; (4) 23×32; (5) 210÷210。
欧拉函数难度和大整数分解问题
欧拉函数难度和大整数分解问题欧拉函数欧拉函数，又称为欧拉-φ函数，是数论中一个非常重要的函数。
它用来计算小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
欧拉函数通常用符号φ(n)表示。
1. 欧拉函数的定义定义：对于任意正整数n，欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。
例如：φ(1)=1，因为只有1和自己是互质的；φ(2)=1，因为只有1是2的因数且与2互质；φ(3)=2，因为只有1和2是3的因数且与3互质；φ(4)=2，因为只有1和3是4的因数且与4互质；φ(5)=4，因为1、2、3、4都是5的因子且与5互质。
2. 欧拉函数的性质（1）若p为素数，则φ(p)=p-1。
这是由于小于p且不与p互质的正整数只能是p、2p、3p……（p-1）p共计p-1个。
（2）若a和b互质，则φ(ab)=φ(a)×φ(b)。
这可以通过将小于ab 且不与a或b其中之一互质的正整数分别归类到a或b的倍数下来证明。
（3）若p为素数，则φ(p^k)=p^k-p^(k-1)。
这是由于小于p^k且不与p^k互质的正整数只能是p、2p、3p……（p^(k-1)）p共计p^(k-1)个，再减去小于p^(k-1)且不与p^(k-1)互质的正整数个数即可。
（4）对于任意正整数n，有n=∏(i=1)^m p_i^a_i，则φ(n)=∏(i=1)^m φ(p_i^a_i)=∏(i=1)^m p_i^a_i-p_i^(a_i-1)。
3. 欧拉函数的计算（1）暴力枚举法：对于每个小于等于n的正整数，都判断其是否与n 互质。
时间复杂度为O(nlogn)，显然效率低下。
（2）分解质因数法：根据欧拉函数的性质4，将n分解成若干个素因子幂次的乘积，然后根据欧拉函数的性质3计算φ(n)。
时间复杂度为O(sqrt(n))。
（3）线性筛法：线性筛法可以在O(n)时间内预处理出小于等于n的所有正整数的欧拉函数值。
具体实现方法可以参考素数筛法。
特雷门琴原理
特雷门琴原理特雷门琴原理是一种用于实现信息安全的密码学原理。
它以密码学家克劳迪奥特雷门琴的名字命名，是一种非对称加密算法，常用于实现数据的加密和解密。
特雷门琴原理基于数学上的难解问题，通过使用两个不同的密钥，即公钥和私钥，来加密和解密数据。
特雷门琴原理的基本思想是，通过生成一对密钥，即公钥和私钥，使得使用公钥加密的数据只能使用私钥解密，而使用私钥加密的数据只能使用公钥解密。
公钥可以公开，任何人都可以使用公钥对数据进行加密，但只有持有私钥的人才能解密数据。
这样，即使数据被窃取，也无法解密，从而保证了数据的安全性。
特雷门琴原理的安全性基于一个数学难题，即大整数的因子分解问题。
这个问题是指对于一个给定的大整数，找到其所有的因子。
对于小的整数，因子分解是相对容易的，但对于非常大的整数，因子分解是一个非常困难的问题。
特雷门琴原理利用了这个数学难题，通过生成一个大整数的因子来生成公钥和私钥。
在使用特雷门琴原理进行加密和解密时，首先需要生成一对密钥。
生成密钥的过程通常是通过选择两个大素数，并计算它们的乘积得到一个大整数。
然后，根据这个大整数，计算出两个与之相关的数，即公钥和私钥。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
加密数据时，使用公钥对数据进行加密，得到一个密文。
解密数据时，使用私钥对密文进行解密，还原出原始数据。
由于只有持有私钥的人才能解密数据，因此数据的安全性得到了保证。
特雷门琴原理在信息安全领域得到了广泛的应用。
它可以用于保护敏感数据的传输和存储，如电子邮件、网上银行等。
同时，特雷门琴原理也可以用于实现数字签名和认证，确保数据的完整性和可信性。
特雷门琴原理是一种重要的密码学原理，通过使用公钥和私钥对数据进行加密和解密，保证了数据的安全性。
它基于数学难题，利用大整数的因子分解问题来生成密钥。
特雷门琴原理在信息安全领域有广泛的应用，可以有效保护数据的传输和存储，确保数据的机密性和完整性。
大整数难于分解的原因
大整数难于分解原因报告计算机科学与技术学院网络工程11011108020108杨万章2014.5.28数学中，整数分解（素因数分解）问题是指：给出一个正整数，将其写成几个约数的乘积。
例如，给出45这个数，它可以分解成32 ×5。
根据算术基本定理，这样的分解结果应该是独一无二的。
这个问题在代数学、密码学、计算复杂性理论和量子计算机等领域中有重要意义。
完整的因子列表可以根据约数分解推导出，将幂从零不断增加直到等于这个数。
例如，因为45= 32×51，45可以被30 ×50，30×51，31×50，31×51，32×50，和32×51，或者1，5，3，9，15，和45整除。
相对应的，约数分解只包括约数因子。
1. 整数分解算法及复杂度分析在对n 的因式分解方法中，通常的方法是采用数论中的因式分解方法。
目前，比较常用因子分解方法有试除法、Pollard’s rho 分解法、Pollard’s P-1 分解法、Dixon 分解法、连分数分解法、二次筛法、多多项式二次筛法、数域筛法(NFS)和椭圆曲线法等试图用这些方法解决减小n 的因式分解算法的复杂度问题。
以下是这些算法的时间复杂度[4]：试除法：O ( p (log n )2) ；Pollard’s rho 分解法：() ()2og Op n；Pollard’s P –1 分解法：O ( B log B (log n )2) ，其中，B 为设定光滑界；椭圆曲线法：O (exp(( 2 + o (1))(ln p )1/ 2(lnln p )1/ 2))基于完全平方数的分解算法(Dixon 分解法、连分数分解法、二次筛法、多多项式二次筛法、数域筛法(NFS) 的最小复杂度为：O (exp((64/9)1/3lnp )1/3(lnln p )2/3)) 。
其中，试除法、Pollard’s rho 分解法、Pollard’s P-1 分解法和椭圆曲线法对于分解相对较小的素因子效率较高。
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❖
flag[i] = factor(i,flag);
❖
temp = n / i; //临时变量；
❖
result = result + factor(temp,flag);
❖
}
❖
}
❖
if (m * m == n)//如果开方后是整数的话，那么重复计算一次;
❖
result = result - factor(m,flag);
❖
return result;
❖}
问题描述
大于1的正整数n可以分解为：n=x1*x2*…*xm。 例如，当n=12时,共有8种不同的分解式：
12=12； 12=6*2； 12=4*3； 12=3*4； 12=3*2*2； 12=2*6； 12=2*3*2； 12=2*2*3。 对于给定的正整数 n(1≤n≤2000000000)，编程计算 n 共有多 种不同的分解式。
算法描述
❖ 12=12; ❖ 12=6*2; ❖ 12=4*3; ❖ 12=3*4;12=3*2*2; ❖ 12=2*6;12=2*3*2;12=2*2*3; 遇到16=8*2； 16=4*4；16=2*8；怎么办？
算法实现
❖ long square; //全局变量;
❖ long factor(long n,long flag[]);//函数声明;
❖ int main(void)
❖{
❖
ifstream inf = ("input.txt");
❖
ofstream outf = ("output.txt");
❖
long number;
❖
inf >> nuong)floor(sqrt(number));//下取整；把问题的规模变小，使时间复杂度降低。
问题分析
本题的难点在于如何实现大整数的因子求解。利用常规 递归算法在计算小整数的时候，显然是没有问题，而且 速度还相当快，但是计算大整数时，递归算法的劣势就 暴露无遗。计算一个几百万的整数就要花上接近一分钟 以上，这是我们所无法接受的。
问题分析
利用第三章动态规划的思想可以解决这个问题。与分治 法不同的是，动态规划适合于经分解后的子问题不是互 相独立的情况。用分治法求解时，有些子问题被重复计 算多次，如果我们能保存已解决的子问题的答案，而在 需要时找出求得的答案，这样就可以避免大量的重复计 算。我们称这种方法为备忘录方法。
❖
else
❖
outf << factor(number,flag) << endl;
❖
delete []flag;
❖
return 1;
❖}
算法实现
❖ long factor(long n,long flag[])
❖{
❖
if (n <= square && flag[n] > 0) return flag[n];
❖
long *flag = new long[square+1];//用来实现备忘录方法的数组。
❖
for (long i = 1;i <= square; i++)
❖
flag[i] = 0; //为每一个子问题建立备忘项，初始化时赋0，表示子问题尚未解决。
❖
if (number == 1)
❖
outf << "1" << endl;
❖
long m = (long)floor(sqrt(n));
❖
long result = 1,temp; //代表n本身也是一种分解式;
❖
for (long i = 2;i <= m; i++)
❖
{
❖
if (n % i == 0)
❖
{
❖
result = result + factor(i,flag);