高中数学基本不等式--第二课时

课题: §3.42
a b +≤
第2课时 授课类型：习题课
【教学目标】
1．知识与技能：熟练掌握基本不等式及变形的应用；进一步用此不等式求某些函数的最值,解决一些简单的实际问题
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a b +，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点】
2
a b +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值 【教学难点】
基本不等式的“正用”，“逆用”，“变形用”。

【教学过程】
1.课题导入
1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么
).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a
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a b +≤求最大（小）值的步骤。

2.讲授新课
1）利用基本不等式证明不等式
a 直接运用
例1 已知m>0,求证
24624m m
+≥。

[思维切入]因为m>0,所以可把24m 和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式。

[证明]因为 m>0,，由基本不等式得
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6221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m
=6m ，即m=2时，取等号。

规律技巧总结 注意：m>0这一前提条件和
246m m ⨯=144为定值的前提条件。

3.随堂练习1
[思维拓展1] 已知a,b,c,d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥.
[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+.
b 拼凑法
例2 求证:473
a a +≥-. [思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边44(3)333
a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43
a -=a-3即a=5时,等号成立. 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.
c 代换变形
例3、已知+∈R y x ,，且12=+y x ，求y
x 11+的最小值。

[思维切入]：直接利用均值不等式对y
x 11+求解不符合不等式成立的条件，只有通过变形，把已知条件12=+y x 中的1加以代换变形，进而求解。

解析：由12=+y x ，得y
x x y y y x x y x y x 232211++=+++=+ 223223+=•+≥y
x x y ， 当且仅当y
x x y 2=时，即222-=x ，12-=y 时等号成立， 所以当222-=
x ，12-=y 时，y x 11+的最小值为223+。

规律技巧总结：在应用均值不等式时，有时可以单独利用其中的一种变形技巧，有时还要综合应用以上的几个变形技巧加以变形求解，使问题加以巧妙处理。

3.随堂练习2：
已知01x <<求函数411y x x
=
+-的最小值
2)利用不等式求最值 例4 (1) 若x>0,求9()4f x x x
=+
的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x
=+的最大值. [思维切入]本题(1)x>0和94x x ⨯=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化. 解（1) 因为 x>0 由基本不等式得
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()412f x x x =+≥==,当且仅当94x x =即x=32时, 9()4f x x x =+取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:
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()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==, 所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-
即x=-32时, 9()4f x x x
=+取得最大-12.
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正
3)取不到等号（均值不等式失效时的处理）
例5 求函数2
)y x =∈R 的最小值． [思维切入] 本题取不到等号，不能使用均值定理，故考虑函数单调性
解：由2
y =，令2t =，则易证1()(2)y f t t t t ==+≥为
增函数．min 15(2)222y f ==+=∴2=，即0x =时，min 52
y =． 规律技巧总结 在求解的过程中，有时会出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’”的现象，建议用：实施均拆、待定系数法及非基本不等式法（如单调性法、配方法等）.
4.课时小结
2a b +证明不等式和求函数的最大、最小值。