概率论与数理统计第8章
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15
(c ) 1 2 0.975 X 68 P c 3.6 / 6 反查正态分布表可得临界值
假设检验方法是 概率意义下的反证法.
要注意的是小概率事件毕竟不是不可能事件,只
是小概率事件发生的概率很小,在一次实验中“几
乎”不会发生.因此上述方法就可能出现错误,即真
因此，原假设的接受域为(67.118, 68.882)
27
源自文库
X ~ N (66, 3.62 6 4)
66 P ( 67.118 X 68.882 66 )
68.882 66 67.118 66 66 样本容量为36时的 0.45 0.45
4
参数假设检验 假设检验的内容 非参数假设检验
参数检验假设是针对总体分布函数中的未知参数而 提出的假设进行检验； 非参数检验假设是针对总体 分布函数形式或类型的假设进行检验.
本章主要讨论参数假设检验问题，
下面结合实例来说明参数假设检验的基本思想.
5
例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不超过4%才能出厂.
22
在例2 中( 0.05 )计算犯第二类错误的概率
P (纳伪) P (接受H 0 | H 0不真)
H0不真,即 68,可能小于68,也可能大于68,的
大小取决于 的真值的大小. H 0 N 66, 3 H ， 0. 若 66 n 36, X ~ : ( 68 .62 36)1 : 6805 ，
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记为H 0
称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H 1
一般将含有等号的假设称为原假设
7
二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生.
如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面” 事件“某人随机买一注彩票中一等奖” 事件“在一副扑克中随机抽取4张全为A” 以上几个事件都可称为“小概率事件”
生的, 现在竟然发生了, 故认为原假设不成立, 即 该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
11
3 P12 ( 3) C12 p 3 (1 p)9 0.0097 0.01
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则
P12 (1) C p (1 p) 0.306 0.01
28
P (纳伪) P (接受H 0 | H 0不真)
1 P (拒绝H 0 | H 0为不真)
1 β 称为检验的功效
30
四、假设检验的一般步骤
（一）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和 备择假设H1的具体内容. （二）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量 并确定其分布. （三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计 量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域. （四）由样本观察值计算出统计量的值. （五）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件” 时就接受H0，否则就拒绝H0接受H1 . （六）完整准确地写出检验的结论.
X 68 X ~ N (66, 3.6 6 4) 由P c 3.6 / 6 仍取 = 0.05,得 c 1.96
2
X 68 由 1.96 3.6 6
X 68.882 或 X 67.118
可以确定原假设的拒绝 (,67.118)与(68.882,) 域为
现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品, 问该批
产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否厂？ 为此提出如下假设: 是p 0.04成立, 还是p 0.04成立 例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际 生产的强度X 服 N ( ,3.6 2 ). 若 EX 68 ,则认为 这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺 钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5 ,问原假 设是否正确? 为此提出如下假设: 是 68成立, 还是 68成立
6
在例1中 在例2中
p 0.04, p 0.04
均称为参数假设
68 , 68
假设检验 必须在原假设与备择假设 参数假设一般是一对互逆的假设,比较参数的相等 在例2中，H 在例1中，H 0 0: :p .68 , ,H 11:: 6804 0 04 H p 0. 或大小 的任务 之间作一选择
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误 犯纳伪错误的概率为
P (纳伪) P (接受H 0 | H 0为不真)
P ( A不发生 | H 0为不真) ˆ
21
我们希望这两类错误都很小.但可以证明，在样本 容量n固定时,同时减小 和是办不到的.当 减小 时必导致 增大,反之亦然.要想使 和同时减小， 只有增大样本容量n . 在实际应用中，一般原则是：在给定犯第一类错 误的概率 之后,使得犯纳伪错误的概率尽可能的小.
若对 总体 参数 有所 了解
但有 怀疑 需要 证实 之时
用假 设检 验方 法来 处理
3
何为假设检验?
假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分 布或参数的假设. 例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
又如, 对于正态总体提出数学 期望等于0 的 假设等都是统计假设。
所作假设可能是正确的,也可能是错误的. 为判 断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样 本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒 绝所作假设的决定.
69.18 69 66.82 69 0.6 0.6 (0.3) ( 3.63) 0.6179 0.000142 0.617758
66 0.0853
的大小取决于 的真值的大小.
25
现增大样本容量,取n = 64, = 66,则
原假设的接受域为(67.118, 68.882) (6.4) ( 2.49)
1 0.9936 样本容量为36时的 69 0.0064 0.0853
69 P ( 67.118 X 68.882 69 )
0.3936 0.617758
19
若 P ( A)
则犯弃真错误的概率为
P (弃真) P (拒绝H 0 | H 0为真) P ( A | H 0为真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著.
故在检验中也称为显著性水平 ,
20
2.第二类错误:纳伪错误
如果原假设H 0是不正确的, 但却错误地接受了H 0
的假设被拒绝了,而错误的假设却可能被接受了.
18
三、假设检验可能犯的两类错误 1.第一类错误:弃真错误
如果在H 0为真的前提下，构造小 概率事件 A 在抽样试验时如果小概率事件A发生了 此时我们是拒绝H 0
但是小概率事件A在一次试验中也是可能发生的
而原假设H 0确实是正确的
此时我们便犯了“弃真”错误,也称为第一类错误
6 例24某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际 （ 99 0.666981 X（1.18 ） .91466 . 66 ）P( 9 .82 269 37 0 66 ) 生产的强度X 服 N ( ,3.6 ). 若 EX 68 ,则认为 69.18 )为原假设的接受域 66.82 66 区间(66.82 ,69.18 66 这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺 0.6 0.6 钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5 ,问原假 ( 设是否正确?5.3) (1.37) 1 0.9147 0.0853
解
假设
H 0 : 68
H 1 : 68
若原假设正确, 则 X ~ N (68 , 3.62 / 36)
当X ~因而E,( 2))时，由定理6.3.1知 X ~ N ( , 2 / n) N ( X 68，即X 偏离68不应该太远
X 68 故 取较大值是小概率事件 3.6 / 6
14
因此,可以确定一个常数c 使得
均值 置信度为 X 68 2 c) 95%置信区间 N (0,1) 取~ N (0.05，则36 1.96 X 68 , 3.6 / ~ 3.6 6 X 68 当X ~ N (0,1) 时96P{| X | X} 2 .18(或 X 66.82 x 69 2 x ) 由 1., 36X 6 68 . / 接受原假设，认为这批螺钉符合要求 故 P c 2 2 (c ) (c ) 1 2 称区间( 6 6 3. ,66.82 ) 与 ( 69.18 , + )为原假设的拒绝域， 而区间(66.82 , 69.18 )为原假设的接受域 (实际上没理 由拒绝)。 根据样本 x 68.5
第8章 假设检验
8.1 假设检验的基本概念 8.2 单个正态总体的参数假设检验
8.3 两个正态总体的参数假设检验
8.4 总体比率的假设检验
8.3 非参数假设检验
1
8.1
假设检验的基本概念
一、假设检验的概念
二、假设检验的基本原理 三、假设检验可能犯的两类错误
四、假设检验的一般步骤
一、假设检验的概念 若对总体参 数一无所知 用参数估计 的方法处理
31
8.2 单个正态总体的参数假设检验
一、方差已知的正态总体均值的检验
二、方差未知的正态总体均值的检验
三、大样本场合下,非正态总体均值的检验 四、单个正态总体方差的检验
一、方差已知的正态总体均值的检验
设X 1 , X 2 ,, X n为来自正态总体X的样本, X ~ N ( , 2 )
2 若 2 0已知, 对均值的假设进行检验
1. 原假设 H 0 : 0 , 备择假设 H1 : 0
由抽样分布定理
U X
0
~ N (0,1)
H0
n
在H 0为真的前提下, 统计量 U
1 12 1 11
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
13
例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际 生产的强度X 服 N ( ,3.6 2 ). 若 EX 68 ,则认为 这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺 钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5 ,问原假 设是否正确?
23
（0.3） 0.6179 （ x） 1 （x） 2
若
69，n 36, X ~ N (69, 3.6 36) （ 3.63） 1 （3.63） 1 0.9 38583 0.000142
69 P ( 66.82 X 69.18 69 )
10
例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不超过4%才能出厂.
现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品, 问该批
产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否厂？ 解 假设
H 0 : p 0.04
p 0.04 代入
H 1 : p 0.04
当p 0.04
取 0.01，则
可以证明： 无论原假设中是否含不等号，在实际检验时， 一万件产品中任意抽查12件发现3件次品是小概 检验H 0 : p 0.04, H 1 : p 0.04与 均可按原假设仅含等号的检验进行检验. 率事件, 那么在一次实验中,这个事件几乎是不会发 检验H 0 : p 0.04, H 1 : p 0.04的效果完全一样
(c ) 1 2 0.975 X 68 P c 3.6 / 6 反查正态分布表可得临界值
假设检验方法是 概率意义下的反证法.
要注意的是小概率事件毕竟不是不可能事件,只
是小概率事件发生的概率很小,在一次实验中“几
乎”不会发生.因此上述方法就可能出现错误,即真
因此，原假设的接受域为(67.118, 68.882)
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源自文库
X ~ N (66, 3.62 6 4)
66 P ( 67.118 X 68.882 66 )
68.882 66 67.118 66 66 样本容量为36时的 0.45 0.45
4
参数假设检验 假设检验的内容 非参数假设检验
参数检验假设是针对总体分布函数中的未知参数而 提出的假设进行检验； 非参数检验假设是针对总体 分布函数形式或类型的假设进行检验.
本章主要讨论参数假设检验问题，
下面结合实例来说明参数假设检验的基本思想.
5
例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不超过4%才能出厂.
22
在例2 中( 0.05 )计算犯第二类错误的概率
P (纳伪) P (接受H 0 | H 0不真)
H0不真,即 68,可能小于68,也可能大于68,的
大小取决于 的真值的大小. H 0 N 66, 3 H ， 0. 若 66 n 36, X ~ : ( 68 .62 36)1 : 6805 ，
称其中的一个为原假设,也称零假设或基本假设 记为H 0
称另一个为备择假设,也称备选假设或对立假设 记为H 1
一般将含有等号的假设称为原假设
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二、假设检验的基本原理
假设检验的理论依据是“小概率原理” 小概率原理:如果一个事件发生的概率很小,那么在一 次实验中,这个事件几乎不会发生.
如: 事件“掷100枚均匀硬币全出现正面” 事件“某人随机买一注彩票中一等奖” 事件“在一副扑克中随机抽取4张全为A” 以上几个事件都可称为“小概率事件”
生的, 现在竟然发生了, 故认为原假设不成立, 即 该批产品次品率 p 0.04 , 则该批产品不能出厂.
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3 P12 ( 3) C12 p 3 (1 p)9 0.0097 0.01
若从一万件产品中任意抽查12件发现1件次品
p 0.04 代入
取 0.01，则
P12 (1) C p (1 p) 0.306 0.01
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P (纳伪) P (接受H 0 | H 0不真)
1 P (拒绝H 0 | H 0为不真)
1 β 称为检验的功效
30
四、假设检验的一般步骤
（一）根据问题的要求提出假设，写明原假设H0和 备择假设H1的具体内容. （二）根据H0的内容，建立（或选取）检验统计量 并确定其分布. （三）对给定（或选定）的显著性水平 ，由统计 量的分布查表确定出临界值，进而得到H0的拒绝域 和接受域. （四）由样本观察值计算出统计量的值. （五）做出推断：当统计量的值满足“接受H0的条件” 时就接受H0，否则就拒绝H0接受H1 . （六）完整准确地写出检验的结论.
X 68 X ~ N (66, 3.6 6 4) 由P c 3.6 / 6 仍取 = 0.05,得 c 1.96
2
X 68 由 1.96 3.6 6
X 68.882 或 X 67.118
可以确定原假设的拒绝 (,67.118)与(68.882,) 域为
现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品, 问该批
产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否厂？ 为此提出如下假设: 是p 0.04成立, 还是p 0.04成立 例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际 生产的强度X 服 N ( ,3.6 2 ). 若 EX 68 ,则认为 这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺 钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5 ,问原假 设是否正确? 为此提出如下假设: 是 68成立, 还是 68成立
6
在例1中 在例2中
p 0.04, p 0.04
均称为参数假设
68 , 68
假设检验 必须在原假设与备择假设 参数假设一般是一对互逆的假设,比较参数的相等 在例2中，H 在例1中，H 0 0: :p .68 , ,H 11:: 6804 0 04 H p 0. 或大小 的任务 之间作一选择
此时我们便犯了“纳伪”错误,也称为第二类错误 犯纳伪错误的概率为
P (纳伪) P (接受H 0 | H 0为不真)
P ( A不发生 | H 0为不真) ˆ
21
我们希望这两类错误都很小.但可以证明，在样本 容量n固定时,同时减小 和是办不到的.当 减小 时必导致 增大,反之亦然.要想使 和同时减小， 只有增大样本容量n . 在实际应用中，一般原则是：在给定犯第一类错 误的概率 之后,使得犯纳伪错误的概率尽可能的小.
若对 总体 参数 有所 了解
但有 怀疑 需要 证实 之时
用假 设检 验方 法来 处理
3
何为假设检验?
假设检验是指施加于一个或多个总体的概率分 布或参数的假设. 例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
又如, 对于正态总体提出数学 期望等于0 的 假设等都是统计假设。
所作假设可能是正确的,也可能是错误的. 为判 断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样 本的取值,按一定原则进行检验,然后作出接受或拒 绝所作假设的决定.
69.18 69 66.82 69 0.6 0.6 (0.3) ( 3.63) 0.6179 0.000142 0.617758
66 0.0853
的大小取决于 的真值的大小.
25
现增大样本容量,取n = 64, = 66,则
原假设的接受域为(67.118, 68.882) (6.4) ( 2.49)
1 0.9936 样本容量为36时的 69 0.0064 0.0853
69 P ( 67.118 X 68.882 69 )
0.3936 0.617758
19
若 P ( A)
则犯弃真错误的概率为
P (弃真) P (拒绝H 0 | H 0为真) P ( A | H 0为真)
小概率事件发生的概率就是犯弃真错误的概率
越大,犯第一类错误的概率越大, 即越显著.
故在检验中也称为显著性水平 ,
20
2.第二类错误:纳伪错误
如果原假设H 0是不正确的, 但却错误地接受了H 0
的假设被拒绝了,而错误的假设却可能被接受了.
18
三、假设检验可能犯的两类错误 1.第一类错误:弃真错误
如果在H 0为真的前提下，构造小 概率事件 A 在抽样试验时如果小概率事件A发生了 此时我们是拒绝H 0
但是小概率事件A在一次试验中也是可能发生的
而原假设H 0确实是正确的
此时我们便犯了“弃真”错误,也称为第一类错误
6 例24某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际 （ 99 0.666981 X（1.18 ） .91466 . 66 ）P( 9 .82 269 37 0 66 ) 生产的强度X 服 N ( ,3.6 ). 若 EX 68 ,则认为 69.18 )为原假设的接受域 66.82 66 区间(66.82 ,69.18 66 这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺 0.6 0.6 钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5 ,问原假 ( 设是否正确?5.3) (1.37) 1 0.9147 0.0853
解
假设
H 0 : 68
H 1 : 68
若原假设正确, 则 X ~ N (68 , 3.62 / 36)
当X ~因而E,( 2))时，由定理6.3.1知 X ~ N ( , 2 / n) N ( X 68，即X 偏离68不应该太远
X 68 故 取较大值是小概率事件 3.6 / 6
14
因此,可以确定一个常数c 使得
均值 置信度为 X 68 2 c) 95%置信区间 N (0,1) 取~ N (0.05，则36 1.96 X 68 , 3.6 / ~ 3.6 6 X 68 当X ~ N (0,1) 时96P{| X | X} 2 .18(或 X 66.82 x 69 2 x ) 由 1., 36X 6 68 . / 接受原假设，认为这批螺钉符合要求 故 P c 2 2 (c ) (c ) 1 2 称区间( 6 6 3. ,66.82 ) 与 ( 69.18 , + )为原假设的拒绝域， 而区间(66.82 , 69.18 )为原假设的接受域 (实际上没理 由拒绝)。 根据样本 x 68.5
第8章 假设检验
8.1 假设检验的基本概念 8.2 单个正态总体的参数假设检验
8.3 两个正态总体的参数假设检验
8.4 总体比率的假设检验
8.3 非参数假设检验
1
8.1
假设检验的基本概念
一、假设检验的概念
二、假设检验的基本原理 三、假设检验可能犯的两类错误
四、假设检验的一般步骤
一、假设检验的概念 若对总体参 数一无所知 用参数估计 的方法处理
31
8.2 单个正态总体的参数假设检验
一、方差已知的正态总体均值的检验
二、方差未知的正态总体均值的检验
三、大样本场合下,非正态总体均值的检验 四、单个正态总体方差的检验
一、方差已知的正态总体均值的检验
设X 1 , X 2 ,, X n为来自正态总体X的样本, X ~ N ( , 2 )
2 若 2 0已知, 对均值的假设进行检验
1. 原假设 H 0 : 0 , 备择假设 H1 : 0
由抽样分布定理
U X
0
~ N (0,1)
H0
n
在H 0为真的前提下, 统计量 U
1 12 1 11
这不是小概率事件,没理由拒绝原假设,从而接受 原假设, 即该批产品可以出厂.
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例2 某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际 生产的强度X 服 N ( ,3.6 2 ). 若 EX 68 ,则认为 这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.现从整批螺 钉中取容量为36的样本,其样本均值为68.5 ,问原假 设是否正确?
23
（0.3） 0.6179 （ x） 1 （x） 2
若
69，n 36, X ~ N (69, 3.6 36) （ 3.63） 1 （3.63） 1 0.9 38583 0.000142
69 P ( 66.82 X 69.18 69 )
10
例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不超过4%才能出厂.
现从一万件产品中任意抽查12件发现3件次品, 问该批
产品能否出厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否厂？ 解 假设
H 0 : p 0.04
p 0.04 代入
H 1 : p 0.04
当p 0.04
取 0.01，则
可以证明： 无论原假设中是否含不等号，在实际检验时， 一万件产品中任意抽查12件发现3件次品是小概 检验H 0 : p 0.04, H 1 : p 0.04与 均可按原假设仅含等号的检验进行检验. 率事件, 那么在一次实验中,这个事件几乎是不会发 检验H 0 : p 0.04, H 1 : p 0.04的效果完全一样