概率论与数理统计总结
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概率论与数理统计总结
3、分布函数与概率的关系 ∞
<<∞-≤=x x X P x F ),()(
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1
,0,)
1()(1=-==-k p p k X P k
k
(2) 二项分布 ),(p n B n
k p p C k X P k n k k n
,,1,0,)1()( =-==- 泊松定理 0
lim >=∞
→λn
n np
有
,2,1,0!
)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C
k
k
n n k
n
k n
n λλ
(3) 泊松分布 )(λP =
,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1
dt t f x F x ⎰∞
-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数
f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：
（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。
（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。 3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=其他,0,1
)(b x a a
b x f
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1,
,
0)(a b a x x F
(2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨
⎧>=-其他,
00,)(x e x f x λλ ⎩
⎨
⎧≥-<=-0
,
10,
0)(x e
x x F x
λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞
<<∞-=--x e
x f x 2
22)(21
)(σμσ
π
⎰
∞
---
=
x
t t
e
x F d 21
)(2
22)(σμσ
π
N (0,1) — 标准正态分布
+∞
<<∞-=-x e
x x 2
221
)(π
ϕ
+∞
<<∞-=
Φ⎰
∞
--x t e x x
t d 21
)(2
2π
2、连续型随机变量函数的分布： （1）分布函数法；(){}⎰
⎰
<==∈=y
x g X l X y
Y
dx
x f dx x f l X P y F y
)()()(
（2）设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则
Y=g(X )的概率密度为
()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他
β
αy y h y h f y f X
Y 其中x =h(y )为y =g(x )的
反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,m ax ,,m in βα 3、 二维连续型随机变量
（1）联合分布函数为dudv
v u f y x F y x ⎰⎰
∞
-∞
-=),(),(函数
f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.
其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞
∞-∞∞
-=1),(dxdy y x f
（2）基本二维连续型随机向量分布
均匀分布：
⎪⎩⎪
⎨⎧∈=其他
),(1),(G y x A
y x f
二维正态分布：
+∞
<<-∞+∞<<∞--=
-+------
y x e
y x f y y x x ,121
),(])())((2)([)1(21
2
2122
22212121212σμσσμμρσμρρ
σπσ
3、离散型边缘分布律：
4、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X
⎰∞
+∞
-= dx y x f y f Y
⎰∞
+∞
-=),()(
F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互
独立的
3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布
1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：