(优选)第二节一阶线性微分方程

dy y
P( x)dx
dy P( x)dx y
得到
ln y P( x)dx c
或
y ece P( x)dx
令c ec , 则 y ce P( x)dx (c 0)
y ce P( x)dx (c 0)
此外y=0也是方程的解．
若允许c=0 ，则此解也含于上式中．
所以方程的通解为
y ce P( x)dx
x
y
ln | y | c
x
当u＝0时，y=0也是Leabharlann Baidu程的解。
例5 解微分方程 dy 2
y
y .
dx x x
解 令y ux, 代入原方程得 x du u 2 u u
dx
u 0时可化为
1 du 1 dx
２u
x
(4)
两边积分，得
u ln x c
代回原变量得原方程的通解为 y ln x c x
H( y) F(x) C
就是原方程的通解．
若存在y0，使g(y0)=0， 这时常数函数y=y0也是方程(1)的解．
一般而言，这种解会在分离变量时丢失，且 可能不含于通解中。
应注意补上这些可能丢失的解．
例1 求微分方程 dy 2xy2的解.
dx
解
当y≠0时，方程可改写为
1 y2 dy 2xdx
即得方程(5)的通解为
y e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx c
(10)
上述这种将对应的齐次线性微分方程通解中 的任意常数c换成未知函数c (x)求非齐次线性微 分方程通解的方法，称为常数变易法．
例6 求微分方程 dy 2 y e x ( x 1)2的通解.
由初值条件得 1 (
2 )2
cos
c
得c
2 2,
2
2
所以方程满足所给初值条件的特解为:
1 y2 cos x 2 2 0.
ydy sin xdx 1 y2
例４ 求解Logistic方程
dp p(1 p) dt
解 当p(1 p) 0时,方程可以改写成为
dp dt, p(1 p)
y c( x)e P( x)dx
(8)
dy c( x)e P( x)dx c( x)P( x)e P( x)x (9) dx 将(8),(9)代入方程（5） dy P( x) y Q( x)
dx
得 dy P( x) y c( x)e P( x)dx c( x)P( x)e P( x)x
(2)
其中c为任意常数.
ydy sin xdx 1 y2
例3
求微分方程 1 y2 sin x yy满足
初值条件y
x
2
=
2 的特解. 2
解 当1 y2 0时,方程可以改写成为
ydy sin xdx,
1 y2
两边积分
ydy
1 y2 sin xdx,
得方程的通解为
1 y2 cos x c,
（优选）第二节一阶线性微分 方程
当g( y ) 0时,
dy f ( x)g( y) dx
dy g( y)
f ( x)dx
这叫做分离变量。 上式两边积分，得到
dy g( y)
f微( x分)d方x 程的解可以用隐
设H ( y), F ( x)分别是
1
函数的形式表示 , f ( x)的原函数,则
g( y)
分离变量
1 du 1 dx,
(u) u x
两边积分，得
1
(u)
u
du
1 dx x
求出积分后再用 y 代替u, 便得通解。 x
例5 解微分方程y2 x2 dy xy dy . dx dx
解
原方程可以改写成
dy dx
y2 xy x2
( y )2 x y 1
令 y u, 则 dy x du u,
两边积分，
1
y2 dy 2xdx
得到
1 x2 c
y
所以原方程的通解为
1 y x2 c
（c为任意常数）
此外，y=0也是该方程的解．
注：解y=0没有包含在通解中。
例2 求微分方程 dy P( x) y 0的通解. dx
其中P( x)为连续函数.
解 当y≠0时，方程可改写为
两边积分，
dx
P( x)c( x)e P( x)dx
c( x)e P( x)dx Q( x)
得
c( x) Q( x)e P( x)dx
得
c( x) Q( x)e P( x)dx
两边积分，得 c( x) Q( x)e p( x)dxdx c
将它代回到(8)式 y c( x)e P( x)dx
x 原方程变为
x
dx dx
du u2
du u2
u
u x
x u
dx u 1
dx u 1
u1
当u≠0时分离变量得
(1 1 )du dx
u
x
(1 1 )du dx
u
x
1
dx
两边积分
(1 u)du x
得
u ln | u | c ln | x |
即
ln | ux | u c
用 y 代替u,便得原方程的通解为
(6)
dx
称它为非齐次微分方程(5)对应的齐次线性微分方程．
例2已求得方程(6)的通解为
y ce P( x)dx
(7)
显然，如果（7）中的c恒保持为常数，则它一
定不是（6）的解。
为此，我们将c换成x的未知函数c (x)，设想方
程（5）有形如
y c( x)e P( x)dx
(8)
的通解，它的导数为 dy c( x)e P( x)dx c( x)P( x)e P( x)x dx
此外u=0时，y=0(x≠0)也原方程的解.
三、一阶线性微分方程
形如
dy P( x) y Q( x)
(5)
dx
的方程称为一阶线性微分方程，当Q( x) 0时,
称它为一阶齐次线性微分方程，否则，称它为 一阶非齐次线性微分方程．
(5)的求解法：常数变易法
将(5)中的Q( x)换为0得到
dy P( x) y 0
两边积分
dp p(1
p)
dt ,
得方程的通解为 得
p ln 1 p t c1,
p ec1 et cet 1 p
所以方程的通解为:
ce t
1
p 1 cet
1 cet
.
二、齐次微分方程
形如
dy ( y )
dx x
(3)
的微分方程称为齐次微分方程．
例如:
dy y ( y )2 , dx x x
dy dx
xy2 y3 x3 x2y
y2dx ( x2 xy)dy 0.
( y )2 x
( y )3 x
(
y)
1 y
x
x
求解方法：令 y u, 或y ux,
x
则 dy
du x
u,
代入
dy ( y )
dx dx
dx x
x du u (u),
dx
x du (u) u,
dx