(完整版)高等数学下册期末测试题含答案

综合测试题(下册)A 卷 一、填空题（每空4分，共20分） 1、 曲线cos ,sin ,tan

2

t

x t y t z ===在点（0，1，1）处的一个切向量与OX 轴正向夹角为锐角，则此向量与OZ 轴正向的夹角是_________________ . 2、 设:1,01D x y ≤≤≤，则

3()D

x y yd σ+⎰⎰= _________ . 3、 设2

2

2

2

:x y z a ∑++=，则曲面积分

2

22()x

y z ds ∑

++⎰⎰=__________.

4、 周期为2π的函数()f x ，它在一个周期上的表达式为10

()10x f x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩

，设

它的傅立叶级数的和函数为()S x ，则5()2

S π

= . 5、 微分方程

x dy

y e dx

-+=的通解为______________. 二、选择题（每题4分，共20分）

1、函数(,)f x y 在00(,)x y 点可微是函数(,)f x y 在00(,)x y 点连续且可导的 [ ] (A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件 (C) 充要条件 (D) 无关条件

2、设空间区域2222

222212:,0;

:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，

则 [ ] (A)

1

2

4xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (B) 1

2

4ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

(C)

1

2

4zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (D) 1

2

4xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

3、设L 为2

2

1x y +=一周，则

2L

x ds ⎰

[ ]

(A) 等于0 (B) 等于π (C) 等于2π (D) 等于1 4、如果幂级数

n

n n c x

∞

=∑和

1

1

n n

n nc x

∞

-=∑的收敛半径分别是1R 和2R ，则1R 与2R 的大小关系

是 [ ] (A) 1R 大于2R (B) 1R 小于2R (C) 1R 等于2R (D) 不能确定 5、微分方程256x

y y y xe '''-+=的特解形式是 [ ]

(A) 2x

Ae Bx C ++ (B) 2()x Ax B e + (C) 22()x x Ax B e + (D) 2()x x Ax B e +

三、解答题

1、（11分）函数(,)z z x y =由方程(,)0z z

F x y y x

+

+=所确定 ，其中F 具有一阶偏导数，计算x z

x

y x y

∂∂+∂∂ 2、（9分）计算曲线积分

22(23)(2)L

x y x y dx x y xy dy +-+-+⎰

，其中L 为圆周

222x y +=的顺时针方向

3、（12

分）在曲面z =231x y z -+=的距离最短

4、（9分）计算曲面积分

xdydz ydzdx zdxdy ∑

++⎰⎰

，其中∑是曲面 22

1z x y =-- 在xoy 面上方部分的上侧

5、（10分）求幂级数

1

11

(1)

n n n nx ∞

--=-∑的收敛区间与和函数()S x

6、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解.

综合测试题(下册)A 卷答案 一、填空题 1、34π 2、

23

3、44a π

4、1

5、()x

y e x C -=+ 二、选择题

1、A

2、C

3、B

4、C

5、D 三、解答题

1、解：1212122211(),(),()()x y z z z F F F F F F F F F x y y x

=+-

=-+=+ 由隐函数计算公式得 22112()

()

y zF x F z x x xF yF -∂=

∂+

21212()

()

x zF y F z y y xF yF -∂=

∂+ 则 22211212()()()

y zF x F x zF y F x z x y z xy x y xF yF -+-∂∂+==-∂∂+

2、解：由格林公式 原式=2

2(13)D

y

x dxdy -+-+⎰⎰

=

220

)d r rdr π

θ-⎰

=2

4

12(24

r r ππ-

=.

3、解：设曲面上(,,)x y z 点到平面距离为d ，则2

2

14(231)d x y z =-+-且

222

24z x y =++ 即 2

2

2

420x y z +-+=

令 2222

(231)(42)F x y z x y z λ=-+-++-+

2(231)204(231)806(231)20x y

z F x y z x F x y z x F x y z x z λλλ=-+-+=⎧⎪=--+-+=⎪⎨=-+--=⎪⎪=⎩

得唯一解

x y z ===. 由实际问题知最小值存在，即为点

(. 4、解：补上一块 22

1:0,1z x y ∑=+≤ 取下侧，且

1

0xdydz ydzdx zdxdy ∑++=⎰⎰

由高斯公式 原式=2

2221

33

03

(1)2

x y dxdydz x y dxdy π

Ω

+≤-=--=

⎰⎰⎰⎰⎰

.