第2.1节条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

第二章条件概率与统计独立性

•条件概率，全概率，贝叶斯公式

•事件独立性

•贝努利试验与直线上的随机游动

•二项分布与泊松分布

2.1 条件概率全概率公式

与贝叶斯公式

一、条件概率

二、全概率公式

三、贝叶斯公式

一、条件概率

☐问题1 一个家庭有两个孩子，问两个都是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)

☐问题2 一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)

☐问题3 一个家庭有两个孩子，已知老大是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？(假定生男生女是等可能的)

(,,),,()0,,()(|)()

(|).P B P B A P AB P A B P B P A B B A Ω∈>∈= 设是一个概率空间且则对任意的记

称为在事件发生的条件下事2件发义生的条 定 2.1.件概率1Ω

A B AB 说明若事件B 已发生,则为

使A 也发生,试验结果必须是

既在B 中又在A 中的样本点,即

此点必属于AB .由于我们已经

知道B 发生,故B 变成了新的样

本空间.

从概率的直观意义出发：

若B已经发生,则要使A发生

试验的结果既属于A又属于B,即属于AB。

因此，条件概率应理解为P(AB)在P(B)中的“比重”。

从几何概型的角度出发：如果在单位正方形内等可能的投点，若已知B 发生，这时A 发生的概率为:

B

AB S S P =B

A

AB

Ω

ΩΩ=S S S S B AB //)()(B P AB P =

“条件概率”是“概率”吗？

容易验证，条件概率具有概率的公理化定义中的三个条件

);

()()()( )3(212121B A A P B A P B A P B A A P -+= ).

(1)( )4(B A P B A P -=则有件是两两不相容的事设可加可列性, , , ,: )5(21 B B 11().i i i i P A B P A B ∞

∞

==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 3. 性质

(1) :()0;

P A B ≥负非性 (|)1,(|)0P B P B Ω=∅=规同时；

(2)范性

2)从加入条件后改变了的情况去算4. 条件概率的计算

1) 用定义计算:

,)

()()|(B P AB P B A P P (B )>0掷骰子

例：A ={掷出2点}，B ={掷出偶数点}P (A |B ）=3

1B 发生后的

改变样本空间

所含样本点总数在改变样本空间中A 所含样本点个数

例掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: )()()|(B P AB P B A P =解法2: 2

163)|(==B A P 解: 设A ={掷出点数之和不小于10}

B ={第一颗掷出6点}

应用定义在B 发生后的

改变样本空间

中计算2

1366363==

-=⨯12121312121()()()()().

n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A 则有

且,0)(121>-n A A A P ,2,,,,21≥n n A A A n 个事件为设推广 则有

且为事件设,0)(,,,>AB P C B A ()()()().

P ABC P A P B A P C AB =).

()()(,0)(A P A B P AB P A P =>则有

设5. 乘法定理

条件概率与乘法公式

1996年，中国围棋大师马晓春在与韩国大师李昌镐争夺围棋世界冠军的五番棋决赛前，马晓春说了这么一句话，他说，如果前面两盘棋能够下成平手，那么他夺冠的概率就有51%.

由于马晓春前一年夺得的两个世界冠军都不是从公认为世界围棋第一人的李昌镐手中赢得的，因此那一年他们两个之间的决赛非常令人期待.果然，前面两盘下成了一比一.

于是，媒体根据此前马晓春的那一句话，开始了乐观的预测.

例一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A 为“第一次取到的是一等品”,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概P (B |A ).解.

4;3,2,1,号为二等品为一等品将产品编号则试验的样本空间为

号产品第号第二次分别取到第表示第一次以,),(j 、i 、j i )},

3,4(),2,4(),1,4(,,)4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{( =Ω

)},

4,3(),2,3(),1,3(),

4,2(),3,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1{(=A )},

2,3(),1,3(),3,2(),1,2(),3,1(),2,1{(=AB 由条件概率的公式得

)

()

()(A P AB P A B P =

129126=.3

2=

例某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?

设A 表示“能活20 岁以上”的事件; B 表示“能活25 岁以上”的事件,

则有

,8.0)(=A P 因为.)

()

()(A P AB P A B P =,4.0)(=B P ),

()(B P AB P =.

21

8.04.0==)

()()(A P AB P A B P =所以解