总体特征数之方差

总体特征数的估计（二）

【目标引领】 1． 学习目标：

理解样本数据的方差，标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差，并使学生领会通过合理的抽样对总体的稳定性水平作出科学的估计的思想。掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算方差，标准差，并对总体稳定性水平估计的方法。

2． 学法指导：

①．方差和标准差计算公式：

设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为x ，则 样本方差：s 2

=

n

1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2

〕 样本标准差：s=])x x ()x x ()x x [(n

12n 2

221----++-+- ②．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数。标准差大说明波动大。

【教师在线】 1． 解析视屏：

①若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2

，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a

②若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2

，则b ax ,b ax ,b ax n 21+++ 的方差为22s a ；

特别地，当1=a 时，则有b x ,,b x ,b x n 21+++ 的方差为s 2

，这说明将一组数据的每一

个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性；

③方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度；对于不同的数据集，当离散程度越大时，方差越大；

④方差的单位是原始测量数据单位的平方，对数据中的极值较为敏感，标准差的单位与原始测量数据单位相同，可以减弱极值的影响。

2． 经典回放：

例1： 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15

如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 解：x 甲≈750.2

x 乙≈750.6

s 甲≈16.4 s 乙≈9.6

甲乙两名跳远运动员的平均成绩相差无几，乙的成绩较稳定，所以选拔乙去参加运动会比较合适。

点评：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程度。

例2：证明方差的两个性质

①．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2

，则n 21ax ,ax ,ax 的方差为22s a

②．若给定一组数据n 21x ,,x ,x ，方差为s 2

，则b ax ,b ax ,b ax n 21+++ 的方差为22s a ；

解：设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为12n

x x x n

++

+=x ，则

样本方差：s 2

=

n

1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2

〕 另一组样本数据n 21ax ,ax ,ax ，其平均数为12n

ax ax ax n

++

+=a x ,则

样本方差=

n 1〔（ax 1—a x ）２+（ax 2—a x ）2+…+（ax n —a x ）2

〕 =a 2n

1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕

=22s a .

同样：另一组样本数据b ax ,b ax ,b ax n 21+++ ，其平均数为

12n ax b ax b ax b

n

++++

++=a x +b,

样本方差=

n 1〔（ax 1+b —a x -b ）２+（ax 2+b —a x -b ）2+…+（ax n +b —a x -b ）2

〕 = a 2n

1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2

〕

=22s a .

点评：特别地，当1=a 时，则有b x ,,b x ,b x n 21+++ 的方差为s 2

，这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性。

【同步训练】

1．若821k ,,k ,k 的方差为3，则)3k (2,),3k (2),3k (2821--- 的方差为________. 2．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A ．484.0,4.9 B ．016.0,4.9 C ．04.0,5.9 D ．016.0,5.9 3. 从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：

根据以上数据，说明哪个波动小？

4.

5．为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：

哪种小麦长得比较整齐？

6．从A、B两种棉花中各抽10株，测得它们的株高如下：(CM)

A、 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

B、 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40

(1) 哪种棉花的苗长得高？

(2) 哪种棉花的苗长得整齐？

【拓展尝新】

7．“用数据说话”，这是我们经常可以听到的一句话，但数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入可以达到几十万元。这时年收入的平均数会比中位数大得多。尽管这时中位数比平均数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用平均数来回答有关工资待遇方面的提问。你认为“我们单位的收入比别的单位高”这句话应当怎么理解？

【解答】

1．12 2．D

3．甲波动小4．乙情况比较稳定5．甲种小麦长得比较整齐

6．乙种棉花的苗长得高，甲种棉花的苗长得整齐。

7．从收入的平均数及数据的稳定程度（两极分化的程度）来分析。