基于ABAQUS平台的扩展有限元法

Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ａ ｖｉｎＩＪａｌ ｎｏｄｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｔｈｅ ｅＸｔｅｎｄｅｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ（）（ＦＥＭ）谢ｔｈ ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌ
ｆｍｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｏｆｔ、Ｖａｒｅ ＡＢＡＱＵＳ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｓｕｂｄｏｒｍｉｎ ｉｎｔｅｇｍｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ
Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ胁ｃｔｉｏｎ ｉｓ ｆｂ咖ｕｌａｔｅｄ，ａｎｄ ａ ｓｕｂｔｒｉａｎｇｌｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈＩｎ ｉｓ ｉｍｐｒｏＶｅｄ．Ｔｈｅ ｂｒｉｔｔｌｅ疳ａｃｔｕｒｅ ｐｒｏｃｅｓｓ
ｂｅ锄ｗａｓ ｏｆ ａ ３－ｐｏｉｎｔ ｂｅｎｄｉｎｇ
ｓｉｍｕｌａｔｅｄ．Ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ｒｅｓｕｎｓ ｄｅｍｏｎｓ饥ｌｔｅ ｔｈｅ ｃ印ａｃｉ够ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ
ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌ ｆｍｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｏｆｈＶａｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｓ ａｎ
ｅｍｃｉｅｎｔ ｗａｙ ｆｏｒ ｓ０１Ｖｉｎｇ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｒｏｂｌｅｍ ｕｓｉｎｇ ＸＦＥＭ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆ ｕ１１ｉｔｙ；ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｆｌｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ；Ｖｉｒｔｕａｌ ｎｏｄｅ；丘ａｃｔｕｒｅ ｐｒｏｃｅｓｓ；ｍｏＶｉｎｇ
收稿日期：２００５．１１．２６：修改日期：２００６．０６．１１
基金项目：国家自然科学基金资助项目（９０５１００１８；５０５３９０２０）
作者简介：方修君（１９８２），男，安徽广德人，博士生，从事水工结构工程研究（Ｅ一瑚ｉｌ：ｆｈｇｘｊ９８＠ｍａｉｌｓ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｃｎ）； ＋金峰（１９６６），男，贵州遵义人，教授，工学博士，从事水工结构工程研究（Ｅ·呦ｉｌ：ｊｉｎｆｅｌ培＠ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ＿ｃｎ）
ａ１１ｄ（ｂ）ｍｉｓｐ叩ｅｒ
以图３中的Ｃ单元为例，其常规自由度刚度关
系可以写为以下形式
后：。＝Ｉ Ｆ（ｘ）ｄ力
（５）
雌，＝｛二：箍戮儡 假设Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数采用以下数值
㈣
则常规自由度与虚节点自由度间的刚度关系可以
写为
露：∥＝１月。（ｘ）Ｆ（ｘ）ｄ力＝ｌ＋Ｆ（ｘ）ｄ．Ｑ—Ｉ，（ｘ）ｄ．Ｑ（７）
，ｅ
锁死又成了另一个难题。为了解决应力锁死问题， 嵌入裂纹模型［３】通过嵌入强化的假定应变来对非连 续面进行空间定位，从而也避免了分离裂纹模型中 需要预先设定非连续界面的问题。但是，嵌入式裂 纹模型是基于单元水平的，它对于非连续场的近似 描述在单元间通常是不协调的。
１９９６年，ＭｅｌｅＩｌｋ和Ｂａｂｕ§ｋａＨ提出了单位分解 的思想，从而把有限元、无网格伽辽金【５】以及数值
为节点位移，式（２）也就可以退化为传统有限元的位 移近似公式。
万方数据
图ｌ基于有限兀网格的覆盖系统及单位分解 Ｆｉｇ．１ Ｐａｔｃｈｅｓ ａｎｄ ｐａｒｔｉｔｉｏｎ ｏｆｕｎｉｔｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＦＥ ｍｅｓｈ
ⅫＥＭ是单位分解方法的一种特例，它将利用
有限元网格的节点影响域生成覆盖系统，以单元形 函数构造单位分解函数；同时它又是传统有限元方 法的扩展，它的位移模式定义在覆盖上，可以包含 非常数项的位移模式。相对于后者来说，ｘＦＥＭ的 这种基于单位分解的位移场函数构造模式提高了 描述复杂位移场的能力，特别是增加了对于演化的 非连续边界进行跟踪的灵活性，避免了网格重划分 工作。
本文在文献［１３】基础上提出以下两点改进： （１）根据Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的性质可以推出，裂纹
万方数据
两个侧面的子域积分存在着一定的关系。
（ａ）
（ｂ）
图４文献［１３］（ａ）与本文（ｂ）的单元子域划分
Ｆｉｇ．４ Ｓｕｂ仃ｉａｎｇｌｅｓ ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ ｗｉｍ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｎ（ａ）Ｒｅｆ［１３］
刁
４（４’）
图２设有虚节点的四边形单元 Ｆ培２ Ｑｕａｄｒｉｌａｔｅｒａｌ ｅｌｅｍｅｎｔ ｗｉｔｈ ｖｉｒｎＪａｌ ｎｏｄｃｓ
当某一节点的影响域被裂纹分成不连续的两 个部分时，该节点对应的虚节点被激活。如图３所 示，Ｃ单元的四个节点对应的虚节点均被激活。以
工程力
学
Ｈ；来表示虚节点对应的未知量，单元Ｃ内的近似位
ＥＸＴＥＮＤＥＤ ＦＩＮＩＴＥ ＥＬＥＭＥＮＴ ＭＥＴＨｏＤ ＢＡＳＥＤ ｏＮ ＡＢＡＱＵＳ
ＦＡＮＧ）（ｉｕ＿ｊｕｎ，＋ⅡＮＦｅｎｇ
（ｓ协ｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆＨｙｄｒｏｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｃｒｉｎｇ，Ｔｓｉｎｇｈｌｌａ ｕｎｉｖｅｒｓｉ饥Ｂｅ酊ｉＩｌｇ ｌｏ００８４，ｃｈｉｌｌａ）
台上，通过二次开发，实现扩展有限元。它有如下 几个特点：（１）使同一类型的单元具有表达不同形 式的位移场的能力。统一的单元构造满足商用程序 接口模块化的需要，不同的虚节点状态则对应变化 的位移描述需要。（２）虚节点的激活取决于节点影 响域内是否要引入新的位移模式，保证了位移模式 在单元问是协调的。（３）在每个节点上可以预设多 个虚节点，虚节点未知量对应的位移模式也可以根 据我们对问题的认识灵活选取，使得单元能够更好 地描述各种复杂的位移形式。 ２．２数值积分
ｐ础ｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｉｍｕｌａｔｅ ｔｈｅ ｍｏＶｉｎｇ ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ．Ｃｒａｃｋ
ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｔ０ ｃｏｉｎｃｉｄｅ ｗｉｔｈ ｅｌｅｍｅｎｔ ｂｏｕｎｄａｒｉｅｓ ｉｎ
ｃｏｕｐｌ咄ｗｉｔｈ ）（ＦＥＭ ａｎｄ ｒｅ－ｍｅｓｈｉｎｇ ｃａｎ ｂｅ ａＶｏｉｄｅｄ．Ｔｈｅ
万方数据
工
程
力
学
７
流形【６ｊ等方法纳入统一的数学基础上来。扩展有限 元方法ｆＸＦＥＭ：ｅＸｔｅｎｄｅｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅ１ｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏ酣”刈 亦是单位分解方法的一种特例，它利用有限元的形 函数作为一组单位分解函数，通过引入非连续位移 模式来描述非连续性位移场。同基于单元层次的嵌 入非连续方法相比，扩展有限元方法是基于节点影 响域的，能够保证对非连续界面的描述在单元间协 调。Ｄｏｌｂｏ“１０Ｊ、Ｍｏｅｓ㈦利用ＸＦＥＭ对裂纹扩展过 程进行了模拟，ＳｕｈｌＩｌｌ盯【ｌ ２Ｊ基于Ⅺ７ＥＭ对孔洞、夹 杂问题进行了研究。但是，由于ｘＦＥＭ是基于节点 影响域的，因而难以在普遍基于单元的各种有限元 软件平台上实现。
数蛾（ｘ）和单元节点位移毗来表达
旷（ｘ）＝∑孵（ｘ）‰
（１）
七ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中，ｘ是空间坐标，下标．ｊ｝代表单元的节点。
ｘＦＥＭ方法［７￣９］贝０利用有限元形函数构造出求
解域上的一组单位分解函数，将节点相邻单元组成
的节点影响域看作一组覆盖，通过在每个覆盖上定
义位移模式，相应的全域的位移近似描述可以写为
‰ｐ（ｘ）＝∑％（ｘ）∑乃ｐ，（ｘ）
■Ｐ
０Ｐ
将式（５）代入式（７）可以得到
露：厂２ Ｊ Ｐ＋Ｆ（ｘ）∽一露：”＝一２ Ｊ。一Ｆ（ｘ）加＋詹：”（８）
从上式可以看出，对于ＨｅａＶｉｓｉｄｅ函数在裂纹两侧 取不同常数的情形，只需对其中一侧进行单元内的 子域积分即可。
表ｌ ｘＦＥＭ数值积分流程
Ｔａｂｌｅ １ Ｆｌｏｗｃｈａｒｔ ｏｆｎ咖ｅｒｉｃａｌ血ｅ掣ａｔｉｏｎ ｉｎⅫＥＭ
第２４卷第７期Ｖ－０１．２４Ｎｏ．７
工程力
学
２００７年７月
Ｊｕｌｙ ２００７
ＥＮＧＩＮＥＥＲ玳Ｇ ＭＥＣＨＡＮｌＣＳ
６
文章编号：１０００－４７５０（２００７）０７－０００６．０５
基于ＡＢＡＱＵＳ平台的扩展有限元法
方修君，＋金峰
（清华大学水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京１０００８４）
摘 要：以ＡＢＡＱｕｓ为平台，提出了一种预设虚节点法，首次在通用有限元程序上嵌入了扩展有限元法的功能。 推导了扩展有限元法中的子域积分同Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数的关系，并改进了一种三角形子域积分算法。对三点弯梁的 开裂过程进行了模拟。计算结果表明，扩展有限元法对非连续位移场的表达不依赖于单元边界，是一种模拟裂纹 扩展过程等涉及移动非连续问题的有效方法。与通用有限元软件的结合则为应用该方法解决实际复杂问题提供了 方便的途径。 关键词：单位分解；扩展有限元；虚节点；开裂过程；移动非连续 中图分类号：ＴＶ３１３ 文献标识码：Ａ
ｄｊｓｃｏｎｔｊＩ】ｕｊｔｊｅｓ
传统的有限元方法模拟混凝土开裂过程通常 基于两大类模型：分离裂纹模型【１ｊ和弥散裂纹模 型Ｌ２Ｊ。对于模拟裂纹扩展过程的这类移动非连续问 题的模拟，使用分离裂纹模型需要对裂纹扩展路径 有良好地预测，否则需要不断调整有限元网格来适 应演化的非连续界面。弥散裂纹模型模拟移动非连 续问题不需要进行网格调整，但如何避免由于其近 似位移场中非连续位移模式的缺失而导致的应力
１全域按单元循环 ①积分求常规自由度刚度关系（高斯积分） ②是否有虚节点对应的自由度被激活，是，至⑨；否，至⑧ ③单元是否与裂纹面相交：是，至④；否，至⑧ ④选择单元被裂纹分割开的两部分之一为积分区域ｆ当单元被分 成三角形＋五边形时，取三角形部分）
⑤子域划分：四边形积分域——４个顶点的坐标平均得到域内某点
２ 基于ＡＢＡＱＵＳ实现扩展有限元方 法的嵌入
２．１预设虚节点法 在传统有限元方法中，节点自由度数和单元形
函数取决于单元类型和节点几何位置。同一类型的 单元，近似位移场的描述具有统一的形式，而且这 种形式不随求解问题过程的变化而变化。为了在传 统有限元软件ＡＢＡＯＵＳ中实现扩展有限元，必须 使位移描述能够更加灵活地适应问题求解过程中 不连续面的变化，本文提出在ＡＢＡＱｕＳ的单元每 个节点的同一位置上分别设有相应的虚节点，如图 ２所示。相对应的虚、实节点除位置相同外，还具 有一致的形函数。
场仍然是连续的。由于位移模式日（ｘ）是基于节点３
和节点１０的影响域引入的，所以尽管单元Ｂ并不 与裂纹相交，式（４）所表示的位移场函数中仍需要包 含日（ｘ）项。而对于Ａ、Ｅ两单元则没有虚节点被激
活，位移场表达式仍为式（１）。
Ａ
１２
１１
Ｂ
Ｃ
Ｄ
１０（１０’）
９（９’）
８
Ｅ
７
２
３（３’）
４（４’）
５
６
裂纹
图３虚节点的激活 Ｆ培．３ Ａｃｔｉｖａｔｉｏｎ ｏｆ Ｖｉｒｔｕａｌ ｎｏｄｅｓ 利用预设虚节点法就可以在ＡＢＡＱＵＳ软件平
本文提出了一种预设虚节点法，在大型有限元 软件ＡＢＡＱｕＳ上实现了扩展有限元法功能；还提 出了一种数值积分方案，能够控制子积分域的奇异 性和提高计算效率。通过对三点弯梁脆断过程的模 拟证明了本文基于ＡＢＡＱＵＳ的扩展有限元法对于 连续——非连续过程的模拟具有较好的适用性。
１扩展有限元法
传统有限元对位移场的描述是基于单元的，单 元之间的位移可以是协调的，也可以是不协调的， 但是，每个单元内部的位移场旷（ｘ）总是通过形函
坐标，以该点为中心将积分域分成４个子三角形；三角形积分域分 别取各边中点连线，积分域划为４全等的子三角形 ⑥在三角形子域上进行数值积分 ⑦根据公式ｆ８）求出常规自由度与虚节点自由度间的刚度关系 ⑨结束当前单元积分 ２结束单元循环
当单元内位移场不连续时，如何对该单元进行 相应的数值积分十分重要。在有限元中广泛采用的 一些基于连续函数的数值积分方法此时已不再适 用。Ｄ０１ｂｏｗ在文献［１３］中采用了子域积分求和法， 如图４所示。其核心思想是根据非连续边界的位置 将单元划分成若干子域，使被积函数在各子域上是 连续的。这样，单元积分就可以表示为各子域积分 之和。
（２）
ｉ
Ｊ
式中，下标ｆ表示节点影响域，Ｍ（ｘ）为定义在节点
影响域上的单位分解函数，是该节点在其影响域内
所有单元上形函数的合并，如图１所示。｛ｐｉ（ｘ）｝是
局部近似空间上的一组基，它可以是连续的，也可 以是断续的。例如当有非连续界面穿过某一节点的 影响域时，可以选择Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数作为其中的一 项，从而采用断续的基向量来表达非连续界面带来 的位移不连续。当仞，（ｘ））仅含有常数项时，既即
移场可写为：
玎（ｘ）＝∑Ⅳｆ（ｘ）（峨＋彬Ｈ（ｘ））
（３）
ｆ－３，４，９，１０
其中Ⅳ（ｘ）为Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数，用来表示Ｃ单元内位
移场的不连续。单元Ｂ内的位移场为
Ｈ（ｘ）＝∑Ⅳｆ（ｘ）（Ｈｆ＋甜≯（ｘ））＋∑Ⅳｆ（ｘ）吩 （４）
ｆ＿３．１０
扛２．１１
Ｈ（ｘ）只在裂纹面上是间断的，故式（４）描述的位移