【素材】第一章第五节_证明线面垂直的四种方法

证明线面垂直的四种方法

直线与平面垂直是空间元素中最重要的关系之一，是建立空间概念的主要支柱，而直线与平面垂直的证明也常有以下四种方法，下面分类举例解析，供参考。

一、运用直线与平面垂直的判定定理若一条直线与平面

内的两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面。

例1 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，

D为CC1的中点，求证AB1⊥平面A1BD。

证明：由题意知，四边行ABB1A1是正方形，则AB1⊥

A1B；取BC中点E，连AE，EB ，则AE⊥BC，在正三棱柱中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，故AE⊥面BB1C1C，又BD⊂面BB1C1C，所以AE⊥BD，在正方形BB1C1C中又D为CC1中点，易证△BC D≌△BB1E，得∠EB1B=∠DBC，而∠DBC+∠DBB1=90°，则∠EB1B+∠DBB1=90°，故EB⊥BD，又AE∩EB=E，∴BD⊥平面AEB1，∴BD⊥AB1，又A1B∩BD=B，故AB1⊥平面A1BD。

点评：在本题的证明中，多次证明了直线与平面垂直，其中直线与平面垂直的判定定理是常用判定方法，必须深刻理解这个定理的内涵与实质。

二、运用直线与平面垂直的第二判定定理若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。

例2 已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ。

证明：如图，要证l⊥γ，则由线面垂直第二判定定理知，只

需证l平行于γ的一条垂线即可。设α∩γ=c，β∩γ=d，在α

内任取一点A，作AQ⊥c于Q，则AQ⊥γ。同理，在β内任取一点B，作BR⊥d于R，则BR⊥γ，且AQ∥BR。又

AQ⊄β，BR⊂β，故AQ∥β，由α∩β=l，得AQ∥l，而AQ⊥γ，故l⊥γ。

点评：此证法可能不是此题的最简证法，但说明了一个道理，每一条路都可能是成功之路，只是对问题的理解角度不同罢了。

三、运用课本中的已证命题：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

例3 如图，已知ABC—A1B1C1为正三棱柱，D、E分别为AC、

A1C1的中点，CF⊥C1D于F，求证：CF⊥平面B1EA。

证明：∵正三棱柱ABC—A1B1C1中，D、E分别是AC、A1C1的中点。∴BB1平行等于DE，∴四边形BB1ED是平行四边形，∴B1E∥BD，又 EC1平行等于AD，四边形EC1DA是平行四边形，∴AE∥C1D，∴平面B1EA∥平面BC1D；在正三棱柱中，由侧面A1C1CA⊥底面ABC，又易知BD⊥AC，则BD⊥平面ACC1A1，又BD⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面ACC1A1，且交线为C1D，而CF⊂平面ACC1A1且CF⊥C1D，∴CF⊥平面BDC1，∴CF⊥平面B1EA。

点评：此题中已知条件较多，围绕证题目标，正确选择解题方案、清晰地表述解题过程是立体几何证题的重要环节。

例4 如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD-2AB=2，M为PC的中点，在△PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD。

解析：∵M为PC的中点，取PD中点E，则M E∥CD且

M E=1

2

CD，又AB∥CD且AB=

1

2

CD，∴M E∥AB且M E=AB，即

四边形ABME是平行四边形；又PA⊥AB，AD⊥AB，∴AB⊥平

面PAB，因此AB⊥AE，四边形ABME是矩形，又PD⊥AB，

由PA=AD且E为PD中点得PD⊥AE，∴PD⊥平面ABME。而平面PB D∩平面ABME=BE，

作MN⊥BE于F，则MN⊥平面PB D，其中ME=1

2

CD=1，2tan∠

2

,EN=ME·tan

∠EMN= ME·tan∠MBE=1

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，即N为AE中点时，MN⊥平面PBD。

点评：本题是存在性探索题，首先围绕使结论成立的目标进行论证，然后再确定点的位置，而通过平面与平面垂直，证直线与平面垂直是非常有效的方法。