2.3.2抛物线的简单几何性质(一)

图 形
y
l
O F
方程
焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈ R x≤0 x轴
e
y2 = 2px p p F ( , 0 ) x x （p>0） 2 2
l
y
F O
y2 = -2px p p F ( ,0 ) x 2 x（p>0） 2
p x2 = 2py p F (0, ) y 2 2 x （p>0）
解:F(1,0), 直线l:y=x-1
y x 1 2 消 y 得： x 6x 1 0 2 y 4 x 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
l
A
法1：解得：x1 3 2 2，x2 3 2 2 y1 2 2 2，y2 2 2 2 B
练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）
方程 焦点 准线 开口方向
3 2
y 6x
2
F ( ,0)
3 2
x
开口向右 开口向左
y 4 x
2
F (1,0)
x 1
y 1
x 4y
2
F (0,1)
7 8
开口向上
开口向下
2 x 7 y 0 F (0, )
2
y
7 8
一、抛物线的几何性质
公共点; 1 你能通过作图 当 k 1, 或k 时，直线 l 与抛物线没有公共 2 验证这些结论 点. 吗？
1 当1 k 0或0 k 时，直线 2
于是，当 k 1，或 k
1 2
l与抛物线有两个
（三）、例题讲解：
练习5：已知直线y=kx+2与抛物线 y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为
AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 8 x1 x2 1 法2： x1 x2 6
2 2
AB 1 k 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 2 36 4 8 8 x 1 x 1 AB AF BF 1 2 x1 x2 6 法3：
y∈R
(0,0) 1
y
O
F
y≥0
x∈R y轴 y≤0
l
y
O F
= -2py F (0, p ) y p x（p>0） 2 2 x2
l
x∈R
（三）、例题讲解：
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M（２， 2 2 ），求 它的标准方程，并用描点法画出图形。
解： 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐
1、范围
y
P(x,y)
由抛物线y2 =2px（p>0）
而
o
F(
2 px y 0 p0
2
p ,0 ) 2
x
所以抛物线的范围为 x 0
抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱ 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。
x0
2、对称性
( x, y)
关于x轴
对称
( x, y )
2.3.2 抛物线的几何性质（1）
07.01.05
1、抛物线的定义：
我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线. 2 y 抛物线 y 2 px 的
焦点坐标是：
p 准线方程为： x 2 .
p ,0 2
O
P ( x0 , y0 )
F
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的
线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：|PF|=x0+p/2
1.抛物线只位于半个坐标平面内 ,虽然它可以无 y2=4x 限延伸,但它没有渐近线; y2=2x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
AB 8
例 1. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点,且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.
（三）、例题讲解：
课本例4P61：斜率为1的直线l 经过抛物线 y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点， 求线段AB的长。
课本例题推广： 直线l 经过抛物线y2=2px的焦点, 且与抛物线相交于A，B两点，则线段 AB的长|AB|=x1+x2+P.
（三）、例题讲解：
练习2：若直线l 经过抛物线y2=4x的 焦点, 与抛物线相交于A，B两点,且线 段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的 长.
2
p 0 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA与 x
轴正向的夹角为 60 则 OA 为
2
3）抛物线 y x 上的点到直线 4x 3 y 8 0
4 A. 3
21 p 2
;
的距离的最小值是（
7 B. 5
） A
8 C. 5
D .3
小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、
y
P(x,y)
由于点( x, y ) 也满
o
足 y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物 线的轴。
F(
p ,0 ) 2
x
３、顶点
定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线
的顶点。
由y2 = 2px （p>0）当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点（0，0）。
4
y2=x 1 2 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; y = x
3 2 1
2
-2
2
4
6
8
10
-1
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
-2 -3 -4
4.抛物线的离心率是确定的e=1;
-5
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响. P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！
（二）归纳：抛物线的几何性质
当 k 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= 16(2k k 1)
2
1 ①当△=0 时, k 1或 . 2 这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点.
② 由 0, 即
2k k 1 0,
2
解得
1 1 k . 2
2
于是，当 1 k 1 , 且k 0 与抛物线有2个公共点.
A .1 B .1或 3 C .0 D .1或 0
总结：
判断直线与抛物线位置关系的操作程序： 把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离
相交（一个交点）
相交
4.探究抛物线中焦点弦问题
[典例] 已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，且
y 2 px
2 2
+X，x轴正半轴，向右
-X，x轴负半轴，向左 +y，y轴正半轴，向上 -y，y轴负半轴，向下
o
F(
p ,0 ) 2
x
y 2 px x 2 py
2 2
x 2 py
补充（1）通径： （标准方程中2p的几何意义）
y
通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．求证：
2 p (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ 4 ；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
1)过抛物线 y 8x 的焦点,作倾斜角为 45 的直线,则被抛物线截得的弦长为 16 ; 2 2)设 o是坐标原点， 是抛物线 y 2 px F
例 3. 已知抛物线的方程为 y 2 4 x , 直线 l 过定点 P (2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 , 直线 l 与 抛物线 y 4 x : ⑴ 只有一个公共点 ; ⑵ 有两个公 共点;⑶ 没有公共点?
2
分析 : 用坐标法解决这个问题 , 只要讨论直线 的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况 , 由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点 个数.
解:依题意直线 l 的方程为 y 1 k ( x 2)
y 1 k ( x 2) 2 x 消去 可得 ky 4 y 4(2k 1) 0 (Ⅰ) (*) 联立 2 y 4x 你认为是消 呢,还是消 y 呢? 当 k 0 时,方程(Ⅰ )只有一解,∴x 直线与抛物线只有一个公共点 .
l
d
.M .
F
K
O
x
前面我们已学过椭圆与双曲线 的几何性质,它们都是通过标准方 程的形式研究的,现在请大家想想 抛物线的标准方程、图形、焦点 及准线是什么?
图 形
y
l
O F x l O
方 程
焦 点
准 线
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
p F ( ,0 ) 2 p F ( ,0 ) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ) 2
③ 由 0, 即
时，方程（Ⅰ）有2
个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线 l
2k k 1 0,
2
解得
1 k 1或k . 2
时，方程没有实数解， 从而方程组（Ⅰ）没有解，这时，直线 l 与抛物线没 有公共点. 综上可得： 1 当 k 1, 或k , 或k 0 时 ，直线 l与抛物线只 2 有一个公共点;
标原点，并且经过点M（２， 2 2 ），
所以设方程为： 所以： (2
y 2 px ( p 0)
2
2
又因为点M在抛物线上：
2) 2 p 2 p 2
4x
2 因此所求抛物线标准方程为： y
y 4x 作图：
2
(1)列表（在第一象限内列表）
x
y
0
1
2
3
4
…
…
0
2
y
2.8 3.5
y
P(x,y)
o
F(
p ,0 Hale Waihona Puke Baidu 2
x
注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。
4、离心率
y
P(x,y)
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比，叫做抛物线 的离心率，由抛物线的 定义，可知e=1。
o
p F ( ,0 ) 2
x
5、开口方向
y
P(x,y)
抛物线y2 =2px（p>0）的开 口方向向右。
4
(2)描点：
(3)连线：
1
O
1
x
思考：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐
标原点，并且经过点M（２， ），求它的标准方 2 2 程。
例 2. 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 4 x 的焦 点, 且与抛物线相交于 A 、B 两点,求线段 AB 的长.
想 一 想
这是一道简单，但解法 丰富的典型的抛物线问题， 你能给出它的几种解法吗？
y
F
x
（p>0）
x2 = 2py （p>0） x2 = -2py
y
O
F x
l
y
O F
l
x
（p>0）
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
• 一次项的变量如果为x（或y）则轴x（或y轴） 是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定 开口方向。 • 例如抛物线x2 =-3y，则y为对称轴，开口方向 和y轴的正方向相反。
离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;
•谢谢！