高中数学必修一对数及对数函数

2.2.1第一课时 对数的概念教案

1．对数的概念：

定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b

=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数

例如：1642= ⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=

2421

= ⇔2

12log 4= ; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，

2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln

②基本性质：

1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ，

3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N a N a =log

③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则

1）N M MN a a a log log )(log +=；

2）N M N

M a a a log log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a a

N N m m a 1）1log log =⋅a b b a ， 2）.log log b m

n b a n a m = （要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是函数一章中的难点，又是学好对数函数的基础，要学好它，必须具备：

1. 有指对数互化的意识

由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此在处理指数或对数运算时，往往将它们相互转化。

例1. 已知n 3log ,m 2log a a ==，求n 3m 2a -的值。

2. 有根据换底公式，换为同底的意识

对数的运算公式都是建立在同底的基础上的，但在实际的运算中，底数往往不同，而换底公式的主要功能是将底数不相同的对数，换为相同的底数，进而可采用对数的运算公式。

例2. 计算9

1log 81log 251log 532

⨯⨯

例3. 设b 7log ,a 2log 33==，试用a ，b 表示log 4256。

[当堂检测]

1、求值：412log ，log 48

2、计算：（1）lg1+lg10+lg100

（2）lg0.1+lg0.01+lg0.001

3、已知116log 4x =-，求x 。

[巩固练习]

1、下列各式中正确的有 个。

（1）log 416=2

（2）4161log 2= （3）lg100=2 （4）lg0.01=-2

2、若log z =则 。 A 、y 7=x z B 、y=x 7z C 、y=7x z D 、y=z 7x

3、log log log b c N

a b c a = 。

4、求x 的值：22(321)21log

1x x x +--=

5、(log )24[log ]

8log x =0，求x 。

9 化简下列各式： (1)5

1lg 5lg 32lg 4-+；

(2)536lg 27lg 321240lg 9lg 211+--+

； 10 利用对数恒等式N a N log a =，求下列各式的值：

(1)5log 4log 3log 354)3

1()51()41(-+

(2)2

log 2log 4log 7101.0317103-+

11 化简下列各式：

(1))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+-

12 已知a 5log 3=，75b =，用a 、b 的代数式表示105log 63=________．

2．对数函数：

①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数，

1）函数的定义域为),0(+∞， 2）函数的值域为R ，

3）当10<a 时函数为增函数，

4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x

且互为反函数.

②

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，

2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）.

4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a a 1log log ==与的图象关于x 轴对称.

③函数值的变化特征：

10<a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， 010><>y x 时， ②01==y x 时，

1

00<<

对数函数练习题

1 (1))1x (log y 3-= 的定义域为_________值域为____________.

(2)22x log y = 的定义域为__________值域为_____________． 2 求下列函数的定义域： (1))2x 3(log x 25y a 2

--=； (2))8x 6x (log y 2)1x 2(+-=-； (3))x (log log y 212=．

3 (1)已知3log d 30log c 3b 30a 303303....====，，，，将a 、b 、c 、d 四数从小到大排列为_____________________．

(2)若02log 2log m n >>时，则m 与n 的关系是( )

A ．m>n>1

B ．n>m>1

C ．1>m>n>0

D ．1>n>m>0

4 (1)若a>0且a ≠1，且14

3log a

<，则实数a 的取值范围是( ) A ．0或 D ．43a 0<<或a>1 (2)若1

A ．a

B ．a

C ．c

D ．c

5 已知函数)x 35(log y )4x 2(log y 3231-=+=，．

(1)分别求这两个函数的定义域；

(2)求使21y y =的x 的值；

(3)求使21y y >的x 值的集合．

6 已知函数)x 1x lg()x (f 2-+=

(1)求函数的定义域；

(2)证明f(x)是减函数．