二次函数与一元二次方程课件.ppt

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15 -15 -10 -5 -3 0
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10 15
数学应用：
例1 求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两 个不相等的实数根。
证法一： 因为 △ ＝32－4×2×（－7）
=65 >0 所以方程有两个不相等的实数根。
证法二：
设 f(x)=2x2+3x-7 因为函数的图象是一条开口向上的抛物线， 且
课堂练习：
已知函数 f(x)=-x2+4x+12 （1） 求出该函数的零点； （2） 试证明方程f(x)=0有两个不等的实数
根，且两根分别在区间(-3,-1)和(5,7)内。
总结：
二次函数和一元二次方程是一个有机的整体， 函数y= ax2+bx+c (a≠0)的零点就是方程f(x)=0的 实根。在利用二次函数的图象和性质讨论一元二 次方程的实根分布时，经常会用到以下结论：
f(0)=-7<0, 所以函数的f(x)图象与x轴有两个不同的交点， 即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。
例2 图2是一个二次函数y=f(x)的图象。
（1） 写出这个二次函数的零点；
（2）写出这个二次函数的解析式；
（3） 试比较f(-4)f(-1),f(0)f(2)与0的大
小关系。
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图1
-44
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
就是二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)的值为0时自 变量x的值，
也就是函数的图象与x轴交点的横坐标，
因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 也称为函数y= ax2+bx+c (a≠0)的零点。
当a>0时,可以得到方程ax2+bx+c=0的根与函数y= ax2+bx+c的图象之间的关系,如下表所示.
f(-4)=-5, f(-1)=4, f(0)=3, f(2)=-5 所以
f(-4)f(-1)=-20<0, f(0)f(2)=-15 <0.
思考：若x0 是二次函数y=f(x)的零点，且m< x0
<n，那么 f(m) f(n)<0一定成立吗？
课堂练习：
书P76 练习 1 , 2 , 3 , 4
对于一元二次函数y= ax2+bx+c (a≠0) ， 如果存在实数m,n，使得m<n且f(m)f(n)<0， 那么在区间(m,n)上，必存在f(x)=0两根中 唯一的一个实数根 。
谢谢
△ =b2-4ac △ >0
ax2+bx+c=0 方程有两不
(a>0)
相等的实数 根
△ =0
方程有两相 等的实数根
△ <0
方程无实数根
y= ax2+bx+c (a>0)
-15 -10
5 4 3 2 1 0 -5 -1 0 -2 -3 -4 -5
120
100
80
60
5
10
15
40
20
0
-15 -10 -5
问题情境：
二次函数y= ax2+bx+c (a≠0) 与一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0) 有什么样的关系？怎样用
函数的方法研究方程的根的有关问题？
ห้องสมุดไป่ตู้
学生活动：图1是二次函数y=x2-2x-3的图象。 观察图象，指出x取那些值时，
y=0.
y
4
y=x2-2x-3
2
-5
-1
8 1A
35
5
-2
y=f(x) 2
-5
-3
-1
1
5
-2
-4
解 （1）有图象可以知道此函数的零点是
x1=-3, x2=1
（2）根据（1），可知这个二次函数的解
析式为
f(x)=a(x+3)(x-1),
由f(-1)=4可知a=-1，故
f(x)=-(x+3)(x-1), 即这个二次函数的解析式为
（3）因为
f(x)=-x-22x+3