复变函数全课件-北京交通大学[内容充实]
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任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义. 高等课讲
高等课讲
7
§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
高等课讲
8
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
19
高等课讲
20
高等课讲
21
由向量表示法知
y
(z)
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得 :
z1
z2 z1 z2 z1 (三角不等式)
高等课讲
5
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
高等课讲
9
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
高等课讲
11
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
Baidu Nhomakorabea
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
记作
辐角 : Argz
z 0 OP 0
高等课讲
y
P(x,y)
z r
o
xx
16
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定.
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan y x
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
高等课讲
17
当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctan y
2
x2
高等课讲
18
高等课讲
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
拉斯变换等
高等课讲
4
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
( z1 ) z1 z2 z2
z z 2i Im(z)
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1 z
|
z z |2
高等课讲
12
例1 : 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 z1 ,( z1 )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
高等课讲
6
•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数 研究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流 体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
15
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模：| z || OP | r x 2 y2 ,
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
高等课讲
10
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即，
解 : z1 5 5i 7 i z2 3 4i 5
例2 : 求
1 i 4
1i
1i i 1 i
高等课讲
13
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
高等课讲
14
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则
复变函数与积分变换（B）
教材 《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室 编
2013-2014学年第一学期
高等课讲
1
联系方式
• 闻国光 • 理学院数学系 • 电子邮件： guoguang.wen@bjtu.edu.cn
高等课讲
2
2013年9月3日
第一章 复数与复变函数
高等课讲
3
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）
平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义. 高等课讲
高等课讲
7
§1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数
高等课讲
8
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi
为复数.
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
19
高等课讲
20
高等课讲
21
由向量表示法知
y
(z)
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得 :
z1
z2 z1 z2 z1 (三角不等式)
高等课讲
5
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域 •在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清 楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时 期人们把复数看作不能接受的“虚数” •直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与 L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意 义和物理意义，澄清了复数的概念 •应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些 问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和 发展.
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等
z1 z2 x1 x2 , y1 y2 ,其中z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小.
高等课讲
9
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1+z2=z2+z1； z1z2=z2z1； (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)； z1(z2z3)=(z1z2)z3； z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
高等课讲
11
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
Baidu Nhomakorabea
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
记作
辐角 : Argz
z 0 OP 0
高等课讲
y
P(x,y)
z r
o
xx
16
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定.
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan y x
2
x 0, y R
x 0, y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
高等课讲
17
当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctan y
2
x2
高等课讲
18
高等课讲
主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分
主要内容 复数与复变函数、解析函数、
复变函数的积分、级数、留数、
共形映射、傅立叶变换和拉普
拉斯变换等
高等课讲
4
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
( z1 ) z1 z2 z2
z z 2i Im(z)
(3)zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2
1 z
|
z z |2
高等课讲
12
例1 : 设z1 5 5i, z2 3 4i, 求 z1 ,( z1 )及 它 们 的 实 部, 虚 部 . z2 z2
高等课讲
6
•十九世纪奠定复变函数的理论基础 •三位代表人物: • A.L.Cauchy （1789-1866) •K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数 研究复变函数 •G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映 照性质 •通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论， 且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流 体力学和电学等方面也得到了很多的应用.
15
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模：| z || OP | r x 2 y2 ,
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
i
x2 y1 x1 y2 | z2 |2
(z2 0)
高等课讲
10
•运算规律
复数的运算满足交换律、结合律、分配律. （与实数相同）即，
解 : z1 5 5i 7 i z2 3 4i 5
例2 : 求
1 i 4
1i
1i i 1 i
高等课讲
13
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
高等课讲
14
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则
复变函数与积分变换（B）
教材 《复变函数》(四版)
西安交通大学高等数学教研室 编
2013-2014学年第一学期
高等课讲
1
联系方式
• 闻国光 • 理学院数学系 • 电子邮件： guoguang.wen@bjtu.edu.cn
高等课讲
2
2013年9月3日
第一章 复数与复变函数
高等课讲
3
对 象 复变函数（自变量为复数的函数）