五年级立体几何拓展----三视图专属奥数讲义

学科教师辅导讲义

班级：

辅导科目：小学思维

年级：五年级

学科教师：上课时间

授课主题立体几何拓展----三视图

知识图谱

错题回顾

知识精讲

一.三视图

在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察. 角度不同，看到的风景就会不同•比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和

左视图•并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是

相同的•对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积. 二•正方体的展开图三•长方体的展开图

重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积.

上

后

/

■I

a

丄■ ■

*

r

------------- ►左下右

刖

展开后由上、下、左、右、前、后＞六个正

方形面组成，这六个正方形

面的面积都相等.

观察上图可以发现，长方体的展开图由

后面1

左面：下面

1

1

右面

、＞■ —

1~*■ 刖面

上面

6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面F面=长^宽，左面=右面=宽乂高，前面=后面=长乂高.

四.判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法.

判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，

断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断.

首先，要依据它们各自展开图的特点判我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图.

长

题模精选

题模一：展开图与对立面

例1.1.1

一个正方体的六个面上分别写着

A B , C, D, E, F 六个字母•请你根据图中的三

【解析】 由于正方体的6个面上写了 6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能 出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对.

第一步，先看前2种摆放情况：在这 2种摆放情况中，只有字母 B 出现了 2次，那么由第 一种摆放可知，B 不与

A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，

B 不与

C 相对，也不 与E 相对•那么在所有的字母中， B 只能与D

相对.

第二步，再看后2种摆放情况：在这 2种摆放情况中，只有字母 E 出现了 2次，那么由第 二种摆放可知，E 不与

B 相对，也不与

C 相对；由第三种摆放可知， E 不与

D 相对，也不 与F 相对•那么在所有的字母中，

E 只能与A 相对.

正方体有三个对面，因 B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是

C 与F 相对.

例1.1.2图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的， 请你利用图中已知的信息，判断A

B C 的对面分别标的是哪个字母？

【答案】 A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E

【解析】 由已知条件，标有 C ，D 的两个面不能相对，那么或 A 的对面标有D ，或B 的 对面标有D .

如果标有D ，A 的两个面相对，那么

标有C ，D 的两个面不能相对”，标有E ，A 的两个面

的面上，那么只能是标有 E ，C 的两个面相对，而标有 F ，B 的两个面相对•经检验，这种

情况满足题目要求.

如果标有D ，B 的两个面相对，那么由于标有 E ，A 的两个面也不能相对，于是标有 A 的对 面就是标有F

的面，而

也不能相对”这两个条件都可以满足•注意到当

D 在朝右的面，

E 在朝上的面时，

F 在朝前

标有C的对面就是标有E的面•此时D在朝后的面上，E在朝左的面上，F在朝下的面上•我们把六面体旋转，把D转到朝右的面，并把E转到朝上的面，

此时朝前的面上标的是 A ，而朝后的面上标的是 F ，与题意不符.

综上所述，满足题意的答案只有一个： A 的对面标有D ，B 的对面标有F ,C 的对面标有E .

例1.1.3如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着 ABCDE 六个字 母•其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对•现在将木块标有字母

A 的那个面朝上，标

有字母D 的那个面朝下放在第 1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动， 当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？

【答案】 字母A

【解析】 发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致. 那么木块

朝其它方向滚时也有类似的情况，

即木块向任意方向连滚 4格，它的各个面上标的字母不变.

所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第 1格时的情况完全一致.再向下 滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第 21格，每次都是朝同一方向滚 4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格 木块向上的面上总是写的字母 A .

例1.1.4如图，在一个正方体的表面上写着 1~6这6个自然数，并且1对着4, 2对着5, 3 对着6.现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示.如果只知道 1和2所在

的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？

【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面.

如图1,观察虚线圈住的部分，可以发现写有 1 , A , B 的三个面两两相邻；再观察图 2的虚

线圈住的部分，发现写有 A , B , C 的三个面也两两相邻•此时，写有

1的面与A 面，B 面

都相邻，C 面也与A 面，B 面都相邻，因此写有 1的面与C 面相对，即C 面上写的是4.

1与C 相对， C 面上写的是4

图1

图2