五年级立体几何拓展----三视图专属奥数讲义

学科教师辅导讲义
班级：
辅导科目：小学思维
年级：五年级
学科教师：上课时间
授课主题立体几何拓展----三视图
知识图谱
错题回顾
知识精讲
一.三视图
在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察. 角度不同，看到的风景就会不同•比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和
左视图•并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是
相同的•对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积. 二•正方体的展开图三•长方体的展开图
重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积.
上
后
/
■I
a
丄■ ■
*
r
------------- ►左下右
刖
展开后由上、下、左、右、前、后＞六个正
方形面组成，这六个正方形
面的面积都相等.
观察上图可以发现，长方体的展开图由
后面1
左面：下面
1
1
右面
、＞■ —
1~*■ 刖面
上面
6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面F面=长^宽，左面=右面=宽乂高，前面=后面=长乂高.
四.判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法.
判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，
断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断.
首先，要依据它们各自展开图的特点判我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图.
长
题模精选
题模一：展开图与对立面
例1.1.1
一个正方体的六个面上分别写着
A B , C, D, E, F 六个字母•请你根据图中的三
【解析】 由于正方体的6个面上写了 6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能 出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对.
第一步，先看前2种摆放情况：在这 2种摆放情况中，只有字母 B 出现了 2次，那么由第 一种摆放可知，B 不与
A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，
B 不与
C 相对，也不 与E 相对•那么在所有的字母中， B 只能与D
相对.
第二步，再看后2种摆放情况：在这 2种摆放情况中，只有字母 E 出现了 2次，那么由第 二种摆放可知，E 不与
B 相对，也不与
C 相对；由第三种摆放可知， E 不与
D 相对，也不 与F 相对•那么在所有的字母中，
E 只能与A 相对.
正方体有三个对面，因 B 与D 相对，E 与A 相对，那么第三组对面上一定是
C 与F 相对.
例1.1.2图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的， 请你利用图中已知的信息，判断A
B C 的对面分别标的是哪个字母？
【答案】 A 的对面标有D ，B 的对面标有F ，C 的对面标有E
【解析】 由已知条件，标有 C ，D 的两个面不能相对，那么或 A 的对面标有D ，或B 的 对面标有D .
如果标有D ，A 的两个面相对，那么
标有C ，D 的两个面不能相对”，标有E ，A 的两个面
的面上，那么只能是标有 E ，C 的两个面相对，而标有 F ，B 的两个面相对•经检验，这种
情况满足题目要求.
如果标有D ，B 的两个面相对，那么由于标有 E ，A 的两个面也不能相对，于是标有 A 的对 面就是标有F
的面，而
也不能相对”这两个条件都可以满足•注意到当
D 在朝右的面，
E 在朝上的面时，
F 在朝前
标有C的对面就是标有E的面•此时D在朝后的面上，E在朝左的面上，F在朝下的面上•我们把六面体旋转，把D转到朝右的面，并把E转到朝上的面，
此时朝前的面上标的是 A ，而朝后的面上标的是 F ，与题意不符.
综上所述，满足题意的答案只有一个： A 的对面标有D ，B 的对面标有F ,C 的对面标有E .
例1.1.3如图，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着 ABCDE 六个字 母•其中A 与D 相对，B 与E 相对，C 与F 相对•现在将木块标有字母
A 的那个面朝上，标
有字母D 的那个面朝下放在第 1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动， 当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪个字母？
【答案】 字母A
【解析】 发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与初始时的情况完全一致. 那么木块
朝其它方向滚时也有类似的情况，
即木块向任意方向连滚 4格，它的各个面上标的字母不变.
所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第 1格时的情况完全一致.再向下 滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第 21格，每次都是朝同一方向滚 4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格，第21格 木块向上的面上总是写的字母 A .
例1.1.4如图，在一个正方体的表面上写着 1~6这6个自然数，并且1对着4, 2对着5, 3 对着6.现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图所示.如果只知道 1和2所在
的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）？
【解析】 对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面.
如图1,观察虚线圈住的部分，可以发现写有 1 , A , B 的三个面两两相邻；再观察图 2的虚
线圈住的部分，发现写有 A , B , C 的三个面也两两相邻•此时，写有
1的面与A 面，B 面
都相邻，C 面也与A 面，B 面都相邻，因此写有 1的面与C 面相对，即C 面上写的是4.
1与C 相对， C 面上写的是4
图1
图2
观察图3中的虚线圈住的部分， 容易看出写有2的面与B 面相对，因此B 面上写的是5.则 立方体展开图就如图 4所示.
还剩下A 面与D 面上的数字没有确定，这两个面上分别写有 3和6•由于写有1的面，写 有5的面与A 面两两相邻，把这三个面还原到立方体中.在图 2所示的立方体中，5与2相
对，在立方体朝左的侧面上；
1在朝前的侧面上.在展开图中以写有 1的面为朝前的侧面，
A 面为下底面，则写有5的面恰好在朝左的侧面上. 此时写有1的面，写有5的面都对齐了， 而原立方体中下底面
写有数字
6,因此A 面上就是6.
例1.1.5下图是正方体，四边形 APQ （是表示用平面截正方体的截面，截面的线表现在展开 图的哪里呢？把大致的图形在右面展开图里画出来.
例1.1.6右图是一个立体图形的平面展开图，
图中的每个小方格都是边长为
1的正方形.现
在将其沿实线折叠，还原成原来的立体图形，那么立体图形的体积等于 _____________________________
.
2与B 相对， B 面上写的是5
D
( G
H
\ B
F
E
【答案】 见解析
【解析】 截线在展开图中如图所示:
立体几何拓展----三视图（教师版）
【答案】B
【解析】根据实线还原，体积为4.
题模二：三视图求表面积
例1.2.1下图是由5个相同的正方体木块搭成的，从上面看到的图形是（
【解析】5个在原图均已看到，易知C符合要求.
例1.2.2右图是由18个棱长为1 cm的小正方形拼成的立体图形，它的表面积是（）平方厘米.
A. 44
B. 46
C. 48
D. 50
【答案】C
【解析】从正面、左面、上面分别可看见& 7、9块，故表面积为1 8 7 9 2 48cm2.
例1.2.3右图中的一些积木是由16块棱长为2 cm的正方体堆成的，它的表面积是__________________ 2
cm .
C. 5
D. 6
C. C图
D.
).
【答案】C
C.
n 立体几何拓展----三视图（教师版）
34
例1.3.1这个图形最少是由（
）个正方体整齐堆放而成的.
【解析】
从前到后的3面依次有2块、5块、7块，因此还剩16 2 5 7 2块，为可看 见的1块与其下方的1块.由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到 7块、9块、8块， 此外离我们最近的2块有两个面从6个方向均无法看到，综上共可看到 7 9 8 2 2 50 个面，表面积为 22 5 0
2 00cm 2.
例1.2.4图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的•这样的积木一共有多少 块？画出它的三视图，表面积是多少？
【答案】
37;三视图如下图所示；102
【解析】 将此图分为从左到右的 5层，分别有16、9、5、6、1块，故共有16 9 5 6 1 37 块•三视图见答案，分别可看见 17、15、16块，其中左视图有 3块 被遮挡”因此表面积
为 17 15
16 3
2 102 .
11个棱长为1的立方块搭成，这个立体图形的表面积为
7\
/
/
/
/
/
/
丿 丿
【答案】
【解析】 按一定的顺序，从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积.
题模三：已知三视图反推个数
例1.2.5图中的立体图形由 正视图
俯视图
立体几何拓展----三视图（教师版）
【答案】B
□
1
Z
例1.3.2
此图是某几何体从正面和左面看到的图形•若该几何体是由若干个棱长为 1的正
方体垒成的，则这个几何体的体积最小是
例1.3.3 一个立体图形，从前面，上面，右边三个方向看到的图形都如图所示，是一个样 的，那么该立体图形最多由
__________块小立方体组成.
【答案】 23
【解析】 按由上到下逐层分析， 各层的小立方体数目分别不超过 所以该立体图
形最多由 23个小立方体组成.
例1.3.4 有一些大小相同的正方形木块堆成一堆，从上往下看是图 3-1，从前往后看是图
A .
12 B . 13 C .
14
【解析】 从上面看下去，最少需要:
1 2 2 4 1
2 1
13.
6块.而6块可以构造出来，例如，其俯视图如下
1个、4个、8个、10个,
【答案】
6
3-2，从左往右看是图3-3，那么这堆木块最多有多少块？最少有多少块？
同样的，结合俯视图和左视图, 图中.
从前面看
又可以知道有一格只有 1块小立方体.将所得信息填入俯视
【答案】 16，13
【解析】 4 3 4 16块，4 2 4 1 13块.这堆木块最多有 16块，最少有13块.
例1.3.5地上有一堆小立方体，从上面看时如图 1所示，从前面看时如图 2所示，从左边 看时如图3所示.这一堆立方体一共有几个？如果每个小立方体的棱长为 1厘米，那么这堆 立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米？
【答案】 10个；42平方厘米
【解析】
采用在俯视图上标数的方法来求解，只要知道俯视图上的每格有几块小立方体，
就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子. 首先从俯视图很容易看出，
有3个格子里是没有小立方体的，
而其他6个格子里至少有一个
小立方体.如下图，将所得信息填入俯视图中.
g 1
■
1
■
结合俯视图和主视图，不难看出，有两格只有
1块小立方体.将所得信息填入俯视图中.
□
1 0
□
□
1
□
图1
图2
图3
□□0□0□
0□□
体•将所得信息填入俯视图中.
|2
1
3
2
Io
1
1
于是这一堆立方体一共有 2 1 3 2 1 1 10个.
接着很容易得到这个立体图形的样子，如下图.
上下各能看到6个面，前后各能看到6个面，左右各能看到6个面，同时注意到立体图形的 中间共有6个会互相
■g T*T J ・ Lt *1—
「％
□ 1
M 0 J
0 1 J
我们来继续考虑，左视图中最左边一排有
2块小立方体，所以俯视图左上角处有
|2. J 0
□
□ 0
1 □
同理，主视图最右边一排有 2块小立方体，所以俯视图最右边中间处有 得信息填入俯视图中.
2块小立方体.将所
2
1 0
r 0 r 2
0 1 1
不难看出，俯视图中最后剩下的那块有
3个小立方体，所以俯视图中每格的小立方体数如下:
从左边看
2块小立方
遮挡的面，所以表面积是 2 6 6 6 6 42平方厘米.
A . A 图
B . B 图
C . C 图
D . D 图
【答案】B
【解析】 竖向只剪了 1刀，故前、后、左、右四个面应在一条线上， 排除A 、D .易知上、
下两面不在一条线上，排除 C ,故选B .
随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表 示.如下图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，
“锦”表示
右面，“程”表示下面.贝“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的 ______________________________________ .
【解析】 易知你、程相对，前、锦相对，祝、似相对，因此 祝”、你”、前”分别表示正
方体的后面、上面、左面.
随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排 （如图），那么这五颗骰子底面上的点数之
禾廿是 ___________ .
【答案】 16
【解析】
根据已知推出（4,5）（1,3）（2,6）互为对立面，所以这五颗骰子底面上的点数之和是
6 1 5 2 2 16 .
■■
福色随堂练习
随练1.1
将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开
,
展开成平面图，其展开图的形状为（）•
立体几何拓展----三视图（教师版）随练1.4右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体，则从正面观察，得到的平面图
形是__________ .序号）
【答案】 ②
【解析】 从正面看到图②，从上面看到图①，从右面看到图③•所以正确答案是图②.
第一层有8个，第二层有2个，共10个.其三视图分别能看到 4、5、8个，故
表面积为
1 1 4 5 8
2 34
.
随练1.6如图，有9个边长为1米的正方体，如图所示堆成一个立体图形•该立体图形的 表面积等于 平方米.
【答案】 38
【解析】
利用三视图•从前面、右面、上面看依次如图所示•所以该立体图形的表面积是
6 6
7 2 12 38平方米.
随练1.7如图6，用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面 积（含底面积）是
________________
由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形，共有
.个正方体，它的表面
随练1.5 【解析】
立体几何拓展----三视图（教师版）
【答案】90
【解析】根据三视图，大的几何体的表面积等于正视图面积+俯视图面积+右视图面积的2
2
倍，所以是14 15 16 2 1 90 .
随练1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是
____________ 平方厘米.
【答案】46平方厘米
【解析】如图1,从立体图形上方和下方看去，看到的都是厘米. 9块小正方形•面积是9平方
图1
从四个侧面看去，看到的是图2形式的7块小正方形，面积是7平方厘米.
所以立体图形的表面积为9 2 7 4 46平方厘米.
随练1.9把若干个棱长为1厘米的小正方体木块搭成一个图形，从上面和前面看到的都是
如图所示的情形，这个图形最多需要_____________________ 个这样的小正方体，最少需要____________________ 个这样的小正方体.
【答案】9; 7
【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个，且第二层至多5个；由从前面看到的结果可知共有2层，且第二层至少2个.再结合两个视图可知第二层至多4个•综上，最多
立体几何拓展----三视图（教师版）
9个，最少7个.
自我总结
课后作业
作业1 一个数学玩具的包装盒是正方体，其表面展开图如下•现在每方格内都填上相应的
数字•已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面的两数之和为“3”，则填在A
B C内的三个数字依次是_____________________ .
C
2
B
A1
【答案】3, 1, 2
【解析】正方体的平面展开图中，相对面之间一定隔着一个正方形，所以在此正方体上与“A”相对的面上的数是“ 0”.与“ B”相对的面上的数是“ 2”.与“ C”相对的面上的数
是“ 1”.所以A、B、C内的三个数字依次是3, 1, 2 .
作业2把1至6各一个分别写在正方形的六个面上，每个面只写一个数字，且1与4相对,
2与5相对，3与6相对，从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度
看到的三个面如图（b）所示，那么图（b）中的“？”代表的数字是_____________________________ .
A . 2
【答案】A
【解析】如图，4对面是1，所以在图a中把4翻到底面，顶部变成了1，如图b,而5
立体几何拓展----三视图（教师版）
对面是2,所以当6转到正面时，5在左侧，右侧自然是 2 了，故答案是2.
作业3下图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平
面展开图，那么这个立体图形有 ___________________ 条棱. C1
WWV
【答案】 20
【解析】 此立体图形，示意图如上：共 20条棱.
作业4用若干个棱长为1cm 的小正方体码放成如图所示的立体，则这个立体的表面积（含
【答案】 60
【解析】 根据三视图，我们可知，此立体图形的前面与后面，左面与右面，上面与下面的
表面积分别相等.所以我们只要知道前面有 11个正方形，右面有8个正方形，上面有11个
F 底面面积）等于 ________________ cm 2.
面，就可求出它露在外面的面共计11 8 11 2 60个正方形，所以它的表面积是
2 2
60 1 60cm
作业5如图，把19个边长为1厘米正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体 的表面积是 平方厘米.
【解析】 从上下左右前后六个方向看，
分别可以看到9、9、8、8、10、10个小正方形面,
所以总的表面积为 54平方厘米. 作业6图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的. 画出它的三视图，
表面积是多少？
【答案】 30;三视图如下图所示；76
【解析】 将此图分为从左到右的 4层，分别有11、7、5、7块，故共有11 7 5 7 30块. 视图见答案，分别可看见 13、12、11块，其中左视图有 2块 被遮挡”，因此表面积为
13 12
11 2 2 76. 作业7由若干个相同的正方体木块搭成的立体，从正面和左面看到的图形都是右图，搭这
【解析】 按如图方式摆放即可
.这样的积木一共有多少块
?
）个这样的木块.
B .
5 C .
6 D . 8
样的立体，最少用（ 【答案】A
请问这个立体图形体积是
作业8由若干个棱长为1的正方体堆成的立体图形, 其正视图、俯视图和左视图如下所示, 正视图俯视图左视图
【答案】 5
【解析】 由正视图和左视图可知共两层，且顶层只有
共有5块，体积为5. 作业9 一仓库里堆放着若干个完全相同的正方体货箱，这堆货箱的三视图如图所示，这堆 真方体货箱共有 ___________________________________ 个.
【答案】 9
【解析】 俯视图确定基座，分析每块上的高度.
1块，由俯视图可知底层有 4块，故。