第3章 第一节 可测函数的定义及其简单性质

⇔ (2) ∀a ∈ R, E( f ≥ a)可测
⇔ (3) ∀a ∈ R, E( f < a)可测
⇔ (4) ∀a ∈ R, E( f ≤ a)可测
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
E( f
≥ a) =
∞
∩
E( f
> a−
1 )，
n =1
n
E( f < a) = E \ E( f ≥ a)
注：用到了可测函数关于子集、并集的性质
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)(g(x)≠0)
仍为E上的可测函数。
a-g(x) r f(x)
证明：只要证∀a ∈ R, E( f + g > a) = E( f > a − g)可测， 任取x ∈ E( f > a − g),则f (x) > a − g(x)
若m (E(f≠g))=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E(f≠g)， E 2= E(f=g)，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ， 另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则 f( g(x))是可测函数。
另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成
一列简单函数
{ϕ n
( x)}
的极限
g
(x)
=
lim
n→∞
ϕn
(
x)
因为f(x)连续，故
f (g(x)) =
f
(lim n→∞
ϕn
( x))
=
lim
n→∞
f (ϕn (x))
m (E[f g>a])={x| f( g(x))>a}可测即可,
由于f在F=R上连续，故F(f>a)为R中的开集，
又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的 开区间的并，故不妨令 F ( f > a) = ∪i (ai ,bi )
再由g可测，可知
E(
fg
>
a)
=
∪
i
E(ai
<
g
<
bi
)为可测集
注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f( g(x))不一定 是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》， 周民强，p114)
令Ia = inf{x | f (x) > a}
由f单调增知下面的集合为可测集
E( f > a) = {E∩[Ia ,+∞) 当Ia∈{x| f ( x)>a} E∩( Ia ,+∞) 当Ia∉{x| f ( x)>a}
a
I a x1 x2
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数， 则 (1) f(x)在E上可测
从而E( f > a − g) = ∪ (E( f > r) ∩ E(g > a − r))可测 r∈Q 证明中利用了 Q是可数集和 是R中的稠密 集两个性质 类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则E ( f > g ) 为可测集。
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数。
从而∃r ∈ Q,使f (x) > r > a − g(x) 即x ∈ ∪ (E( f > r) ∩ E(g > a − r))
r∈Q
a-g(x) r f(x)
从而E( f > a − g) ⊂ ∪ (E( f > r) ∩ E(g > a − r)) r∈Q
反之 ∪ (E( f > r) ∩ E(g > a − r)) ⊂ E( f > a − g)也成立 r∈Q
例 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和 发散点全体是可测集.
证明：发散点全体为 收敛点全体为
E[lim n→∞
fn
≠
lim
n→∞
fn ]
E[lim n→∞
fn
=
lim
n→∞
fn ]
在再利用lim n→∞
f n和 lim n→∞
fn是可测函数即可
注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.
⒌可测函数与简单函数的关系
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
λ(x) = sup{ fn (x)} μ(x) = inf{ fn (x)}
lim
n→∞
fn (x)
=
inf n
sup{
m≥n
fm (x)}
lim
n→∞
fn (x)
=
sup inf{ n m≥n
fm (x)}
证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R
E( f 2 > a) ={E
a<0
E( f > a )∪E( f <− a ) a≥0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可
作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x) 为E上的可测函数
ξ i mE i
i =1
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?
1可测函数定义
± ∞ 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取
)，
若∀a∈R, E( f > a) 可测，则称f(x)是E上的可测函数。
例 (1) 零测集上的任何函数都是可测函数。
注：称外测度为0的集合为零测集；零测集 的子集，有限并，可数并仍为零测集
M
M
m
m
|
ϕn(x)
−
f
(x)
|≤
M −m 2n−1
M
n
n ⋅ 2n 次等分
m
0 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限
可测函数与简单函数的关系
z若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数 {ϕn(x)} 的极限 f (x) = lni→m∞ϕn(x) ，而且还可办到 | ϕ1(x) |≤| ϕ2 (x) |≤ "
ϕ n (x)
=
⎧⎪ ⎨
k 2n
⎪⎩ n
x
∈
E
来自百度文库
(
k 2n
≤
f
<
k +1 2n
),
k
= 0 ,1, 2 ," , n ⋅ 2 n − 1
x ∈ E( f ≥ n)
注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则 f( g(x))是可测函数。
证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，
G
∩
E
=
(∪ x∈E ( f >a)
B(x,δx ))
∩
E
=
∪
x∈E ( f
>a
(
)
B(
x,
δ
x
)
∩
E)
⊂
E(
f
> a)
反之
E( f
>
a)
⊂
(∪ x∈E ( f >a)
B( x, δ x
))
∩
E
=
G
∩
E
故E( f > a) = G ∩ E为可测集
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
则f(x)在E上也是可测函数。
因为f 在En上可测,所以En ( f > a) = E( f > a) ∩ En可测，
∞
∞
又E( f
> a) = E( f
> a) ∩ E =
E( f
>
a)
∩
(∪ n=1
En
)
=
∪
n=1
En
(
f
> a)
所以E( f > a)可测,即f 在E上可测.
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
例： R1上的可微函数f(x)的导函数f ´(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于
f '(x) = lim
f (x + Δx) −
f (x) =
lim
f
(x
+
1 n
)
−
f
(x)
Δx→o
Δx
n→+∞
1
n
从而f ´(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f ´(x)是可测函数.
利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
(2)简单函数是可测函数
n
若E
=
∪
i=1
E
i
( Ei 可测且两两不交），f(x)在
每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
n
∑ f ( x) = ci χ Ei ( x) i =1
{ χ (x) = 1 x∈Ei
Ei
0 x∈E−Ei
注：Dirichlet函数是简单函数
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
所以f( g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数
∑ 注： 若 ϕ ( x ) = n ci χ Ei ( x )为 简 单 函 数 ， i =1 n ∑ 则 f (ϕ ( x )) = f (ci ) χ Ei ( x )仍 为 E 上 简 单 函 数 。 i =1
证明：任取x∈E(f>a), 则f(x)>a,由连续性假设知，
对ε = f (x) − a, ∃δx > 0,使得f (B(x,δx ) ∩ E) ⊂ B( f (x),ε ) ⊂ (a, +∞)
即B (x,δx ) ∩ E ⊂ E( f > a)
令G
=
∪
x∈E ( f >a)
B( x, δ x
)
则G为开集，当然为可测集，且
E( f
≤ a) =
∞
∩ E( f
< a + 1 )；E( f
> a) =
E \ E( f
≤ a)；
n=1
n
⒋可测函数的性质
⑴可测函数关于子集、并集的性质
z即:若f(x)是E上的可测函数, E1 ⊂ E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
∞
z反之，若
E
=
∪
n =1
E
n
, f(x)限制在En上是可测函数，
∞
∞
E(λ
>
a)
=
∪ E(
n =1
fn
>
a)
E(μ
≥
a)
=
∩ E(
n =1
fn
≥
a)
推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
对上式的说明：
μ(x) = inf{ fn (x)}
∞
E(μ
≥
a)
=
∩ E(
n =1
fn
≥
a)
(
[
a-1/n a
下确界：ξ = inf S (1)ξ是数集 S的下界，即 ∀x ∈ S ,ξ ≤ x (2)ξ是数集 S的最大下界， 即∀ε > 0, ∃x ∈ S , 使得 x ≤ ξ + ε
第三章 可测函数
第一节 可测函数的定义及其简单性质
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi
Ei = {x : yi−1 ≤ f (x) < yi}
yi-1
yi−1 ≤ ξi < yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
n
∫ ∑ ( L )
[ a ,b ]
f ( x ) dx
=
lim
δ →0