欧几里得的公理与公设
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在数学中的应用拓展
几何学的基石
《几何原本》是几何学的基石，其中的许多定理和证 明方法成为了后续几何学研究的基础。欧几里得的几 何学体系为后来的几何学发展提供了重要的启示和指 导。
对数学发展的推动
《几何原本》不仅对几何学的发展产生了重要影响， 还推动了数学其他领域的发展。例如，欧几里得几何 学中的一些概念和证明方法被用于解决代数、微积分 等领域的问题。
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01
CATALOGUE
书籍简介与作者介绍
书籍背景与内容概述
背景
公元前300年左右，希腊数学家欧几里得集前人几何研究之大成，编写了《几 何原本》。
内容
全书共13卷，包含了早期希腊数学关于形、数、几何等基础概念和定理的精要 概括，对欧几里得之前的几何成果进行了系统性的整理和阐述。
欧几里得的证明方法是基于演绎推理，即从 已知事实和公理出发，逐步推导出结论。
04
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分析与证明方法
命题的证明与推理结构
总结词
欧几里得在《几何原本》中，对每个命题的证明都进行了严谨的逻辑推理，其中使用了演绎法和其他 数学方法。
详细描述
欧几里得在证明命题时，通常会先定义术语和概念，然后使用已有的定理或命题进行推理和证明。每 个命题的证明都涉及到一个或多个已有的定理或命题，形成了一个庞大的逻辑推理体系。
VS
《几何原本》的内容
该书包含了大量的几何学定理和证明，涵 盖了平面几何、立体几何、数论等领域。
《几何原本》的结构与特点
特点
证明过程完整：每个定理的证明 过程都非常完整，这使得读者可 以深入理解每一个定理的证明思 路。
欧几里得演绎法
欧几里得演绎法欧几里得演绎法是一种逻辑推理方法，它基于一系列公理、定义和公设，通过演绎推理得到定理和结论。
这种方法是古希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》中系统阐述的，因此得名。
欧几里得演绎法对西方数学和科学的发展产生了深远的影响。
欧几里得演绎法的基本步骤如下：1. 公理（Axioms）：公理是不证自明的基本陈述，是构建整个理论体系的起点。
在欧几里得的《几何原本》中，公理被视为显而易见的真理，不需要证明。
例如，“两点之间线段最短”是一个典型的公理。
2. 定义（Definitions）：定义用来明确数学概念和术语的含义。
通过定义，可以确保讨论的对象具有精确的意义，从而避免歧义。
3. 公设（Postulates）：公设与公理类似，是被接受为真实的前提，但它们通常涉及几何构造。
例如，“通过任意一点可以作一条与给定直线平行的直线”是一个公设。
4. 引理（Propositions or Lemmas）：引理是在证明更复杂定理之前所需证明的较简单命题。
引理本身不是最终目的，而是作为工具来帮助证明其他命题。
5. 定理（Theorems）：定理是经过严格证明的命题，它们基于公理、定义、公设和已经证明的引理。
证明定理是欧几里得演绎法的核心活动。
6. 证明（Demonstration or Proof）：证明是通过逻辑推理从已知的公理、定义、公设和引理出发，展示定理正确性的过程。
证明通常采用直接证明、反证法、数学归纳法等方法。
欧几里得演绎法的特点在于其严密性和系统性。
通过一系列逻辑上相互关联的步骤，从简单的基础开始，逐步推导出复杂的结论。
这种方法强调推理的有效性和结论的确定性，是建立数学理论和解决数学问题的强有力工具。
在现代数学中，欧几里得演绎法仍然是证明数学命题不可或缺的方法。
尽管现代数学引入了更多抽象的概念和更高级的逻辑体系，但欧几里得的基本原则——从已知的真理出发，通过逻辑推理得到新的真理——依然是数学证明的基石。
读书心得——从欧几里得《几何原本》谈公理化思想
读书心得——从欧几里得《几何原本》谈公理化思想最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊人传到了希腊的都城——雅典.那时人们已经积累了许多几何学的知识.这些知识很多都是零星的、碎片式的，缺少彼此之间的联系和系统性.古希腊哲学家、思想家柏拉图(前427—前347)在经历了十二年避风式的周游后回到雅典，于圣城阿卡德谟创立了他个人讲学的园地——阿卡德谟创学园.柏拉图在这里开始教演讲术，著书立说.柏拉图提倡孩子们首先要接受完备的体育训练，但是音乐、数学以及其他学科也要重视.学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家”.越来越多的希腊市民向往进入学园学习，也就越来越喜欢几何.在学园里，师生之间的教学活动完全通过对话形式进行.这种问答、质疑、讨论的对话互动过程，最能激发人们的想象，培养抽象思维、逻辑思维的能力.对话过程中的思维是最活跃的，而思维是智力的核心.因此学园培养的学生都具有超强的抽象思维能力.欧几里得(前330—前275)就是在这个时期出生于雅典，古希腊文明中心浓郁的数学文化气氛深深地感染了他，在他十几岁时，就迫不及待地进入了“柏拉图学园”.在这里，欧几里得翻阅了柏拉图的所有著作和手稿，研究柏拉图的学术思想和数学理论.欧几里得认为进行“智慧训练”就应该从以图形为主要研究对象的几何学开始，因此，他给自己确定的主要目标就是几何研究，逐步建立起完整、科学的几何体系.几何学所涉及的对象既与生活中的实物有关，又不完全等同于这些具体的实物.比如圆形、三角形、矩形等平面图形；球、圆柱、椎体、长方体等立体图形.现实生活中很少见到标准而且规范的图形，现实的实物应该是形似或神似的几何图形.因而几何图形是既普通又抽象的概念.每个平面图形的线、角、面等之间的关系；立体图形各个方位之间的关系；各个图形之间的关系都是深深吸引欧几里得的地方.1 《几何原本》的公理化思想欧几里得当时面临着两方面的问题，一方面，随着古希腊社会经济的繁荣和发展，特别是农林畜牧业的发展，土地的开发和利用日益增多，地形、地貌的研究需要广泛地应用几何学的知识.另一方面，前人积累了四百多年的几何知识，研究成果浩如烟海，随着探究的深入就会发现这些理论多是些海量又无序的片断.欧几里得意识到，如何把前人们留下的几何碎片知识进行梳理、论证和甄别，去伪存真，扬长避短，使这些几何学知识条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，是完成既定目标的关键.欧几里得的伟大贡献，在于使这些远古的数学思想与他个人的智慧完美结合起来，创立了欧几里得几何学体系.具体体现在他对《几何原本》的编排和大纲的制订，也就是公理化体系的建立.欧几里得的公理化思想的脉络是这样的：所有几何学的众多定理和结论都是建立在一些已知的结论基础上，经过严密的逻辑推理、演绎出来的.而这些已知的结论又是靠更基础的结论作基础，推理、演绎出来.也就是说每个定理和结论在通过一层层的推理过程中，都需要一个或几个最基础的理论作为理论支撑，这些最基础的结论显而易见、又无需证明.欧几里得把这些最基础的结论称作公理(适于数学的各学科)或公设(适于几何学).[4]按照这样的结构体系，欧几里德在《几何原本》卷首提出了五条公理、五条公设，并在各卷开头给出了一些定义(共二十三个).然后根据这些公理、公设、定义用严格的逻辑推论方法推导出了多达四百六十五个命题，把它们分门别类地组成了全文一十三卷，各卷的开头部分基本上都是从几何图形开始.纵观欧几里得在《几何原本》的编排过程，其公理化系统之严谨，逻辑推理之严密，令人叹为观止.《几何原本》在卷首列出的五个公理为：(1)等于同量的量彼此相等.即：如果A=C，B=C.则A=B；(2)等量加等量，其和相等.即：如果A=B，C=D.则A+C=B+D；(3)等量减等量，其差相等.即：如果A=B，C=D.则A-C=B-D；(4)彼此能重合的物体是相等的，如图1；(5)整体大于部分，如图2.图1 彼此能重合的物体是相等的五个公设为：(1)由任意点到任意另一点可作直线；(2)一条有限直线可以继续延长；(3)以任意点为圆心及任意距离为半径可以画圆；(4)凡直角都相等，如图3；(5)平面内一条直线与另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，那么这两条直线无限延长后，在这一侧一定相交.如图4(∠1+∠2<180°).这些公理、公设是初等数学的基础.可以说《几何原本》是两千多年来传播初等数学、几何知识的标准教科书.图2 整体大于部分图3 凡直角都相等图4 两条直线无限延长后，在这一侧一定相交2 我国几何学的公理化体系《几何原本》不仅仅包括几何学知识，甚至包括初等数学的全部内容以及高等数学极限概念的雏形.内容涉及代数、数论、平面几何和立体几何的各个领域.《几何原本》第一卷讲直线形，包括点、线、面、角的概念，三角形、两条直线的平行与垂直、勾股定理等.我们七年级几何学的就是三角形知识，两条直线的平行与相交.《几何原本》第二卷讲代数恒等式，如二项和的平方、黄金分割等.我们七年级代数知识的数、式的运算就是这一卷的内容.《几何原本》第三卷讲圆、弦、切线等与圆有关的图形.第四卷讲圆的内接、外切三角形、外接正方形、正多边形.我们八年级几何学的关于圆、圆的切线、圆与圆的位置关系、圆的内接、外切三角形等等就是这两卷的内容.《几何原本》第五卷讲比例论，第六卷将比例论应用于平面图形，研究相似多边形.我们八年级几何学是以相似三角形为主的相似图形，九年级几何是以四边形为主要内容的多边形知识[5].以上我们把《几何原本》的基本内容与我国现阶段的初等数学内容作对比，就能发现我国初中阶段(七年级至九年级)数学知识主要取材于《几何原本》的前六卷.我国高中阶段的数学内容，则取材于《几何原本》后面几卷.不仅仅在数学课程上完全是《几何原本》的内容，我们数学的理论体系也完全是欧几里得《几何原本》的公理化体系[5].我们高中阶段的立体几何[6]，开宗明义的讲是建立在四个公理以及三个推论基础上.如著名的公理3：“经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面”.不仅是确定一个平面的依据，是判定若干个点共面的依据；而且利用此公理还可以得到三个重要推论，每一个推论都具有不亚于公理的价值.如推论1：“经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面”.成为判定若干条直线共面的依据；判断若干个平面重合的依据；判断几何图形是平面图形的依据.就这样，建立在公理(以及推论)基础上的判定定理、性质定理，构建起了立体几何的雄伟大厦.3 结论欧几里得《几何原本》对人们逻辑思维的锻炼，超过了亚里士多德的任何一篇逻辑论文，是严谨的逻辑推理体系的杰作.《几何原本》的公理化体系，也带动了现代科学的崛起，因为现代科学一部分是经验论和和实验法相结合的产物，另一部分是认真分析和逻辑演绎相结合的产物[7].《几何原本》的公理化体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范.这种公理法建立演绎体系的方法，在后来的二千多年间成为建立任何知识体系的严格方式，人们不仅应用于数学学科，也应用于其他科学领域，甚至应用于神学、哲学和伦理学，对后世产生了深远的影响.同时我们也能发现，有些公设的表述不够精准，比如公设3“有限直线”的提法就是错误的，因为直线是无限的.吸收与扬弃并举，传承与创新并重.数学在进步，科学在进步，《几何原本》也在完善.。
平面几何五大公理
平面几何五大公理所谓公理：1）经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。
2）某个演绎系统的初始命题。
这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推岀该系统内其他命题的基本命题欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。
其实他说的公社就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1:等于同一个量的量相等，公理5 :整体大于局部等）他给岀的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。
分别是：1、五大公设：公设1 从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。
公设2 把有限的直线不断循直线延长是可能的。
公设3 以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。
公设4 所有的直角都相等。
公设5 如果一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
2、五大公理公理1 与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
公理2 等量加等量，总量仍相等。
公理3 等量减等量，余量仍相等。
公理4 彼此重合的东西彼此是相等的。
公理5 整体大于部分。
今天我们常说的平面几何五大公理，就是指五大公设。
在这五个公设（理）里，欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。
亚里士多德就指出，头三个公设说的是可以构造线和圆，所以他是对两件东西顿在性的声明。
事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。
第五个公设非常罗嗦，没有前四个简洁好懂。
声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。
这就足以说明他的天才。
从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性，但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。
很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果，无法从其他公设中推到处第五公设。
第五公设称为平行公理，引导岀千年来数学上和哲学上最大的难题之一。
(精选)欧几里得的几何本来提出了五条公设,头四条公设...唐山五十四中
咱们在第5章里学习了“平行公理”，“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，但你明白吗？关于平行公理还有另外两种说法“过直线外一点至少有两条直线和已知直线平行”，“过直线外一点没有任何一条直线和已知直线平行”，而且这两种看似矛盾的说法也都是对的。
想了解其中的缘故吗，请看下面的资料。
欧几里得的《几何本来》提出了五条公设，头四条公设别离为：1.由任意一点到任意一点可作直线。
2.一条有限直线能够继续延长。
3.以任意点为心及任意的距离能够画圆。
4.凡直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，假设在某一侧的两个内角的和小于两直角，那么这两直线经无穷延长后在这一侧相交。
（咱们书上的平行公理是第五公设的等价命题，因为第五公设的文字冗长，因此很多书上用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来代替第五公设）长期以来，数学家们发觉第五公设和前四个公设比较起来，显得文字表达冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何本来》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有利用。
也确实是说，在《几何本来》中能够不依托第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依托前四个公设来证明第五公设？这确实是几何进展史上最闻名的，争辩了长达两千连年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们慢慢疑心证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的进程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然罗巴切夫斯基后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他以为若是那个系统为基础的推理中显现矛盾，就等于证明了第五公设。
咱们明白，这其实确实是数学中的反证法。
可是，在他极为细致深切的推理进程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。
欧几里得原本与公理化方法
公理化方法作为一种理论形式 为人们普遍接受.人们普遍建立了 这样的认识，所有的数学理论， 都必须按照数学的定义，公理与 三段论的逻辑论证来组织.
四. 《原本》内容简介
卷
内容
1
直线形
2
几何代数法
因为 // ,所以BD // AC（. 平面与平面平行的性质定理）
因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB CD.
公理2（推论） 过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面与平面平行性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们
的交线平行. 如图：平面 ， , 满足 // , a,
相容性：不能自相矛盾. 独立性：任一条公理不能从别的公理推出来.
第一次给出公理化的数学 体系——欧几里得《原本》
三.《原本》简介
1.历史起源 由于人类生活和生产的需要，产生了几何学.
古印度、古埃及、古巴比伦
泰勒斯
毕达哥拉斯
厄亚利学派
后毕达哥拉斯学派
古希腊数学积累了大量的、具体的成果.但这 些知识缺乏系统性, 大多数是片断的、零散的.
五、非欧几何的创立
在研究和应用公理化过程中产生了非欧几何.
平行公理不同
直线、平面的认识
欧式几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.
观察下的平面、直线，事实上的直线、平面.
非欧几何 罗氏几何：过已知直线外一点至少可以引两条直线与
已知直线不相交.
黎曼几何：在同一平面内任何两条直线都有公共点.
平面与平面平行的性质定理
命题
公理2（推论）
二.公理化方法
欧几里得第五公设
欧几里得第五公设各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
若其中一侧的两个内角之和小于二直角。
则该两直线必在这一侧相交.因它与平行公理是等价的。
所以又称为欧几里得平行公设。
简称平行公设.由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂。
所以引起后人的不断研究和探讨。
在两千多年间。
许多学者试图用《几何原本》中其余公设和推论证明。
然而都没有成功。
但却从中获得了一些和第五公设等价的命题.后来。
到19世纪。
几位数学家否定第五公设。
推导出一些和欧几里得几何不同的新命题。
欧几里得从而导致非欧几里得几何的产生.。
在欧几里得(Euclid )的《几何原本》中，第五条公设是:同一平面内的两条直线与第三条直线相交，若其中一侧的两个内角之和小于二直角，则该两直线必
在这一侧相交.因它与平行公理是等价的，所以又称为欧几里得平行公设，简称平行公设.由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂，所以引起后人的不断研究和探讨，在两千多年间，许多学者试图用《几何原本》中其余公设和推论证明，然而都没有成功，但却从中获得了一些和第五公设等价的命题.后来，到19世纪，几位数学家否定第五公设，推导出一些和欧几里得几何不同的新命题，从而导致非欧几里得几何的产生.
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简述欧几里德《几何原本》与公理化思想
简述欧几里德《几何原本》与公理化思想摘要：古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。
该巨著产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展，对数学的发展也有着重大的影响。
关键词：欧几里得；几何原本；公理化思想一、欧几里得“几何无王者之道”，说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前330~公元前275)，他是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他也是亚历山大里亚学派的成员。
他是论证几何的集大成者，关于他的生平我们了解的甚少，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典，在公元前300年左右，应托勒密王的邀请到亚历山大城教学。
他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分》(On Divisions)、《现象》(Phenomena)、《光学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrical)等，在这些著作当中，最著名的莫过于《原本》了，根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》。
当时雅典就是古希腊文明的中心。
浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。
在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。
数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。
它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。
”遂一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的希腊民众所接受。
人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里德也不例外。
他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。
他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。
欧几里得平面几何公理
欧几里得平面几何公理欧式几何原理是指欧几里得几何的基本原理和公理。
欧几里得几何是一种传统的几何学，它基于欧几里得的《几何原本》构建。
欧几里得几何主要研究二维平面和三维空间中的几何性质，其中包括点、线、面、角、圆等基本概念，并通过一系列公理来描述它们之间的关系。
以下是欧几里得几何的五条公理（公设）：1.从一点向另一点可以引一条直线。
2.任意线段可以无限延伸成一条直线。
3.给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4.所有直角都相等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。
这些公理构成了欧几里得几何的基础，通过它们可以推导出许多几何定理和性质。
其中第五条公理被称为平行公理，它描述了平行线的性质。
然而，平行公理并不像其他公理那么显然，它在过去曾经受到质疑。
在19世纪，通过构造非欧几里得几何，人们发现平行公理是不能被证明的。
因此，平行公理可以看作是欧几里得几何的一个假设，而非必然的几何真理。
现代方法中，欧几里得几何的构造通常使用解析几何的方法。
通过解析几何，可以用数学语言和符号来描述几何对象和它们之间的关系。
例如，可以用坐标系来表示点，并使用距离公式来计算点之间的距离。
通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何中的公理和定理。
尽管这种方法没有公理化方法那么漂亮，但它更加简洁直观。
总结起来，欧式几何原理包括以下内容：1.欧几里得几何的五条公理，包括从一点向另一点引一条直线、任意线段可以无限延伸成一条直线、给定线段可以作一个圆、所有直角相等以及平行公理。
2.平行公理是欧几里得几何中的一个假设，无法从其他公理中推导出来。
3.现代方法中，欧几里得几何通常使用解析几何的方法进行构造和证明。
欧氏几何公理
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建立过程
总之，欧氏吸取毕氏学派失败的经验，重新「分析」与「整理」既有的几何知识，另辟路径，改几何本身来 建立几何（不用毕式经验式的原子论，即使优多诸斯已补全了毕氏学派的漏洞）并且采用公理化的手法，逐本探 源，最后终於找到五条几何公理与五条一般公理是欧氏的创造与发现过程。接着是「综合」，利用10条公理配合 优多诸斯检定法则、反证法（归谬法）与 尺规作图 ，推导出所有的 几何定理 ，这是逻辑的证明过程。
欧氏几何公理
数学术语
01 历史影响
03 建立过程 05 建立动机
目录
02 公理内容 04 欧氏生平
欧氏几何公理是欧几里得建立的几个几何公理，也称欧式几何，它的建立，采用了分析与综合的方法，不止 是单独一个命题的前提与结论之间的连结，而是所有几何命题的连结成逻辑路。
历史影响
古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《 几何原本 》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整 而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在《原本》里，欧几里德系统地总结了古代劳动 人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的 方法，用这些定义和公理来研究各种 几何 图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得 几何学 论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
只有欧氏见过赤裸之美 (Euclid alone has looked at beauty bare.)。
人教A版必修第二册 欧几里得《原本》与公理化方法 课件
欧几里得《原本》与公理化方法
1.实数“域”.
一、课堂引入
实数是有序的，可以比较大小；实数集对加、减、乘、除（除
数不为零）四则运算具有封闭性；加法运算满足交换律、结合律，
乘法运算满足交换律、分配律、结合律；在现实生活中有广泛运用.
2.向量“空间”
ห้องสมุดไป่ตู้
向量的加、减、数乘运算是封闭的；向量的加法满足交换律、结
五、非欧几何的创立
在研究和应用公理化过程中产生了非欧几何.
平行公理不同
直线、平面的认识
欧氏几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知 直线平行.
观察下的平面、直线，事实上的直线、平面.
非欧几何 罗氏几何：过已知直线外一点至少可以引两条直线与
已知直线不相交.
黎曼几何：在同一平面内任何两条直线都有公共点.
（一） 课堂引入
1.从学生熟悉的实数、向量两个体系出发，让学生了解“为什 么要学公理化方法”、创建什么样的体系更有意义”.
2.从书本的一个命题出发，追本溯源回到定义和定理，在实践
证明中体会公理化思想.
推论3
两平面平行的定义 两直线平行的定义
面面平行的性质定理
命题.
（二） 公理化方法和《原本》介绍 1.根据前面的经验积累自然给出数学公理化方法的内涵，对学 生理解相对模糊的“基本概念、公设、公理”等作必要的解读 ，让学生加深对公理化方法内涵的理解.
六、公理化方法的作用
1.概括整理数学知识.《原本》就是欧几里得用公理化方法把零散的几何 知识归为一体，树立了研究数学的典范.
2. 促进新理论的创建. 非欧几何就是在研究和应用公理 化过程中产生的.
3.对其他学科有示范作用.由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、 条理性、结构的合理性，其他学科纷纷效法，建立了自己的公理化体系.
欧几里得几何学
欧几里得几何学
欧几里得几何简称“欧氏几何”，是几何学的一门分科。
数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。
数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。
欧氏几何源于公元前3世纪。
古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。
按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。
其中公理五又称之为平行公设（Parallel Postulate），叙述比较复杂，并不像其他公理那么显然。
这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。
在高斯（F. Gauss）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波尔约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）。
另一方面，欧几里得几何的五条公理并未具有完备性。
例如，该几何中有定理：在任意直线段上可作一等边三角形。
他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。
然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
历史上应用公理化方法的最早典范——欧几里得
历史上应用公理化方法的最早典范——欧几里得欧几里得（Euclid，生卒年代不详，活动于约公元前300），古希腊数学家。
他早年求学于雅典城的柏拉图学园，深谙柏拉图学派的哲学和数学成果。
公元前300年左右，他生活在古希腊文化中心亚历山大里亚城，并以授徒的形式从事数学教学工作，产生了相当大的学术影响。
欧几里得著有《几何原本》，这是一部划时代的著作。
他首次用公理化方法将古希腊众多的数学家发现的几何命题组织在一个演绎化的体系之中，堪称历史上使用公理化方法的最早典范。
书中还包括整数论的许多成果。
除此之外，欧几里得还著有《已知数》、《图形剖分》、《二次曲线》和光学、天文学、力学等方面的著作。
撰写《几何原本》的基础和哲学背景欧几里得在几何研究与教学方面的鼎盛时期，是在公元前300年至公元前295年前后。
实际上在这之前300年，古希腊在数学上，特别是在几何学方面，已经取得了相当辉煌的成果，积累了大量的几何知识，形成了将科学理论公理化的思想。
早在公元前580年左右，哲学家泰勒斯就掌握了一些关于相似三角形的知识，并用此计算过船舶离海岸的距离。
他还首次对若干数学命题进行过理论证明。
从公元前580年至公元前400年，哲学上的毕达哥拉斯学派对自然数、分数和不可公度比有过许多研究，对三角形、平行线、多边形、圆、球和正多面体也有相当的研究，并得出了一些定理，特别是关于直角三角形的毕达哥拉斯定理。
这个时期的埃利亚学派的芝诺提出了4个著名的悖论，即“两分法悖论”、“神行太保与乌龟赛跑悖论”、“飞矢不动悖论”和“游行队伍悖论”，迫使哲学家和数学家思考“无限”的问题。
原子论学派的德谟克利特大约在公元前410年，用原子法得出“锥体体积是同底等高柱体的1／3”的结论。
雅典的巧辩学派的一些学者则致力于3个著名的作图问题，即“化圆为方”、“倍立方”和“三等分任意角”，虽然这些问题本身没有得到解决，但却得到了一些副产品，如把月牙图形化成等面积的直边图形，用边数不断增加的内接多边形来接近圆面积的结论，等等。
欧几里得的五个定理
欧几里得的五个定理欧几里得是古希腊的数学家，被誉为几何学之父。
他的著作《几何原本》是西方数学史上最重要的经典之一，对后世的数学发展产生了深远的影响。
在《几何原本》中，欧几里得提出了五个公设，也就是不需要证明的基本假设，作为几何学的基础。
这五个公设分别是：公设一：任意两点可以通过一条直线连接。
公设二：任意线段能无限延长成一条直线。
公设三：给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
公设四：所有直角都全等。
公设五：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
这五个公设看似简单明了，但实际上却蕴含了丰富的数学内容。
在本文中，我们将分别介绍这五个公设的含义、证明方法和应用领域，以及它们在数学史上的重要地位。
公设一：任意两点可以通过一条直线连接这个公设是最基本的几何概念之一，它表明了空间中点和直线的关系。
根据这个公设，我们可以定义什么是平面、角度、三角形等几何图形。
这个公设也是最容易被接受和理解的，因为它符合我们的直观感受和日常经验。
要证明这个公设，我们可以使用反证法。
假设存在两点A和B，不能通过一条直线连接。
那么，我们可以在A和B 之间取任意一点C，并作AC和BC两条线段。
由于AC和BC不是直线，那么它们必然有一个交点D（否则它们就是平行的）。
那么，我们就得到了一个四边形ABCD，其中AB和CD是对边。
根据四边形的性质，对边相等或平行时，四边形是平行四边形。
但是，由于A和B不能通过一条直线连接，所以AB和CD不可能相等或平行。
因此，我们得到了一个矛盾，说明假设不成立。
所以，任意两点可以通过一条直线连接。
这个公设的应用非常广泛，例如，在解析几何中，我们可以用直线方程来表示空间中的任意两点之间的关系；在代数几何中，我们可以用多项式来描述曲线或曲面上的任意两点之间的关系；在微积分中，我们可以用极限来定义函数在某一点处的导数或切线；在物理学中，我们可以用光线来描述光源和物体之间的反射或折射现象；在工程学中，我们可以用梁或桥梁来支撑结构或承受载荷；等等。
欧几里得 公理
欧几里得公理
欧几里得公理是几何学中的基本概念，它是由古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出的。
欧几里得公理包括五个基本公设和五个基本定义，它们构成了几何学的基础。
五个基本公设是：
1. 任两点必可用直线连接。
2. 直线可以任意延长。
3. 可以任一点为圆心，任意长为半径画一个圆。
4. 所有直角都相等。
5. 过线外一点，恰有一条直线与已知直线平行。
五个基本定义是：
1. 点是没有部分的东西。
2. 线只有长短，没有粗细。
3. 直线是其上各点均无部分的线。
4. 两个不同方向的直线必定相交于一点。
5. 面仅是线的移动而形成的图形。
欧几里得公理为我们提供了一种严谨、系统的方法来研究几何学。
它不仅适用于平面几何，还适用于立体几何和更高维度的几何学。
欧几里得公理对于现代数学的发展产生了深远的影响，它奠定了解析几何、微积分等重要学科的基础。
欧几里得公理是几何学中不可或缺的一部分，它为我们提供
了一种清晰、简洁、严谨的方式来描述和研究空间形状。
它是人类智慧的结晶，值得我们深入学习和研究。
简述欧几里得原本的5条公理和5条公设
简述欧几里得原本的5条公理和5条公设《简述欧几里得原本的5条公理和5条公设》篇一欧几里得的《原本》那可是数学界的超级经典，就像数学世界里的“武林秘籍”一样。
今天咱们就来说说里面那5条公理和5条公设。
先说说公理吧。
公理一：等于同量的量彼此相等。
哎呀，这听起来就像在说，假如我和你都和小明一样高，那咱俩肯定一样高呗。
感觉就像是在玩一种很简单的比较游戏。
比如说，我有一堆苹果，你也有一堆苹果，这两堆苹果都和小明那堆苹果数量一样，那咱们这两堆苹果数量肯定相同啊，这就是那种特别基础，基础到你觉得这不是废话嘛，但就是这么个简单的道理，撑起了好多复杂的数学推理呢。
公理二：等量加等量，其和相等。
这就好比我有两个口袋，每个口袋里都装了5个糖，你也有两个口袋，每个口袋也装5个糖，那咱们总共的糖数肯定是一样的。
我觉得这个公理就像是在给数学这个大厦一块一块地添砖加瓦，虽然简单，但是不可或缺。
公理三：等量减等量，其差相等。
这也很好理解啊，就像是我本来有10块钱，花了5块，你也有10块钱，也花了5块，那咱们剩下的钱肯定一样多。
这就像是生活中的小常识，被搬到数学里成了重要的规则。
公理四：彼此能重合的物体是全等的。
这个公理有点像拼图，要是两个形状能完美地拼在一起，那它们就是一样的呗。
比如说两个三角形，要是能严丝合缝地叠在一起，那它们在数学上就是全等的。
这就像是给形状之间的比较定了一个很直观的标准。
公理五：整体大于部分。
这简直就是常识中的常识了。
就像一个大蛋糕肯定比切下来的一小块蛋糕要大呀。
但是你可别小看这个公理，在很多复杂的数学证明里，它可是默默地起着作用呢。
再说说公设。
公设一：由任意一点到另外任意一点可以画直线。
这就像在一张白纸上，不管是从左上角的一个点到右下角的一个点，还是从纸中间的一个点到边缘的一个点，都能画出一条直线。
感觉就像是给我们在数学的大地上画出了一条条道路，让我们可以从一个点走到另一个点。
公设二：一条有限直线可以继续延长。
欧几里得《几何原本》的公理化思想及其发展
证 明． 着 对 几何 知 识 的 使 用 越来 越 多 ， 迫 切 将 这 些 知 识 随 就
条 理 化 和系 统 化 ， 其 成 为 一 套 可 以 Ａ圆 其 说 、 使 前后 贯 通 的
真 正 成 为一 个 有 比较 严 密 理 论 系统 和 科 学 方 法 的 学科 ．
但 是 ， 几 何 原 本》 还是 存 在 缺 陷 的 ， 某 些 定 义仍 然 《 中 如
是借 助 直 观 或 含 糊 不 清 ， 然 欧 几 里 得 对 公 设 和 公 理 作 了 虽
精心 的选 择 ， 是 他 的 公 理 系 统 是 不完 备 的． 在 欧 几 里 得 但 “ 提 出 的 ５条公 设 中 ， 管 前 ４条 是 存 总 结 前 人 成 果 的 基 础 尽 上 提 出来 的 ， 是 第 ５条 ， ” 行 公 设 “ 认 为 是 他 自 己 的 但 即 平 被 创 造 ． 这 一 公 设 的 陈 述 和 内 容 上 都 得 复 杂 ， ” 因此 引 起 人 们 对 这 一 公设 本 身 必 要 性 的 怀 疑 ． 此 后 的 两 千 多 年 里 ， 在 人
们 试 图 给 出这 一 公 设 的 证 明 ， 是 所 有 的 尝 试 都 失 败 了． ９ 但 １ 世 纪 ， 国年 轻 的 数 学 家 岁 巴 切 夫 斯 基 吸 取 前 人 失 败 的 教 俄 训 ， 反 面 提 出 问 题 ， 出 了 一 新 的 公 理 体 系 ， 立 了 非 从 给 个 创
的邀请 到 亚 历 山大城 教 学 ． 写 过不 少数 学 、 成 为 一 个 演 绎 系统 ， 出 发 点 就 是 一 其
平面几何五大公理
平面几何五大公理所谓公理：1) 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理。
2) 某个演绎系统的初始命题。
这样的命题在该系统内是不需要其他命题加以证明的，并且它们是推出该系统内其他命题的基本命题欧几里德的《几何原本》，一开始欧几里德就劈头盖脸地给出了23个定义，5个公设，5个公理。
其实他说的公社就是我们后来所说的公理，他的公理是一些计算和证明用到的方法（如公理1：等于同一个量的量相等，公理5：整体大于局部等）他给出的5个公设倒是和几何学非常紧密的，也就是后来我们教科书中的公理。
分别是：1、五大公设：公设1从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。
公设2把有限的直线不断循直线延长是可能的。
公设3以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。
公设4所有的直角都相等。
公设5如果一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。
2、五大公理公理1与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。
公理2等量加等量，总量仍相等。
公理3等量减等量，余量仍相等。
公理4彼此重合的东西彼此是相等的。
公理5整体大于部分。
今天我们常说的平面几何五大公理，就是指五大公设。
在这五个公设(理)里，欧几里德并没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。
亚里士多德就指出，头三个公设说的是可以构造线和圆，所以他是对两件东西顿在性的声明。
事实上欧几里德用这种构造法证明很多命题。
第五个公设非常罗嗦，没有前四个简洁好懂。
声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。
这就足以说明他的天才。
从欧几里德提出这个公理到1800年这大约2100年的时间里虽然人们没有怀疑整个体系的正确性，但是对这个第五公设却一直耿耿于怀。
很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果，无法从其他公设中推到处第五公设。
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欧几里得的公理与公设
在初中同学们已经学过平面几何了．但你知道它的来源吗？平面几何最早来源于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》．在这本书中，欧几里得提出了5个公理和5个公设(现在看来，公设与公理无本质区别)．欧几里得把众所周知，适用于一切科学的真理叫做公理．他用公理作为几何学的基础，以公理作为出发点，把定理有序地排列起来．每一个定理的成立，都是用公理和已证明的定理给予严格的推证．
《几何原本》是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范，统驭几何学有2000年之久，对后世的数学研究影响很大．
几何定理的基础是公理，如果没有公理，就会出现循环论证．所谓循环论证是指：由甲定理推出乙定理；由乙定理推出丙定理；而又由丙定理推出甲定理，如图5－30．这种转圈式的循环论证在数学上是不允许的．
欧几里得把只应用于几何学的真理叫做公设．这五条公设是：
1．从任一点到任一点作直线是可能的．
2．把有限直线不断沿直线延长是可能的．
3．以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的．
4．所有直角彼此相等．
5．若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点．
其中第5条实际上就是大家学过的平行公理：过已知直线外的一个已知点只能作一条直线平行于已知直线．
但是，许多数学家认为第5公设不易被人们接受，反对把它作为公理．如果不把它作为公理，就可以用其他公理推证出来．但是2000多年来，证明第5公设的工作都失败了．高斯在证明这一公设的同时，发现了一种前人所不了解的新几何学．但是由于担心把这种新几何学发表出去会遭到嘲讽，高斯放弃了发表这种新几何学．
1826年，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基，提出了与第5公设截然不同的一条公设：在平面内过直线外一点，至少可以引两条直线与已知直线平行．现今，我们称它为“罗氏公理”．新的几何学产生了，它就是非欧几何．。