欧几里得的公理与公设

欧几里得的公理与公设

在初中同学们已经学过平面几何了．但你知道它的来源吗？平面几何最早来源于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》．在这本书中，欧几里得提出了5个公理和5个公设(现在看来，公设与公理无本质区别)．欧几里得把众所周知，适用于一切科学的真理叫做公理．他用公理作为几何学的基础，以公理作为出发点，把定理有序地排列起来．每一个定理的成立，都是用公理和已证明的定理给予严格的推证．

《几何原本》是用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范，统驭几何学有2000年之久，对后世的数学研究影响很大．

几何定理的基础是公理，如果没有公理，就会出现循环论证．所谓循环论证是指：由甲定理推出乙定理；由乙定理推出丙定理；而又由丙定理推出甲定理，如图5－30．这种转圈式的循环论证在数学上是不允许的．

欧几里得把只应用于几何学的真理叫做公设．这五条公设是：

1．从任一点到任一点作直线是可能的．

2．把有限直线不断沿直线延长是可能的．

3．以任一点为中心和任一距离为半径作一圆是可能的．

4．所有直角彼此相等．

5．若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点．

其中第5条实际上就是大家学过的平行公理：过已知直线外的一个已知点只能作一条直线平行于已知直线．

但是，许多数学家认为第5公设不易被人们接受，反对把它作为公理．如果不把它作为公理，就可以用其他公理推证出来．但是2000多年来，证明第5公设的工作都失败了．高斯在证明这一公设的同时，发现了一种前人所不了解的新几何学．但是由于担心把这种新几何学发表出去会遭到嘲讽，高斯放弃了发表这种新几何学．

1826年，俄国年轻的数学家罗巴切夫斯基，提出了与第5公设截然不同的一条公设：在平面内过直线外一点，至少可以引两条直线与已知直线平行．现今，我们称它为“罗氏公理”．新的几何学产生了，它就是非欧几何．